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Absolute Konvergenz ist eine Eigenschaft von a Serie von Zahlen, deren Summe der absolute Werte der zu summierenden Zahlen endlich ist. Der Begriff wird auch für a . verwendet Integral- wenn das Integral des Absolutwerts des Integranden endlich ist.

Definition

Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe ${Displaystyle-Summe _{n=0}^{infty }a_{n}}$ heißt absolut konvergent, wenn:

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }left|a_{n}night|$

Die Definition wird erweitert auf standardisiert Räume. Eine Serie ${Displaystyle-Summe _{n=0}^{infty }x_{n}}$ von Elementen in einem normierten Raum mit norm ${Anzeigestil |cdot |}$ heißt absolut konvergent, wenn:

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }|x_{n}|$

Eigenschaften

Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent. Die Vertauschung der Terme ändert nichts an Konvergenz und Grenze.

Alternative

Wenn eine Reihe nicht absolut konvergent ist, ist die Summe der Absolutwerte unendlich. Eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergent ist, heißt a bedingt konvergente Reihe. Für jeden Wert, einschließlich unendlich und minus unendlich, gibt es eine Permutation der Terme der Reihe, wobei die Summe der so gebildeten neuen Reihe diesem Wert entspricht.

Bedeutung

Absolute Konvergenz ist für das Studium unendlicher Reihen wesentlich, weil einerseits die Eigenschaft stark genug ist, um zu garantieren, dass solche Reihen bestimmte fundamentale Eigenschaften endlicher Summen beibehalten, von denen die wichtigsten die Umordnung der Terme und die Konvergenz von . sind das Produkt zweier unendlicher Reihen und andererseits schwach genug, um in der Praxis üblich zu sein.