WikiDer > Кручение белой головки

Whitehead torsion

В геометрическая топология, область в математике, препятствие для гомотопическая эквивалентность конечных CW-комплексы будучи простая гомотопическая эквивалентность это его Кручение белой головки который является элементом Группа Уайтхеда . Эти концепции названы в честь математика. Дж. Х. К. Уайтхед.

Кручение Уайтхеда важно при применении теория хирургии не-односвязный коллекторы размерности> 4: для односвязных многообразий группа Уайтхеда равна нулю, и, таким образом, гомотопические эквивалентности и простые гомотопические эквивалентности совпадают. Приложения - к дифференцируемым многообразиям, многообразиям PL и топологическим многообразиям. Доказательства были впервые получены в начале 1960-х гг. Стивен Смейл, для дифференцируемых многообразий. Развитие ручка теория допускала почти одинаковые доказательства в категориях дифференцируемых и PL. Доказательства намного сложнее в топологической категории, требующей теории Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн. Ограничение на многообразия размерности больше четырех связано с применением Уитни уловка для снятия двойных точек.

Обобщая час-кобордизм В теореме, которая является утверждением об односвязных многообразиях, для неодносвязных многообразий необходимо различать простые гомотопические эквивалентности и непростые гомотопические эквивалентности. Пока час-кобордизм W между односвязными замкнутыми связными коллекторами M и N измерения п > 4 изоморфен цилиндру (соответствующую гомотопическую эквивалентность можно принять за диффеоморфизм, PL-изоморфизм или гомеоморфизм соответственно), s-теорема -кобордизм утверждает, что если многообразия не односвязны, час-кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения исчезает.

Группа Уайтхеда

В Группа Уайтхеда связного CW-комплекса или многообразия M равна группе Уайтхеда из фундаментальная группа из M.

Если г это группа, Группа Уайтхеда определяется как коядро карты который отправляет (г, ± 1) к обратимой (1,1) -матрице (±г). Вот это групповое кольцо из г. Напомним, что K-группа K1(А) кольца А определяется как фактор группы GL (A) по подгруппе, порожденной элементарные матрицы. Группа GL (А) это прямой предел конечномерных групп GL (п, А) → GL (п+1, А); конкретно, группа обратимых бесконечных матриц, которые отличаются от единичной матрицы только конечным числом коэффициентов. An элементарная матрица вот трансвекция: один такой, что все главная диагональ элементов равны 1, и есть не более одного ненулевого элемента не на диагонали. Подгруппа, порожденная элементарными матрицами, - это в точности производная подгруппа, другими словами, наименьшая нормальная подгруппа такая, что фактор по ней абелева.

Другими словами, группа Уайтхеда группы г является частным от подгруппой, порожденной элементарными матрицами, элементы г и . Обратите внимание, что это то же самое, что фактор приведенной K-группы от г.

Примеры

  • Группа Уайтхеда тривиальная группа тривиально. Поскольку групповое кольцо тривиальной группы является мы должны показать, что любая матрица может быть записана как произведение элементарных матриц на диагональную матрицу; это легко следует из того факта, что это Евклидова область.
  • Группа Уайтхеда циклической группы порядка 5 есть . Это было доказано в 1940 г. Грэм Хигман. Пример нетривиальной единицы в групповом кольце возникает из тождества где т является генератором циклической группы порядка 5. Этот пример тесно связан с существованием единиц бесконечного порядка (в частности, Золотое сечение) в кольце целых чисел кругового поля, порожденного корнями пятой степени из единицы.
  • Если г конечная циклическая группа, то изоморфна единицам группового кольца под детерминантным отображением, поэтому Wh (г) - это просто группа единиц по модулю группы «тривиальных единиц», порожденной элементами г и −1.
  • Хорошо известна гипотеза о том, что группа Уайтхеда любой группы без кручения должна исчезнуть.

Торсион Уайтхеда

Сначала определим Кручение белой головки для цепной гомотопической эквивалентности конечных бесплатных р-цепные комплексы. Мы можем сопоставить гомотопической эквивалентности ее картографический конус C* : = конус*(час*) который является стягиваемым конечным базируемым свободным р-цепной комплекс. Позволять - любое цепное сжатие конуса отображения, т. е. для всех п. Получаем изоморфизм с участием

Мы определяем , где А матрица по данным базам.

Для гомотопической эквивалентности связных конечных CW-комплексов определим Кручение белой головки следующим образом. Позволять быть лифтом к универсальному покрытию. Это побуждает -цепные гомотопические эквивалентности . Теперь мы можем применить определение кручения Уайтхеда для цепной гомотопической эквивалентности и получить элемент в которое мы отображаем в Wh (π1(Y)). Это кручение Уайтхеда τ (ƒ) ∈ Wh (π1(Y)).

Свойства

Гомотопическая инвариантность: Пусть ж, г: ИксY - гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Если ж и г гомотопны, то τ(ж) = τ(г).

Топологическая инвариантность: если ж: ИксY является гомеоморфизмом конечных связных CW-комплексов, то τ(ж) = 0.

Формула композиции: Пусть ж: ИксY, г: YZ - гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. потом .

Геометрическая интерпретация

В теорема о s-кобордизме состояния замкнутого связного ориентированного многообразия M измерения п > 4, что h-кобордизм W между M и еще один коллектор N тривиально над M тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения исчезает. Более того, для любого элемента в группе Уайтхеда существует h-кобордизм W над M у которого кручение Уайтхеда является рассматриваемым элементом. Доказательства используют обрабатывать разложения.

Существует теоретико-гомотопический аналог теоремы о s-кобордизме. Учитывая CW-комплекс А, рассмотрим множество всех пар CW-комплексов (Икс, А) такой, что включение А в Икс является гомотопической эквивалентностью. Две пары (Икс1, А) и (Икс2, А) называются эквивалентными, если существует простая гомотопическая эквивалентность между Икс1 и Икс2 относительно А. Множество таких классов эквивалентности образуют группу, в которой сложение задается объединением Икс1 и Икс2 с общим подпространством А. Эта группа естественным образом изоморфна группе Уайтхеда Wh (А) CW-комплекса А. Доказательство этого факта аналогично доказательству теорема о s-кобордизме.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки