WikiDer > Пространство Зарисского – Римана

Zariski–Riemann space

В алгебраическая геометрия, а Пространство Зарисского – Римана или же Пространство Зарисского из подкольцо k из поле K это локально окольцованное пространство чьи точки оценочные кольца содержащий k и содержится в K. Они обобщают Риманова поверхность сложной кривой.

Пространства Зарисского – Римана были введены Зариским (1940, 1944), который (довольно сбивчиво) назвал их Римановы многообразия или же Римановы поверхности. Они были названы пространствами Зарисского – Римана в честь Оскар Зариски и Бернхард Риманн к Нагата (1962) кто использовал их, чтобы показать, что алгебраические многообразия могут быть вложены в полный ед.

Местная униформизация (доказанное Зариским в характеристике 0) может быть истолковано как утверждение, что пространство Зарисского – Римана многообразия в некотором смысле неособо, так что это своего рода довольно слабое разрешение особенностей. Это не решает проблему разрешения особенностей, поскольку в размерностях больше единицы пространство Зарисского – Римана не является локально аффинным и, в частности, не является схемой.

Определение

В Пространство Зарисского – Римана из поле K над базовым полем k это локально окольцованное пространство чьи точки оценочные кольца содержащий k и содержится в K. Иногда оценочное кольцо K сам исключается, а иногда точки ограничиваются нульмерными оценочными кольцами (те, чье поле вычетов имеет степень трансцендентности нуль над k).

Если S пространство Зарисского – Римана подкольца k поля K, он имеет топологию, определенную путем взятия за основу открытых множеств колец оценки, содержащих данное конечное подмножество K. Космос S квазикомпактен. Он превращается в локально окольцованное пространство путем присвоения любому открытому подмножеству пересечения колец оценки точек подмножества. Локальное кольцо в любой точке является соответствующим оценочным кольцом.

Пространство Зарисского – Римана функционального поля также может быть построено как обратный предел всех полных (или проективных) моделей функционального поля.

Примеры

Пространство Римана – Зарисского кривой

Пространство Римана – Зарисского кривой над алгебраически замкнутым полем k с функциональным полем K это то же самое, что и его неособая проективная модель. Он имеет одну общую незамкнутую точку, соответствующую тривиальной оценке с оценочным кольцом K, а другие его точки - это оценочные кольца ранга 1 в K содержащий k. В отличие от многомерных случаев пространство Зарисского – Римана кривой является схемой.

Пространство Римана – Зарисского поверхности

Оценочные кольца поверхности S над k с функциональным полем K можно классифицировать по размерности (степени трансцендентности поля вычетов) и рангу (количеству ненулевых выпуклых подгрупп в оценочной группе). Зарисский (1939) дал следующую классификацию:

  • Измерение 2. Единственная возможность - это тривиальная оценка с рангом 0, оценочной группой 0 и оценочным кольцом. K.
  • Размерность 1, ранг 1. Они соответствуют дивизорам на некотором раздутии S, или другими словами к делителям и бесконечно близкие точки из S. Все они дискретны. Центр в S может быть точкой или кривой. Оценочная группа Z.
  • Размерность 0, ранг 2. Они соответствуют микробы алгебраических кривых через точку на нормальной модели S. Оценочная группа изоморфна Z+Z в лексикографическом порядке.
  • Размерность 0, ранг 1, дискретный. Они соответствуют росткам неалгебраических кривых (заданных, например, у= неалгебраический формальный степенной ряд от Икс) через точку нормальной модели. Оценочная группа Z.
  • Размерность 0, ранг 1, недискретная, группа значений имеет несоизмеримые элементы. Они соответствуют росткам трансцендентных кривых, таких как у=Иксπ через точку нормальной модели. Группа значений изоморфна упорядоченной группе, созданной двумя несоизмеримыми действительными числами.
  • Размерность 0, ранг 1, недискретность, элементы группы значений соизмеримы. Группа значений может быть изоморфна любой плотной подгруппе рациональных чисел. Им соответствуют ростки кривых вида у= ΣапИксбп где числа бп рациональны с неограниченными знаменателями.

Рекомендации

  • Нагата, Масаёши (1962), «Вложение абстрактного разнообразия в полное разнообразие», Журнал математики Киотского университета, 2: 1–10, Дои:10.1215 / кДж / 1250524969, ISSN 0023-608X, МИСТЕР 0142549
  • Зариски, Оскар (1939), «Уменьшение особенностей алгебраической поверхности», Анна. математики., 2, 40 (3): 639–689, Дои:10.2307/1968949, JSTOR 1968949
  • Зариски, Оскар (1940), "Локальная униформизация на алгебраических многообразиях", Анна. математики., 2, 41: 852–896, Дои:10.2307/1968864, JSTOR 1968864, МИСТЕР 0002864
  • Зариски, Оскар (1944), «Компактность риманова многообразия абстрактного поля алгебраических функций», Бюллетень Американского математического общества, 50: 683–691, Дои:10.1090 / S0002-9904-1944-08206-2, ISSN 0002-9904, МИСТЕР 0011573
  • Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Vol. II, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, МИСТЕР 0389876