WikiDer > Акустоупругий эффект

Acoustoelastic effect

В акустоупругий эффект как скорости звука (обе продольный и срезать волновых скоростей) эластичный материал изменение, если подвергается начальному статическому стресс поле. Это нелинейный эффект учредительное отношение между механическое напряжение и конечная деформация в материал сплошной массы. В классическом линейная эластичность Теория малых деформаций большинства упругих материалов может быть описана линейной зависимостью между приложенным напряжением и результирующей деформацией. Эта связь широко известна как обобщенная Закон Гука. В линейной теории упругости используется второй порядок упругие постоянные (например. и ) и обеспечивает постоянную продольную и поперечную скорости звука в упругом материале, на который не действует приложенное напряжение. Акустоупругий эффект, с другой стороны, включает расширение определяющего соотношения более высокого порядка (нелинейная теория упругости[1]) между приложенным напряжением и результирующей деформацией, что дает продольную и поперечную скорости звука, зависящие от напряженного состояния материала. В пределе ненапряженного материала воспроизводятся скорости звука линейной теории упругости.

Акустоупругий эффект исследовал еще в 1925 г. Бриллюэн.[2] Он обнаружил, что скорость распространения акустических волн будет уменьшаться пропорционально приложенному гидростатическому давлению. Однако следствием его теории было то, что звуковые волны перестали распространяться при достаточно большом давлении. Позднее было показано, что этот парадоксальный эффект вызван неверными предположениями о том, что на упругие параметры не влияет давление.[3]

В 1937 году Мурнаган [4] представил математическую теорию, расширяющую линейную теорию упругости, чтобы также включать конечная деформация в эластичном изотропный материалы. В эту теорию входили три упругие постоянные третьего порядка , , и . В 1953 году Хьюз и Келли [5] использовали теорию Мурнагана в своей экспериментальной работе, чтобы установить численные значения упругих постоянных более высокого порядка для нескольких упругих материалов, включая Полистирол, Армко железо и Pyrex, подвергнутые гидростатическое давление и одноосное сжатие.

Нелинейная теория упругости гиперупругих материалов

Акустоупругий эффект - это эффект конечной деформации нелинейно-упругих материалов. Современное исчерпывающее описание этого можно найти в.[1] В этой книге рассматривается применение теории нелинейной упругости и анализ механических свойств твердых материалов, способных к большим упругим деформациям. Частный случай акустоупругой теории для сжимаемый изотропный сверхупругий материал, подобно поликристаллический стали,[6] воспроизводится и показывается в этом тексте из теории нелинейной упругости, представленной Огденом.[1]

Примечание что настройка в этом тексте, а также в [1] является изотермический, и никаких ссылок на термодинамика.

Материальная связь - гиперупругие материалы (отношение напряжения к деформации)

Гипеупругий материал - частный случай Эластичный материал Коши в котором напряжение в любой точке цель и определяется только текущим состоянием деформация относительно произвольной эталонной конфигурации (подробнее о деформации см. также страницы Деформация (механика) и Конечная деформация). Однако работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от траектории деформации. Следовательно, эластичный материал Коши имеет неконсервативную структуру, и напряжение не может быть получено из скалярной упругий потенциал функция. Частный случай эластичных материалов Коши, когда работа, выполняемая напряжениями, не зависит от траектории деформации, называется эластичным или гиперупругим материалом Грина. Такие материалы консервативны, и напряжения в материале могут быть получены с помощью скалярного упругого потенциала, более известного как Функция плотности энергии деформации.

Материальная связь между напряжением и деформацией может быть выражена в различных формах в зависимости от выбранных форм напряжения и деформации. Выбор 1-й тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа (какой транспонировать из номинальный тензор напряжений ), определяющее уравнение для сжимаемого сверхупругого материала можно выразить через Лагранжева зеленая деформация () в качестве:

куда это тензор градиента деформации, и где второе выражение использует Соглашение о суммировании Эйнштейна для индексной записи тензоры. это функция плотности энергии деформации для сверхупругий материал и были определены на единицу объема, а не на единицу массы, поскольку это позволяет избежать необходимости умножать правую часть на плотность вещества эталонной конфигурации.[1]

Предполагая, что скалярная функция плотности энергии деформации можно аппроксимировать Расширение ряда Тейлора в текущем напряжении , это может быть выражено (в индексной записи) как:

