WikiDer > Адиабатическая теорема

В адиабатическая теорема это концепция в квантовая механика. Его первоначальная форма, благодаря Макс Борн и Владимир Фок (1928), было сказано следующее:

Физическая система остается в своей мгновенной собственное состояние если данный возмущение действует на него достаточно медленно и если есть зазор между собственное значение и остальные Гамильтонианс спектр.^[1]

Проще говоря, квантово-механическая система, подверженная постепенно изменяющимся внешним условиям, адаптирует свою функциональную форму, но когда она подвергается быстро меняющимся условиям, у функциональной формы недостаточно времени для адаптации, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной.

Диабатические и адиабатические процессы

В какое-то начальное время ${ displaystyle scriptstyle {т_ {0}}}$ квантово-механическая система имеет энергию, заданную гамильтонианом ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (t_ {0})}}$; система находится в собственном состоянии ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (t_ {0})}}$ маркированный ${ displaystyle scriptstyle { psi (x, t_ {0})}}$. Изменение условий непрерывно модифицирует гамильтониан, в результате чего получается окончательный гамильтониан ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (t_ {1})}}$ в более позднее время ${ Displaystyle scriptstyle {т_ {1}}}$. Система будет развиваться в зависимости от времени. Уравнение Шредингера, чтобы достичь конечного состояния ${ displaystyle scriptstyle { psi (x, t_ {1})}}$. Адиабатическая теорема утверждает, что модификация системы критически зависит от времени ${ displaystyle scriptstyle { tau = t_ {1} -t_ {0}}}$ во время которого происходит модификация.

Для действительно адиабатического процесса нам требуется ${ Displaystyle scriptstyle { tau rightarrow infty}}$; в этом случае конечное состояние ${ displaystyle scriptstyle { psi (x, t_ {1})}}$ будет собственным состоянием финального гамильтониана ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (t_ {1})}}$, с измененной конфигурацией:

${ displaystyle | psi (х, t_ {1}) | ^ {2} neq | psi (x, t_ {0}) | ^ {2}}$.

Степень, в которой данное изменение приближается к адиабатическому процессу, зависит как от энергетического разделения между ${ displaystyle scriptstyle { psi (x, t_ {0})}}$ и соседних состояний, а отношение интервала ${ displaystyle scriptstyle { tau}}$ к характерному масштабу времени эволюции ${ displaystyle scriptstyle { psi (x, t_ {0})}}$ для гамильтониана, не зависящего от времени, ${ displaystyle scriptstyle { tau _ {int} = 2 pi hbar / E_ {0}}}$, куда ${ displaystyle scriptstyle {E_ {0}}}$ это энергия ${ displaystyle scriptstyle { psi (x, t_ {0})}}$.

Наоборот, в пределе ${ displaystyle scriptstyle { tau rightarrow 0}}$ у нас есть бесконечно быстрый или диабатический переход; конфигурация состояния остается неизменной:

${ displaystyle | psi (x, t_ {1}) | ^ {2} = | psi (x, t_ {0}) | ^ {2} quad}$.

Так называемое «условие разрыва», включенное в исходное определение Борна и Фока, данное выше, относится к требованию, чтобы спектр из ${ displaystyle scriptstyle { hat {H}}}$ является дискретный и невырожденный, так что нет неоднозначности в порядке состояний (легко установить, какое собственное состояние ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (t_ {1})}}$ соответствует к ${ displaystyle scriptstyle { psi (t_ {0})}}$). В 1999 г. Дж. Э. Аврон и А. Элгарт переформулировали адиабатическую теорему, чтобы адаптировать ее к ситуациям без пробелов.^[3]

Сравнение с адиабатической концепцией в термодинамике

Обратите внимание, что термин «адиабатический» традиционно используется в термодинамика для описания процессов без теплообмена между системой и окружающей средой (см. адиабатический процесс), точнее, эти процессы обычно происходят быстрее, чем шкала времени теплообмена (как волна давления адиабатична по сравнению с волной тепла, которая не является адиабатической). Адиабатика в контексте термодинамики часто используется как синоним быстрого процесса.

В Классический и Квантовый определение механики^[4] ближе к термодинамической концепции квазистатический процесс, которые являются процессами, которые почти всегда находятся в равновесии (т. е. медленнее, чем временные масштабы взаимодействия внутреннего энергообмена, а именно "нормальная" атмосферная тепловая волна является квазистатической, а волна давления - нет). Адиабатика в контексте механики часто используется как синоним медленного процесса.

