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Es Mathematiker Verstehen Serie ist eine Erweiterung der Zusatz von Rationale Zahlen, reale Nummern, komplexe Zahlen, Funktionen, usw. auf den Fall einer unendlichen Folge von Termen. Eine Reihe wird als a . notiert Ausdruck des Formulars^[1]

${displaystyle a_{1} a_{2} a_{3} ldots =sum _{i=1}^{infty }a_{i}}$

Somit besteht für einen gegebenen Raum, in dem die Addition definiert ist, wie die reellen Zahlen, eine eindeutige Beziehung zwischen den Reihen Begriffe aus diesem Raum und die Reihe.

Das mögliche Ergebnis ${Anzeigestil S}$ des Summe in den Begriffen der Reihe ausgedrückt, wird genauso geschrieben wie die Reihe, also

${displaystyle S=a_{1} a_{2} a_{3} ldots =sum _{i=1}^{infty }a_{i}}$

Manchmal sogar bei endlich vielen Begriffen ist die Angabe Serie verwendet zum Beispiel arithmetische Reihe Bei der Summation einer endlichen Anzahl aufeinanderfolgender Elemente einer arithmetischen Folge.

Terminologie

Der Begriff „Serie“ im obigen Sinne ist spezifisch für die Analyse und Anwendungen davon. Im alltäglichen Sprachgebrauch und in anderen Disziplinen ist „Serie“ gleichbedeutend mit „Warteschlange“, sowie in der älteren Mathematikliteratur.^[2][3][4]

Definition

Für jeden Warteschlange${displaystyle (a_{n})_{n=1}^{infty }}$ in einer Menge, in der eine Addition definiert ist, ist die zugehörige Serie definiert als die formale Summe^[5][6][7]

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}=a_{1} a_{2} a_{3} ldots ,,,}$^[8]

Die Elemente der Sequenz sind die Terme der Sequenz.

Teilsumme

Die Summe ${displaystyle s_{n}}$ des ersten ${displaystyle n}$ Begriffe der Reihe ${displaystyle (a_{i})_{i=1}^{infty }}$ wird Teilsumme oder auch Teilsumme erwähnt:

${displaystyle s_{n}=a_{1} a_{2} a_{3} ldots a_{n}=Summe _{i=1}^{n}a_{i}}$

Konvergiert die Folge der Teilsummen, schreibt man für den Grenzwert:

${displaystyle S=a_{1} a_{2} a_{3} ldots =sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$

Alternative Definition von 'Reihe'

Eine „Reihe“ wird auch formal als eine bestimmte Kombination einer Reihe definiert defined ${Anzeigestil (a_{n})}$ und die Reihe ${displaystyle(s_{n})}$ seiner Teilsummen zum Beispiel ${displaystyle ((a_{n},s_{n}))_{n=1}^{infty }}$.

Konvergenz

Für Folgen von Termen in einer Metrik metrischer Raum (mit Zusatz) ist es sinnvoll, die Existenz der Summe zu untersuchen.

Eine Reihe heißt konvergent wenn die Folge der Partialsummen gegen einen endlichen Limes konvergiert ${Anzeigestil S}$. In diesem Fall heißt es ${Anzeigestil S}$ das Summe der Serie:

${displaystyle S=sum _{n=1}^{infty }a_{n}=lim _{N o infty }sum _{n=1}^{N}a_{n}}$

Konvergiert die Folge der Teilsummen, dann muss die Folge der Einzelterme ${displaystyle a_{n}}$ gegen 0 konvergieren. Das Gegenteil ist jedoch nicht der Fall: Eine Reihe, deren Terme gegen 0 konvergieren, kann immer noch divergent (nicht konvergent) sein; siehe zum Beispiel die harmonische Reihe unten.

Absolute Konvergenz

Wir beschränken uns nun auf Reihen, deren Terme reelle Zahlen sind.

Eine Reihe heißt absolut konvergent als die absolute Werte der Begriffe ${displaystyle a_{i}}$ sind wiederum die Bausteine ​​einer konvergenten Reihe.

In Formelform: die Reihe ${Displaystyle-Summe _{i=1}^{infty }a_{i}}$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ${Anzeigestilsumme _{i=1}^{infty}|a_{i}|}$ ist eine konvergente Reihe.

Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. In einer absolut konvergenten Reihe kann die Reihenfolge der Terme beliebig umgekehrt werden, ohne die Reihensumme zu beeinflussen. Für eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergent ist (a bedingt konvergente Reihe), trifft dies überhaupt nicht zu. Durch eine gezielte Neuordnung der Begriffe kann man dann jede Grenze erreichen.

