WikiDer > Нулевой диез

Zero sharp

В математической дисциплине теория множеств, 0# (нулевой острый, также 0#) - это множество истинных формулы о неразличимый и неразличимых порядка в Конструируемая вселенная Гёделя. Он часто кодируется как подмножество целых чисел (используя Гёделевская нумерация), или как подмножество наследственно конечные множества, или как настоящий номер. Его существование недоказуемо в ZFC, стандартная форма аксиоматическая теория множеств, но следует из подходящего большой кардинал аксиома. Впервые он был введен как набор формул в Сильвера Диссертация 1966 г., позже опубликованная как Серебро (1971), где он был обозначен Σ и переоткрыт Соловей (1967, с.52), который рассматривал его как подмножество натуральных чисел и ввел обозначение O# (с заглавной буквы O; позже это было изменено на цифру "0").

Грубо говоря, если 0# существует тогда вселенная V наборов намного больше, чем вселенная L конструктивных множеств, а если он не существует, то совокупность всех множеств близко аппроксимируется конструктивными множествами.

Определение

Нулевой диез определил Сильвер и Соловей следующее. Рассмотрим язык теории множеств с дополнительными постоянными символами c1, c2, ... для каждого положительного целого числа. Тогда 0# определяется как набор Числа Гёделя истинных предложений о конструируемой вселенной, с cя интерпретируется как несчетный кардиналя. (Здесь ℵя означает ℵя в полной вселенной, а не в конструктивной вселенной.)

В этом определении есть тонкость: Теорема Тарского о неопределенности в общем случае невозможно определить истинность формулы теории множеств на языке теории множеств. Чтобы решить эту проблему, Сильвер и Соловей предположили существование подходящего большого кардинала, такого как Кардинал Рэмси, и показал, что с помощью этого дополнительного предположения можно определить истинность утверждений о конструируемой вселенной. В более общем смысле определение 0# работает при условии, что существует бесчисленное множество неразличимых для некоторых Lα, а фраза "0# существует "используется как сокращенный способ сказать это.

Есть несколько незначительных вариантов определения 0.#, которые не имеют существенного значения для его свойств. Есть много разных вариантов нумерации Гёделя, и 0# зависит от этого выбора. Вместо того, чтобы рассматривать как подмножество натуральных чисел, также можно кодировать 0# как подмножество формул языка, или как подмножество наследственно конечных множеств, или как действительное число.

Заявления о существовании

Условие существования кардинала Рамсея, из которого следует, что 0# существует может быть ослаблено. Существование ω1-Кардиналы Эрдёша влечет существование 0#. Это близко к лучшему из возможных, потому что существование 0# означает, что в конструктивной вселенной существует кардинал α-Эрдеша для всех счетных α, поэтому такие кардиналы не могут использоваться для доказательства существования 0#.

Гипотеза Чанга влечет существование 0#.

Заявления, эквивалентные существованию

Кунен показал, что 0# существует тогда и только тогда, когда существует нетривиальное элементарное вложение для Конструируемая вселенная Гёделя L в себя.

Дональд А. Мартин и Лео Харрингтон показали, что существование 0# эквивалентно определенности Lightface аналитические игры. Фактически, стратегия универсальной аналитической игры Lightface имеет то же самое Степень Тьюринга как 0#.

Это следует из Теорема Дженсена о покрытии что существование 0# эквивалентно ωω быть обычный кардинал в конструктивной вселенной L.

Сильвер показал, что существование бесчисленного множества неразличимых в конструируемой вселенной эквивалентно существованию 0#.

Последствия существования и несуществования

Его существование подразумевает, что каждый бесчисленный кардинал в теоретико-множественной вселенной V незаметен в L и удовлетворяет все большой кардинал аксиомы, которые реализуются в L (например, быть совершенно невыразимо). Отсюда следует, что существование 0# противоречит аксиома конструктивности: V = L.

Если 0# существует, то это пример неконструктивного Δ1
3
набор целых чисел. Это в некотором смысле простейшая возможность для неконструктивного множества, поскольку все Σ1
2
и Π1
2
наборы целых чисел можно построить.

С другой стороны, если 0# не существует, то конструктивная вселенная L это основная модель, то есть каноническая внутренняя модель, которая аппроксимирует большую кардинальную структуру рассматриваемой Вселенной. В таком случае, Лемма Дженсена о покрытии держит:

За каждый бесчисленный набор Икс из ординалов существует конструктивная у такой, что Иксу и у имеет то же самое мощность в качестве Икс.

Такой глубокий результат обусловлен Рональд Дженсен. С помощью принуждение легко видеть, что условие, что Икс неисчислимо не может быть удалено. Например, рассмотрим Намба принуждение, что сохраняет и рушится к порядковому номеру конфинальность . Позволять быть -последовательность финальный на и общий над L. Тогда нет L из L-размер меньше чем (что неисчислимо в V, поскольку сохраняется) может покрыть , поскольку это обычный кардинал.

Прочие острые предметы

Если Икс любой набор, то Икс# определяется аналогично 0# за исключением того, что используется L [Икс] вместо L. См. раздел об относительной конструктивности в конструируемая вселенная.

Смотрите также

  • 0, набор, аналогичный 0# где конструируемая вселенная заменена более крупной внутренней моделью с измеримый кардинал.

Рекомендации

  • Дрейк, Ф. Р. (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
  • Харрингтон, Лео (1978), "Аналитическая определенность и 0#", Журнал символической логики, 43 (4): 685–693, Дои:10.2307/2273508, ISSN 0022-4812, JSTOR 2273508, МИСТЕР 0518675
  • Jech, Thomas (2003). Теория множеств. Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002.
  • Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
  • Мартин, Дональд А. (1970), «Измеримые кардиналы и аналитические игры», Польская Академия Наук. Fundamenta Mathematicae, 66: 287–291, ISSN 0016-2736, МИСТЕР 0258637
  • Сильвер, Джек Х. (1971) [1966], "Некоторые приложения теории моделей в теории множеств", Анналы чистой и прикладной логики, 3 (1): 45–110, Дои:10.1016/0003-4843(71)90010-6, ISSN 0168-0072, МИСТЕР 0409188
  • Соловей, Роберт М. (1967), "Неразрушимая Δ1
    3
    набор целых чисел ", Труды Американского математического общества, 127: 50–75, Дои:10.2307/1994631, ISSN 0002-9947, JSTOR 1994631, МИСТЕР 0211873