Наложение ограничений на то, что функция энергии деформации должна быть равна нулю и иметь минимум, когда материал находится в недеформированном состоянии (т.е. ) ясно, что в функции энергии деформации нет постоянного или линейного члена, и поэтому:

куда - тензор четвертого порядка второго порядка модули упругости, пока - тензор шестого порядка модулей упругости третьего порядка. вместе со скалярной функцией плотности энергии деформации следует, что модули второго порядка имеют следующую симметрию:

которые уменьшают количество независимых упругих постоянных с 81 до 36. Кроме того, степенное разложение означает, что модули второго порядка также обладают большей симметрией

что дополнительно сокращает количество независимых упругих постоянных до 21. Те ​​же аргументы могут быть использованы для модулей упругости третьего порядка . Эти симметрии также позволяют выразить модули упругости через Обозначение Фойгта (т.е. и ).

Тензор градиента деформации может быть выражен в компонентной форме как

куда это смещение материальной точки от координаты в эталонной конфигурации для координации в деформированной конфигурации (см. фигура 2 на странице теории конечных деформаций). Включение степенного разложения функции энергии деформации в определяющее соотношение и замена лагранжевого тензора деформации с расширением, данным на тензор конечных деформаций выход страницы (обратите внимание, что нижний регистр были использованы в этом разделе по сравнению с верхним регистром на конечная деформация страница) конститутивное уравнение

куда

и члены более высокого порядка не учитывались[7][8](видеть [9] для подробных выводов). Для справки M, пренебрегая членами более высокого порядка в это выражение сводится ккоторый является версией обобщенного закона Гука, где мера стресса в то время как мера напряжения, и есть линейная связь между ними.

Скорость звука

Предполагая, что небольшая динамическая (акустическая) деформация нарушает уже статически напряженный материал, акустоупругий эффект можно рассматривать как воздействие на небольшую деформацию, наложенную на большую. конечная деформация (также называемая теорией малого на большом).[8] Определим три состояния данной материальной точки. В эталонном (ненапряженном) состоянии точка определяется вектором координат в то время как эта же точка имеет вектор координат в статическом исходно напряженном состоянии (т.е. под действием приложенного предварительного напряжения). Наконец, предположим, что материальная точка при небольшом динамическом возмущении (поле акустических напряжений) имеет вектор координат . Полное смещение материальных точек (под действием как статического предварительного напряжения, так и динамического акустического возмущения) может быть описано векторами смещения

куда

описывает статическое (лагранжевое) начальное смещение из-за приложенного предварительного напряжения и (эйлерово) смещение из-за акустического возмущения соответственно. Первый закон движения Коши (или баланс количества движения) для дополнительного эйлерова возмущения затем можно вывести в терминах промежуточной лагранжевой деформации предполагая, что допущение малого на большом

Используя лагранжеву форму Первый закон движения Коши, где пренебрегается влиянием постоянной объемной силы (т. е. силы тяжести), дает

Примечание что нижний индекс / верхний индекс «0» используется в этом тексте для обозначения ненадежного эталонного состояния, а переменная, отмеченная точками, как обычно время () производная переменной и это расхождение оператор относительно лагранжевой системы координат .

В Правая сторона (зависящая от времени часть) закона движения может быть выражена как

в предположении, что как ненапряженное состояние, так и начальное состояние деформации статичны и, следовательно .

Для левая сторона (пространственно-зависимая часть) пространственная Лагранжиан частные производные по может быть расширен в Эйлеров используя Правило цепи и изменяя переменные через связь между векторами смещения как [8]

где краткая форма был использован. Таким образом

Предполагая далее, что статическая начальная деформация (предварительно напряженное состояние) находится в равновесие Значит это , и закон движения может в сочетании с определяющим уравнением, приведенным выше, быть сведен к линейной зависимости (т.е.когда члены более высокого порядка в ) между статической начальной деформацией и дополнительное динамическое возмущение в качестве[7] (видеть [9] для подробных выводов)

куда

Это выражение признано линейное волновое уравнение. Учитывая плоская волна формы

куда является лагранжевым единичным вектором в направлении распространения (т. е. параллельно волновому числу нормально к фронту волны), - единичный вектор, называемый вектором поляризации (описывающий направление движения частицы), - фазовая скорость волны, а это дважды непрерывно дифференцируемая функция (например, синусоидальный функция). Вставка этой плоской волны в полученное выше линейное волновое уравнение дает[10]

куда вводится как акустический тензор и зависит от в качестве[10]

Это выражение называется условие распространения и определяет для данного направления распространения скорость и поляризация возможных волн, соответствующих плоским волнам. Скорости волн можно определить по характеристическое уравнение[10]

куда это детерминант и это единичная матрица.