Geometrische oder geometrische Reihen

Die durch die Potenzen einer Zahl erzeugte Reihe ${Anzeigestil a}$ mit Absolutwert kleiner als 1 ist absolut konvergent:

${displaystyle 1 a a^{2} a^{3} ldots ={frac {1}{1-a}}}$

Dies kann wie folgt nachgewiesen werden:

${displaystyle s_{n}=1 a a^{2} a^{3} ldots a^{n},|a|<1}$

${displaystyle as_{n}=a a^{2} a^{3} a^{4} ldots a^{n 1}}$

${displaystyle s_{n}-as_{n}=1-a^{n 1}}$

${displaystyle s_{n}(1-a)=1-a^{n 1}}$

${displaystyle s_{n}={frac {1-a^{n 1}}{1-a}}}$

${displaystyle S=lim _{no infty }s_{n}=lim _{no infty }{frac {1-a^{n 1}}{1-a}}={frac {1}{1-a} }}$

Siehe auch allgemeiner geometrische Reihe.

Harmonische Serie

Das harmonische Reihe ist in der Mathematik das Warteschlange

${displaystyle 1, {frac {1}{2}}, {frac {1}{3}}, {frac {1}{4}}, {frac {1}{5}},ldots }$,

also allgemein ${displaystyle a_{n}={ frac {1}{n}}}$.

Es ist eine der einfachsten Zeilen mit der Eigenschaft ${Anzeigestil a_{n}=O(1/n)}$ (sehen Groß-O-Notation), also die Eigenschaft, dass ${displaystyle nach_{n}}$ ist begrenzt.

Die entsprechende harmonische Reihe

${Anzeigestilsumme {frac {1}{n}}}$

ist abweichend.

Die Serie ${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}}$ ist für groß ${displaystyle n}$ ungefähr gleich ${Anzeigestil ln(n)}$: beide gehen ins Unendliche, aber der Unterschied hat als Grenze die Euler-Mascheronia-Konstante.

Hyperharmonische Reihe

EIN hyperharmonische Reihe ist eine Reihe der Form

${displaystyle 1 {frac {1}{2^{p}}} {frac {1}{3^{p}}} ldots {frac {1}{n^{p}}}}$

in welchem ${displaystyle pin mathbb {R} }$.

Folgende Fälle lassen sich unterscheiden:

1. wenn ${Anzeigestil p=1}$: harmonische Reihe, divergent
2. wenn ${Anzeigestil p<1}$: hyperharmonische Reihe, divergent
3. wenn ${displaystyle p>1}$: hyperharmonische Reihe, konvergent

Abwechselnde Reihenfolge

An einer abwechselnde Reihenfolge die Begriffe ändern jedes Mal das Vorzeichen. Eine alternierende Reihe, bei der der Absolutwert des allgemeinen Termes gegen Null konvergiert und jeder Term seinen Vorgänger im Absolutwert nicht überschreitet, ist konvergent.

Die Serie ${Anzeigestil Summe { frac {(-1)^{n 1}}{n}}}$ ist konvergent, aber nicht absolut konvergent:

${displaystyle 1-{ frac {1}{2}} { frac {1}{3}}-{ frac {1}{4}} ldots =ln(2)}$

Diese Serie heißt alternierende Harmonische Serie.

Andere Serientypen

Andere Arten von Sequenzen sind:

• Binomialreihe
• Potenzreihe
• Taylor-Reihe
• Zufallsgenerierende Funktion
• Z-Transformation

Beispiele

Beispiele für Sequenzen im Zusammenhang mit der Zahl ${Anzeigestil pi}$.

Von Leonhard Euler sind die serien:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {1}{1}} {frac {1}{4}} {frac {1} {9}} ldots ={frac {pi ^{2}}{6}}}$

und

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{left(2n 1ight)^{2}}}={frac {1}{1^{2}}} {frac {1}{ 3^{2}}} {frac {1}{5^{2}}} Punkte ={frac {pi ^{2}}{8}}}$

Von Gottfried Wilhelm von Leibniz sind die serien:

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n 1}}={frac {1}{1}}-{frac {1}{3}} {frac {1}{5}}-{frac {1}{7}} ldots ={frac {pi }{4}}}$

und

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n 1}}{n^{2}}}={frac {1}{1^{2}}}-{ frac {1}{2^{2}}} {frac {1}{3^{2}}}-{frac {1}{4^{2}}} ldots =sum _{n=0}^{ infty }left({frac {1}{(2n 1)^{2}}}-{frac {1}{(2n 2)^{2}}}ight)={frac {pi ^{2}}{ 12}}}$

Siehe auch

• Eulersche Konstante
• Serienentwicklung

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