В квантовом мире адиабатика означает, например, что временная шкала взаимодействий электронов и фотонов намного быстрее или почти мгновенна по сравнению со средней шкалой времени распространения электронов и фотонов. Следовательно, мы можем моделировать взаимодействия как часть непрерывного распространения электронов и фотонов (то есть состояний в равновесии) плюс квантовый скачок между состояниями (то есть мгновенные).

Адиабатическая теорема в этом эвристическом контексте по существу говорит о том, что предпочтительно избегать квантовых скачков и что система пытается сохранить состояние и квантовые числа.^[5]

Квантово-механическое понятие адиабаты связано с Адиабатический инвариант, он часто используется в Старая квантовая теория и не имеет прямого отношения к теплообмену.

Примеры систем

Простой маятник

В качестве примера рассмотрим маятник колеблется в вертикальной плоскости. Если опору сдвинуть, режим колебаний маятника изменится. Если опора перемещена достаточно медленно, движение маятника относительно опоры не изменится. Постепенное изменение внешних условий позволяет системе адаптироваться, так что она сохраняет свой первоначальный характер. Подробный классический пример доступен в Адиабатический инвариант страницу и здесь.^[6]

Квантовый гармонический осциллятор

Рисунок 1. Изменение плотности вероятности, ${ displaystyle scriptstyle {| psi (t) | ^ {2}}}$квантового гармонического осциллятора в основном состоянии из-за адиабатического увеличения жесткости пружины.

В классический природа маятника не позволяет полностью описать эффекты адиабатической теоремы. В качестве следующего примера рассмотрим квантовый гармонический осциллятор как жесткость пружины ${ displaystyle scriptstyle {k}}$ увеличена. Классически это эквивалентно увеличению жесткости пружины; квантово-механически эффект заключается в сужении потенциальная энергия кривая в системе Гамильтониан.

Если ${ displaystyle scriptstyle {k}}$ увеличивается адиабатически ${ displaystyle scriptstyle { left ({ frac {dk} {dt}} rightarrow 0 right)}}$ тогда система во время ${ displaystyle scriptstyle {t}}$ будет в мгновенном собственном состоянии ${ displaystyle scriptstyle { psi (t)}}$ из Текущий Гамильтониан ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (т)}}$, соответствующее начальному собственному состоянию ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (0)}}$. В частном случае системы, подобной квантовому гармоническому осциллятору, описываемому одним квантовое число, это означает, что квантовое число останется неизменным. Рисунок 1 показывает, как гармонический осциллятор, первоначально находящийся в основном состоянии, ${ displaystyle scriptstyle {п = 0}}$, остается в основном состоянии при сжатии кривой потенциальной энергии; функциональная форма адаптации состояния к медленно меняющимся условиям.

При быстро увеличивающейся жесткости пружины система подвергается диабатическому процессу. ${ displaystyle scriptstyle { left ({ frac {dk} {dt}} rightarrow infty right)}}$ в котором система не успевает адаптировать свою функциональную форму к меняющимся условиям. Хотя конечное состояние должно выглядеть идентично исходному состоянию ${ Displaystyle scriptstyle { left (| psi (t) | ^ {2} = | psi (0) | ^ {2} right)}}$ для процесса, происходящего за исчезающий период времени, у нового гамильтониана нет собственного состояния, ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (т)}}$, что напоминает исходное состояние. Конечное состояние состоит из линейная суперпозиция множества различных собственных состояний ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (т)}}$ сумма которых воспроизводит форму исходного состояния.

Избегайте пересечения кривой

Фигура 2. Избегание пересечения уровней энергии в двухуровневой системе во внешнем магнитном поле. Обратите внимание на энергии диабатических состояний, ${ displaystyle scriptstyle {| 1 rangle}}$ и ${ displaystyle scriptstyle {| 2 rangle}}$ и собственные значения гамильтониана, давая энергии собственных состояний ${ displaystyle scriptstyle {| phi _ {1} rangle}}$ и ${ displaystyle scriptstyle {| phi _ {2} rangle}}$ (адиабатические состояния). (Фактически, ${ displaystyle scriptstyle {| phi _ {1} rangle}}$ и ${ displaystyle scriptstyle {| phi _ {2} rangle}}$ должен быть переключен на этом изображении.)