Для сверхупругого материала симметрично (но не в общем случае), а собственные значения (), таким образом, реальны. Чтобы скорости волн также были действительными, собственные значения должны быть положительными.[1] В этом случае для данного направления распространения существуют три взаимно ортогональные реальные плоские волны. . Из двух выражений акустического тензора видно, что[10]

и неравенство (также называемое условием сильной эллиптичности) для всех ненулевых векторов и гарантировать, что скорость однородных плоских волн действительна. Поляризация соответствует продольная волна где движение частицы параллельно направлению распространения (также называемое волной сжатия). Две поляризации, где соответствует поперечные волны где движение частицы ортогонально направлению распространения (также называемое поперечными волнами).[10]

Изотропные материалы

Модули упругости для изотропных материалов

Для изотропного тензора второго порядка (т. Е. Тензора, имеющего одинаковые компоненты в любой системе координат), такого как тензор лагранжевой деформации иметь инварианты куда это след оператор и . Таким образом, функция энергии деформации изотропного материала может быть выражена следующим образом: , или их суперпозицию, которую можно переписать как[8]

куда являются константами. Константы и являются модули упругости второго порядка более известный как Параметры Ламе, пока и - модули упругости третьего порядка, введенные формулой[11] которые являются альтернативными, но эквивалентными и представленный Мурнаганом.[4]Комбинируя это с общим выражением для функции энергии деформации, становится ясно, что[8]

куда . Использовался исторически другой выбор этих упругих постоянных третьего порядка, и некоторые из вариантов показаны в таблице 1.

Таблица 1: Связь между упругими постоянными третьего порядка для изотропных твердых тел [7]
Ландау и Лифшиц (1986)[11]Тупин и Бернштейн (1961)[12]Мурнаган (1951)[4]Блэнд (1969)[13]Эринген и Сухуби (1974)[14]Стандарт

Примеры значений для стали

В таблицах 2 и 3 представлены упругие постоянные второго и третьего порядка для некоторых типов сталей, представленных в литературе.

Таблица 2: Константы Ламе, Тупена и Бернштейна в ГПа
Константы ЛамеКонстанты Тупена и Бернштейна
Материал
Hecla 37 (0,4% С)[15]
Hecla 37 (0,6% С)[15]
Hecla 138A[15]
Rex 535 Ni сталь[15]
Hecla ATV аустенитный[15]
Таблица 3: Константы Ламе и Мурнагана в ГПа
Константы ЛамеКонстанты Мурнагана
Материал
Никель-сталь S / NVT[16]
Рельсовая сталь образец 1 [17]
Рельсовая сталь образец 4[17]

Акустоупругость при одноосном растяжении изотропных гиперупругих материалов

А кубовидный образец сжимаемый твердое тело в ненапряженной базовой конфигурации можно выразить декартовыми координатами , где геометрия выровнена с лагранжевой системой координат, и - длина сторон кубоида в исходной конфигурации. Подвергая кубоиду одноосное растяжение в -направление так, что оно деформируется с чистой однородной деформацией, так что координаты материальных точек в деформированной конфигурации могут быть выражены как , что дает удлинение

в -направление. Здесь обозначает текущую (деформированную) длину стороны кубоида и где отношение длин сторон в текущей и эталонной конфигурации обозначено как

называется главными участками. Для изотропного материала это соответствует деформации без вращения (см. полярное разложение тензора градиента деформации куда и вращение ). Это можно описать через спектральное представление по основным участкам как собственные значения или, что то же самое, удлинениями .

Для одноосного растяжения в -направление ( мы предполагаем, что увеличиться на некоторую сумму. Если боковые грани без тяги (т.е. ) боковые удлинения и ограничены диапазоном . Для изотропной симметрии боковые удлинения (или сжатия) также должны быть одинаковыми (т. Е. ). Диапазон соответствует диапазону от полного бокового сокращения (, что не является физическим), и без изменения боковых размеров (). Следует отметить, что теоретически диапазон может быть расширен до значений больше 0, соответствующих увеличению поперечных размеров в результате увеличения осевого размера. Однако очень мало материалов (называемых ауксетический материалы) демонстрируют это свойство.

