WikiDer > Адельная алгебраическая группа

В абстрактная алгебра, адельная алгебраическая группа это семитопологическая группа определено алгебраическая группа грамм через числовое поле K, а адель кольцо А = А(K) из K. Он состоит из точек грамм имеющий ценности в А; определение соответствующего топология просто только в том случае, если грамм это линейная алгебраическая группа. В случае грамм будучи абелева разновидность, это представляет собой техническое препятствие, хотя известно, что эта концепция потенциально полезна в связи с числами Тамагавы. Адельные алгебраические группы широко используются в теория чисел, особенно для теории автоморфные представления, а арифметика квадратичных форм.

В случае грамм является линейной алгебраической группой, это аффинное алгебраическое многообразие в аффинном N-Космос. Топология адельной алгебраической группы ${ Displaystyle G (A)}$ считается топология подпространства в А^N, то Декартово произведение из N копии кольца аделей. В этом случае, ${ Displaystyle G (A)}$является топологической группой.

Ideles

Важный пример: группа иделей я(K), это случай ${ displaystyle G = GL_ {1}}$. Здесь набор Ideles (также идели /ɪˈdɛлz/) состоит из обратимых аделей; но топология на группе идеелей нет их топология как подмножество аделей. Вместо этого, учитывая, что ${ displaystyle GL_ {1}}$ лежит в двумерном аффинное пространство как 'гипербола'определяется параметрически

${ Displaystyle {(т, т ^ {- 1}) },}$

топология, правильно назначенная группе иделей, индуцирована включением в А²; составляя с проекцией, следует, что иделы несут более тонкая топология чем топология подпространства изА.

Внутри А^N, продукт K^N ложь как дискретная подгруппа. Это означает, что грамм(K) - дискретная подгруппа грамм(А), также. В случае группы иделей факторгруппа

${ Displaystyle I (К) / К ^ { раз} ,}$

это группа классов иделей. Он тесно связан (хотя и больше) с группа идеального класса. Группа классов иделей сама по себе не компактна; сначала нужно заменить идели на идеели нормы 1, а затем образ тех, что входят в группу классов идеелей, является компактная группа; доказательство этого по существу эквивалентно конечности числа классов.

Изучение Когомологии Галуа групп классов иделей является центральным вопросом в теория поля классов. Символы группы классов иделей, которую теперь обычно называют Гекке персонажи или Größencharacters, порождают самый основной класс L-функции.

Числа тамагава

Для более общего грамм, то Число тамагава определяется (или вычисляется косвенно) как мера

грамм(А)/грамм(K).

Цунео ТамагаваНаблюдение заключалось в том, что, начиная с инварианта дифференциальная форма ω на грамм, определенный более K, задействованная мера была четко определенный: а ω можно заменить на cω с c ненулевой элемент K, то формула продукта за оценки в K отражается в независимости от c меры частного для меры произведения, построенной из ω для каждого эффективного фактора. Вычисление чисел Тамагавы для полупростые группы содержит важные части классической квадратичная форма теория.

История терминологии

Исторически сложилось так идели были представлены Chevalley (1936) под названием "élément idéal", что по-французски означает "идеальный элемент", Шевалле (1940) затем сокращено до «idèle» по предложению Хассе. (В этих работах он также дал иделам не-Топология Хаусдорфа.) Это было сформулировать теория поля классов для бесконечных расширений в терминах топологических групп. Вейль (1938) определил (но не назвал) кольцо аделей в случае функционального поля и указал, что группа Шевалле Idealelemente была группой обратимых элементов этого кольца. Тейт (1950) определил кольцо аделей как ограниченный прямой продукт, хотя назвал его элементы «векторами оценки», а не аделями.

Шевалле (1951) определил кольцо аделей в случае функционального поля под названием «переделы». Период, термин Адель (сокращение от аддитивных иделей, а также имени француженки) использовалось вскоре после этого (Джаффард 1953) и, возможно, были введены Андре Вайль. Общая конструкция адельных алгебраических групп Оно (1957) последовал теории алгебраических групп, основанной Арман Борель и Хариш-Чандра.

Рекомендации

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Март 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Шевалле, Клод (1936), «Генерализация теории корпуса классов для бесконечных расширений», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 15: 359–371, JFM 62.1153.02
• Шевалле, Клод (1940), "Теория корпуса классов", Анналы математики, Вторая серия, 41: 394–418, Дои:10.2307/1969013, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969013, МИСТЕР 0002357
• Шевалле, Клод (1951), Введение в теорию алгебраических функций одной переменной, Математические обзоры, № VI, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, МИСТЕР 0042164
• Джаффард, Пол (1953), Анно д'адель (d'après Iwasawa), Séminaire Bourbaki, Secrétariat mathématique, Париж, МИСТЕР 0157859
• Оно, Такаши (1957), "Sur une propriété arithmétique des groupes algébriques commutatifs", Bulletin de la Société Mathématique de France, 85: 307–323, ISSN 0037-9484, МИСТЕР 0094362
• Тейт, Джон Т. (1950), "Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке", Алгебраическая теория чисел (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 305–347, ISBN 978-0-9502734-2-6, МИСТЕР 0217026
• Вайль, Андре (1938), "Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen"., Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 179: 129–133, Дои:10.1515 / crll.1938.179.129, ISSN 0075-4102

внешняя ссылка

• Рапинчук, А. (2001) [1994], "Число Тамагава", Энциклопедия математики, EMS Press