Для более широко применимого примера рассмотрим 2-уровень атом подвергается внешнему магнитное поле.^[7] Состояния, помеченные ${ displaystyle scriptstyle {| 1 rangle}}$ и ${ displaystyle scriptstyle {| 2 rangle}}$ с помощью обозначение бюстгальтера, можно рассматривать как атомные состояния с угловым моментом, каждый с определенной геометрией. По причинам, которые станут ясными, эти состояния впредь будут называться диабатическими. Волновую функцию системы можно представить как линейную комбинацию диабатических состояний:

${ displaystyle | Psi rangle = c_ {1} (t) | 1 rangle + c_ {2} (t) | 2 rangle.}$

При отсутствии поля энергетическое разделение диабатических состояний равно ${ displaystyle scriptstyle { hbar omega _ {0}}}$; энергия состояния ${ displaystyle scriptstyle {| 1 rangle}}$ увеличивается с увеличением магнитного поля (состояние с малым полем), а энергия состояния ${ displaystyle scriptstyle {| 2 rangle}}$ уменьшается с увеличением магнитного поля (состояние поиска сильного поля). Предполагая линейную зависимость от магнитного поля, Матрица гамильтониана для системы с приложенным полем можно записать

${ displaystyle mathbf {H} = { begin {pmatrix} mu B (t) - hbar omega _ {0} / 2 & a a ^ {*} & hbar omega _ {0} / 2 - mu B (t) end {pmatrix}}}$

куда ${ displaystyle scriptstyle { mu}}$ это магнитный момент атома, предполагаемого одинаковым для двух диабатических состояний, и ${ displaystyle scriptstyle {a}}$ не зависит от времени связь между двумя государствами. Диагональные элементы - это энергии диабатических состояний (${ displaystyle scriptstyle {E_ {1} (t)}}$ и ${ displaystyle scriptstyle {E_ {2} (t)}}$), однако как ${ displaystyle scriptstyle { mathbf {H}}}$ это не диагональная матрица, ясно, что эти состояния не являются собственными состояниями нового гамильтониана, включающего вклад магнитного поля.

Собственные векторы матрицы ${ displaystyle scriptstyle { mathbf {H}}}$ - собственные состояния системы, которые мы обозначим ${ Displaystyle scriptstyle {| phi _ {1} (т) rangle}}$ и ${ Displaystyle scriptstyle {| phi _ {2} (т) rangle}}$, с соответствующими собственными значениями

${ displaystyle { begin {align} varepsilon _ {1} (t) & = - { frac {1} {2}} { sqrt {4a ^ {2} + ( hbar omega _ {0} -2 mu B (t)) ^ {2}}} varepsilon _ {2} (t) & = + { frac {1} {2}} { sqrt {4a ^ {2} + ( hbar omega _ {0} -2 mu B (t)) ^ {2}}}. конец {выровнен}}}$

Важно понимать, что собственные значения ${ Displaystyle scriptstyle { varepsilon _ {1} (т)}}$ и ${ Displaystyle scriptstyle { varepsilon _ {2} (т)}}$ являются единственными разрешенными выходами для любого индивидуального измерения энергии системы, тогда как диабатические энергии ${ displaystyle scriptstyle {E_ {1} (t)}}$ и ${ displaystyle scriptstyle {E_ {2} (t)}}$ соответствуют ожидаемые значения для энергии системы в диабатических состояниях ${ displaystyle scriptstyle {| 1 rangle}}$ и ${ displaystyle scriptstyle {| 2 rangle}}$.

фигура 2 показывает зависимость диабатической и адиабатической энергий от величины магнитного поля; обратите внимание, что для ненулевой связи собственные значения гамильтониана не может быть выродиться, и, таким образом, мы имеем избегаемый переход. Если атом изначально находится в состоянии ${ Displaystyle scriptstyle {| phi _ {2} (т_ {0}) rangle}}$ в нулевом магнитном поле (на красной кривой, крайний слева), адиабатическое увеличение магнитного поля ${ displaystyle scriptstyle { left ({ frac {dB} {dt}} rightarrow 0 right)}}$ гарантирует, что система останется в собственном состоянии гамильтониана ${ Displaystyle scriptstyle {| phi _ {2} (т) rangle}}$ на протяжении всего процесса (по красной кривой). Дьявольское увеличение магнитного поля ${ displaystyle scriptstyle { left ({ frac {dB} {dt}} rightarrow infty right)}}$ будет гарантировать, что система следует диабатическому пути (пунктирная синяя линия), так что система претерпевает переход в состояние ${ Displaystyle scriptstyle {| phi _ {1} (т_ {1}) rangle}}$. Для конечных скоростей нарастания магнитного поля ${ displaystyle scriptstyle { left (0 <{ frac {dB} {dt}} < infty right)}}$ будет конечная вероятность обнаружения системы в любом из двух собственных состояний. Видеть ниже для подходов к вычислению этих вероятностей.