Расширение скоростей звука

Плоская продольная (давление) пульсовая волна
Сдвиговая (поперечная) плоская волна

Если условие сильной эллиптичности () выполняется три ортогонально поляризационных направления ( даст ненулевую и реальную скорость звука для данного направления распространения . Далее будут выведены скорости звука для одного выбора приложенного одноосного натяжения, направления распространения и ортонормированного набора векторов поляризации. Для одноосного растяжения, применяемого в -направление и определение скоростей звука для волн, распространяющихся ортогонально приложенному натяжению (например, в -направление с вектором распространения ), один из вариантов ортонормированных поляризаций может быть

что дает три скорости звука

где первый индекс скоростей звука указывают направление распространения (здесь -направление, а второй индекс указать выбранное направление поляризации ( соответствует движению частицы в направлении распространения - т.е. продольная волна, и соответствует движению частицы перпендикулярно направлению распространения (т.е. поперечной волне).

Раскладывая соответствующие коэффициенты акустического тензора и подставляя модули упругости второго и третьего порядка и с их изотропными эквивалентами, и соответственно, приводит к скоростям звука, выражаемым как

куда

- коэффициенты акустоупругости, связанные с эффектами упругих постоянных третьего порядка.[18]

Методы измерения

Акустическая установка с преобразователями передатчика и приемника.
Акустическая установка на основе эхо-импульса

Чтобы иметь возможность измерить скорость звука и, в частности, изменение скорости звука в материале, находящемся в некотором напряженном состоянии, можно измерить скорость акустического сигнала, распространяющегося через рассматриваемый материал. Для этого существует несколько методов, но все они используют одно из двух физических соотношений скорости звука. Первое соотношение связано со временем, за которое сигнал распространяется от одной точки до другой (обычно расстояние между двумя точками). акустические преобразователи или в два раза больше расстояния от одного преобразователя до отражающей поверхности). Это часто называют "Время полета" (TOF) измерения и используйте соотношение

куда - расстояние, на которое проходит сигнал, и это время нужно преодолеть это расстояние. Второе соотношение связано с обратной величиной времени, т.е. частота, сигнала. Отношение здесь

куда - частота сигнала и это длина волны. Измерения с использованием частоты в качестве измеряемой величины используют явление акустический резонанс куда количество длин волн соответствует длине, на которой сигнал резонирует. Оба эти метода зависят от расстояния, на котором они измеряются, либо напрямую, как во время пролета, либо косвенно через соответствие числа длин волн на физическом расстоянии образца, которые резонируют.

Пример методик ультразвукового контроля

В общем, есть два способа настроить систему преобразователя для измерения скорости звука в твердом теле. Один из них - это установка с двумя или более преобразователями, в которой один действует как передатчик, а другой (и) действует как приемник. Затем измерение скорости звука может быть выполнено путем измерения времени между генерацией сигнала в передатчике и его записью в приемнике, предполагая, что известно (или измерено) расстояние, которое акустический сигнал прошел между преобразователями, или, наоборот, Измерьте резонансную частоту, зная толщину, на которой волна резонирует. Другой тип установки часто называют эхо-импульс система. Здесь один преобразователь размещается рядом с образцом, действуя как передатчик и приемник. Для этого требуется отражающий интерфейс, где сгенерированный сигнал может быть отражен обратно к датчику, который затем действует как приемник, записывающий отраженный сигнал. Видеть ультразвуковой контроль для некоторых систем измерения.

Продольные и поляризованные поперечные волны

Диаграмма, показывающая преобразование мод, которое происходит, когда продольная волна падает на границу раздела при ненормальном падении

Как объяснялось выше, набор из трех ортонормированных поляризаций () движения частицы существуют для данного направления распространения в твердом состоянии. Для измерительных установок, в которых преобразователи могут быть прикреплены непосредственно к исследуемому образцу, можно создать эти три поляризации (одну продольную и две ортогональные поперечные волны) путем применения различных типов преобразователей, возбуждающих желаемую поляризацию (например, пьезоэлектрический преобразователи с необходимыми режим колебаний). Таким образом, можно измерить скорость звука волн со всеми тремя поляризациями с помощью временных или частотно-зависимых измерительных установок, в зависимости от выбора типа преобразователя. Однако, если преобразователь не может быть прикреплен к испытуемому образцу, необходима связующая среда для передачи акустической энергии от преобразователя к образцу. В качестве связывающей среды часто используются вода или гели. Однако для измерения продольной скорости звука этого достаточно. жидкости не переносят поперечные волны, и, таким образом, чтобы иметь возможность генерировать и измерять скорость поперечных волн в испытуемом образце, падающая продольная волна должна взаимодействовать под косым углом на поверхности жидкости / твердого тела, чтобы генерировать поперечные волны через преобразование режима. Такие поперечные волны затем преобразуются обратно в продольные волны на твердой / жидкой поверхности, распространяющиеся обратно через жидкость к регистрирующему преобразователю, что позволяет измерять скорости поперечных волн также через соединительную среду.

Приложения

Инженерный материал - оценка напряжений

Поскольку отрасль стремится снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт, неразрушающий контроль сооружений становится все более ценным как для управления производством, так и как средство измерения использования и состояния ключевой инфраструктуры. Есть несколько методов измерения для измерения напряжение в материале. Однако методы, использующие оптический измерения, магнитный измерения, дифракция рентгеновских лучей, и нейтронография все ограничиваются измерением поверхностных или приповерхностных напряжений или деформаций. Акустические волны с легкостью распространяются через материалы и, таким образом, предоставляют средства для исследования внутренних частей конструкций, где уровень напряжений и деформаций важен для общего целостность конструкции.Поскольку скорость звука таких нелинейно-упругих материалов (включая обычные строительные материалы, такие как алюминий и стали) имеют зависимость от напряжения, одним из применений акустоупругого эффекта может быть измерение напряженного состояния внутри нагруженного материала с использованием различных акустических датчиков (например, ультразвуковой контроль) для измерения изменения скорости звука.

Гранулированные и пористые материалы - геофизика

сейсмология изучать распространение упругих волн через Землю и используется, например, в землетрясение исследования и в картографирование недр Земли. Внутри Земли действует различное давление, и поэтому акустические сигналы могут проходить через среду в различных напряженных состояниях. Таким образом, акустоупругая теория может представлять практический интерес, когда нелинейное волновое поведение может быть использовано для оценки геофизических свойств.[8]