Эти результаты чрезвычайно важны в атомный и молекулярная физика для управления распределением энергетических состояний в популяции атомов или молекул.

Доказательство адиабатической теоремы

Математическая формулировка адиабатической теоремы

Математически теорему можно сформулировать следующим образом. [1]:

Для медленно меняющегося гамильтониана ${ displaystyle { hat {H}}}$ во временном диапазоне T решение уравнения Шредингера ${ Displaystyle Пси (т)}$ с начальными условиями ${ Displaystyle Psi (0) = psi _ {n} (0)}$

куда ${ Displaystyle psi _ {п} (т)}$ является собственным вектором мгновенного уравнения Шредингера ${ displaystyle { hat {H}} (t) psi _ {n} (t) = E_ {n} (t) psi _ {n} (t)}$ можно приблизительно представить как:

${ Displaystyle left | { Psi (t) - psi _ {адиабатический} (t)} right | приблизительно о ({ frac {1} {T}})}$

где адиабатическое приближение:

${ displaystyle | psi _ {адиабатический} (t) rangle = e ^ { theta _ {n} (t)} e ^ { gamma _ {n} (t)} | psi _ {n} ( t) rangle}$

и

${ displaystyle theta _ {n} (t) = - { frac {1} { hbar}} int _ {0} ^ {t} E_ {n} (t ') dt'}$

${ displaystyle gamma _ {n} (t) = int _ {0} ^ {t} nu _ {n} (t ') dt'}$ также называемый Ягодная фаза

${ displaystyle nu _ {n} (t) = я langle psi _ {n} (t) | { dot { psi}} _ {n} (t) rangle}$

Доказательство

Рассмотрим зависящий от времени Уравнение Шредингера

${ Displaystyle я hbar { partial over partial t} | psi (t) rangle = { hat {H}} ({ tfrac {t} {T}}) | psi (t) rangle}$

с Гамильтониан ${ displaystyle { hat {H}} (t).}$Мы хотели бы знать связь между начальным состоянием ${ displaystyle | psi (0) rangle}$ и его конечное состояние ${ displaystyle | psi (T) rangle}$ в ${ displaystyle t = T}$ в адиабатическом пределе ${ displaystyle T to infty.}$

Первое переопределение времени как ${ displaystyle lambda = { tfrac {t} {T}} in [0,1]}$:

${ displaystyle i hbar { partial over partial lambda} | psi ( lambda) rangle = T { hat {H}} ( lambda) | psi ( lambda) rangle.}$

В любой момент времени ${ displaystyle { hat {H}} ( lambda)}$ можно диагонализовать ${ displaystyle { hat {H}} ( lambda) | psi _ {n} ( lambda) rangle = E_ {n} ( lambda) | psi _ {n} ( lambda) rangle}$ с собственными значениями ${ displaystyle E_ {n}}$ и собственные векторы ${ displaystyle | psi _ {n} ( lambda) rangle}$. Поскольку собственные векторы образуют полный базис в любой момент, мы можем разложить ${ displaystyle | psi ( lambda) rangle}$ в качестве:

${ displaystyle | psi ( lambda) rangle = sum _ {n} c_ {n} ( lambda) | psi _ {n} ( lambda) rangle e ^ {iT theta _ {n} ( лямбда)}}$, куда ${ displaystyle theta _ {n} ( lambda) = - { frac {1} { hbar}} int limits _ {0} ^ { lambda} E_ {n} ( lambda ') d лямбда '.}$

Фаза ${ Displaystyle тета _ {п} (т)}$ называется динамический фазовый коэффициент. Путем подстановки в уравнение Шредингера можно получить другое уравнение для вариации коэффициентов:

${ displaystyle i hbar sum _ {n} ({ dot {c}} _ {n} | psi _ {n} rangle + c_ {n} | { dot { psi}} _ {n } rangle + ic_ {n} | psi _ {n} rangle T { dot { theta}} _ {n}) e ^ {iT theta _ {n}} = sum _ {n} c_ {n} TE_ {n} | psi _ {n} rangle e ^ {iT theta _ {n}}.}$

Период, термин ${ displaystyle { dot { theta}} _ {n}}$ дает ${ displaystyle -E_ {n} / hbar}$, поэтому третий член левой части компенсируется правой частью, оставляя

${ displaystyle sum _ {n} { dot {c}} _ {n} | psi _ {n} rangle e ^ {iT theta _ {n}} = - sum _ {n} c_ { n} | { dot { psi}} _ {n} rangle e ^ {iT theta _ {n}}.}$