Мягкие ткани - медицинское УЗИ

Другие приложения могут быть в медицине сонография и эластография измерение уровня напряжения или давления в соответствующих типах эластичных тканей (например, [19][20][21] ), усиливая неинвазивный диагностика.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж Огден, Р. В., Нелинейные упругие деформации, Dover Publications Inc., Минеола, Нью-Йорк (1984)
  2. ^ Бриллюэн, Леон (1925). "Lestenssions de radiation; leur interprétation en mécanique classique et en relativité". Journal de Physique et le Radium. 6 (11): 337–353. Дои:10.1051 / jphysrad: 01925006011033700. ISSN 0368-3842.
  3. ^ Тан, Сэм (1967). «Распространение волн в первоначально напряженных упругих телах». Acta Mechanica. 4 (1): 92–106. Дои:10.1007 / BF01291091. ISSN 0001-5970. S2CID 121910597.
  4. ^ а б c Мурнаган, Ф. Д. (1937). «Конечные деформации упругого твердого тела». Американский журнал математики. 59 (2): 235–260. Дои:10.2307/2371405. ISSN 0002-9327. JSTOR 2371405.
  5. ^ Hughes, D. S .; Келли, Дж. Л. (1953). «Упругое деформирование твердого тела второго порядка». Физический обзор. 92 (5): 1145–1149. Bibcode:1953PhRv ... 92.1145H. Дои:10.1103 / PhysRev.92.1145. ISSN 0031-899X.
  6. ^ «Анизотропия и изотропия». Архивировано из оригинал на 2012-05-31. Получено 2013-12-07.
  7. ^ а б c Норрис, А. Н. (1997). «Волны конечной амплитуды в твердых телах». В Гамильтоне, Марк Ф .; Блэксток, Дэвид Т. (ред.). Нелинейная акустика. Акустическое общество Америки. ISBN 978-0123218605.
  8. ^ а б c d е ж Норрис, А. Н. (2007). «Теория малого и большого с приложениями к сыпучим материалам и жидкостным / твердым системам» (PDF). В М. Дестрейде; Г. Саккоманди (ред.). Волны в нелинейных предварительно напряженных материалах. Курсы и лекции по CISM. 495. Спрингер, Вена. Дои:10.1007/978-3-211-73572-5. ISBN 978-3-211-73572-5.
  9. ^ а б Эльдевик, С., "Измерение нелинейного акустоупругого эффекта в стали с использованием акустического резонанса", докторская диссертация, Бергенский университет, (в стадии подготовки)
  10. ^ а б c d е Огден, Р. В. (2007). «Инкрементная статика и динамика предварительно напряженных упругих материалов» (PDF). В М. Дестрейде; Г. Саккоманди (ред.). Волны в нелинейных предварительно напряженных материалах. Курсы и лекции по CISM. 495. Спрингер, Вена. Дои:10.1007/978-3-211-73572-5. ISBN 978-3-211-73572-5.
  11. ^ а б Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1970). Теория упругости (второе изд.). Pergamon Press. ISBN 9780080064659.
  12. ^ Toupin, R.A .; Бернштейн, Б. (1961). "Sound Waves in Deformed Perfectly Elastic Materials. Acoustoelastic Effect". Журнал акустического общества Америки. 33 (2): 216–225. Bibcode:1961ASAJ...33..216T. Дои:10.1121/1.1908623. ISSN 0001-4966.
  13. ^ Bland, D. R., Nonlinear dynamic elasticity, Blaisdell Waltham, (1969)
  14. ^ Suhubi, E. S., Eringen, A. C., Elastodynamics, Academic press New York, (1974)
  15. ^ а б c d е Smith, R. T.; Стерн, Р .; Stephens, R. W. B. (1966). "Third‐Order Elastic Moduli of Polycrystalline Metals from Ultrasonic Velocity Measurements". Журнал акустического общества Америки. 40 (5): 1002–1008. Bibcode:1966ASAJ...40.1002S. Дои:10.1121/1.1910179. ISSN 0001-4966.
  16. ^ Crecraft, D.I. (1967). "The measurement of applied and residual stresses in metals using ultrasonic waves". Журнал звука и вибрации. 5 (1): 173–192. Bibcode:1967JSV.....5..173C. Дои:10.1016/0022-460X(67)90186-1. ISSN 0022-460X.
  17. ^ а б Egle, D. M.; Bray, D. E. (1976). "Measurement of acoustoelastic and third‐order elastic constants of rail steel". Журнал акустического общества Америки. 59 (S1): S32. Bibcode:1976ASAJ...59...32E. Дои:10.1121/1.2002636. ISSN 0001-4966.
  18. ^ Abiza, Z.; Destrade, M.; Ogden, R.W. (2012). "Large acoustoelastic effect". Wave Motion. 49 (2): 364–374. arXiv:1302.4555. Дои:10.1016/j.wavemoti.2011.12.002. ISSN 0165-2125. S2CID 119244072.
  19. ^ Gennisson, J.-L.; Rénier, M.; Catheline, S.; Barrière, C .; Bercoff, J.; Tanter, M.; Fink, M. (2007). "Acoustoelasticity in soft solids: Assessment of the nonlinear shear modulus with the acoustic radiation force". Журнал акустического общества Америки. 122 (6): 3211–3219. Bibcode:2007ASAJ..122.3211G. Дои:10.1121/1.2793605. ISSN 0001-4966. PMID 18247733.
  20. ^ Jun Wu; Wei He; Wei-min Chen; Lian Zhu (2013). "Research on simulation and experiment of noninvasive intracranial pressure monitoring based on acoustoelasticity effects". Медицинское оборудование: доказательства и исследования. 6: 123–131. Дои:10.2147/MDER.S47725. ЧВК 3758219. PMID 24009433.
  21. ^ Duenwald, Sarah; Kobayashi, Hirohito; Frisch, Kayt; Lakes, Roderic; Vanderby, Ray (2011). "Ultrasound echo is related to stress and strain in tendon". Журнал биомеханики. 44 (3): 424–429. Дои:10.1016/j.jbiomech.2010.09.033. ISSN 0021-9290. ЧВК 3022962. PMID 21030024.