Теперь возьмем скалярное произведение с произвольной собственной функцией ${ displaystyle langle psi _ {m} |}$, то ${ displaystyle langle psi _ {m} | psi _ {n} rangle}$ слева дает ${ displaystyle delta _ {нм}}$, который равен 1 только для м = п а в противном случае исчезает. Оставшаяся часть дает

${ displaystyle { dot {c}} _ {m} = - sum _ {n} c_ {n} langle psi _ {m} | { dot { psi}} _ {n} rangle e ^ {iT ( theta _ {n} - theta _ {m})}.}$

За ${ displaystyle T to infty}$ то ${ displaystyle e ^ {iT ( theta _ {n} - theta _ {m})}}$ будет колебаться все быстрее и быстрее и интуитивно в конечном итоге подавит почти все термины с правой стороны. Единственные исключения - когда ${ displaystyle theta _ {n} - theta _ {m}}$ имеет критическую точку, т.е. ${ Displaystyle E_ {n} ( lambda) = E_ {m} ( lambda)}$. Это тривиально верно для ${ displaystyle m = n}$. Поскольку адиабатическая теорема предполагает разрыв между собственными энергиями в любой момент времени, это не может выполняться для ${ displaystyle m neq n}$. Поэтому только ${ displaystyle m = n}$ срок останется в пределах ${ displaystyle T to infty}$.

Чтобы показать это более строго, нам сначала нужно удалить ${ displaystyle m = n}$ срок. Это можно сделать, определив ${ displaystyle d_ {m} ( lambda) = c_ {m} ( lambda) e ^ { int _ {0} ^ { lambda} langle psi _ {m} | { dot { psi} } _ {m} rangle d lambda} = c_ {m} ( lambda) e ^ {- i gamma _ {m} ( lambda)}.}.}$

Мы получаем:

${ displaystyle { dot {d}} _ {m} = - sum _ {n neq m} d_ {n} langle psi _ {m} | { dot { psi}} _ {n} rangle e ^ {iT ( theta _ {n} - theta _ {m}) - i ( gamma _ {m} - gamma _ {n})}.}$

Это уравнение можно интегрировать:

${ displaystyle { begin {align} d_ {m} (1) -d_ {m} (0) & = - int _ {0} ^ {1} sum _ {n neq m} d_ {n} langle psi _ {m} | { dot { psi}} _ {n} rangle e ^ {iT ( theta _ {n} - theta _ {m}) - i ( gamma _ {m } - gamma _ {n})} d lambda & = - int _ {0} ^ {1} sum _ {n neq m} (d_ {n} -d_ {n} (0) ) langle psi _ {m} | { dot { psi}} _ {n} rangle e ^ {iT ( theta _ {n} - theta _ {m}) - i ( gamma _ { m} - gamma _ {n})} d lambda - int _ {0} ^ { lambda} sum _ {n neq m} d_ {n} (0) langle psi _ {m} | { dot { psi}} _ {n} rangle e ^ {iT ( theta _ {n} - theta _ {m}) - i ( gamma _ {m} - gamma _ {n} )} д лямбда конец {выровнено}}}$

или записано в векторной записи

${ displaystyle { vec {d}} (1) - { vec {d}} (0) = - int _ {0} ^ {1} { hat {A}} (T, lambda) ( { vec {d}} ( lambda) - { vec {d}} (0)) d lambda - { vec { alpha}} (T).}$

Здесь ${ displaystyle { hat {A}} (T, lambda)}$ матрица и

${ displaystyle alpha _ {m} (T) = int _ {0} ^ {1} sum _ {n neq m} d_ {n} (0) langle psi _ {m} | { точка { psi}} _ {n} rangle e ^ {iT ( theta _ {n} - theta _ {m}) - i ( gamma _ {m} - gamma _ {n})} d lambda}$ по сути является преобразованием Фурье.

Это следует из Лемма Римана-Лебега который ${ displaystyle { vec { alpha}} (T) to 0}$ в качестве ${ displaystyle T to infty}$. В качестве последнего шага возьмите норму с обеих сторон приведенного выше уравнения:

${ displaystyle Vert { vec {d}} (1) - { vec {d}} (0) Vert leq Vert { vec { alpha}} (T) Vert + int _ { 0} ^ {1} Vert { hat {A}} (T, lambda) Vert Vert { vec {d}} ( lambda) - { vec {d}} (0) Vert d lambda}$

и применить Неравенство Гренвалла чтобы получить

${ displaystyle Vert { vec {d}} (1) - { vec {d}} (0) Vert leq Vert { vec { alpha}} (T) Vert e ^ { int _ {0} ^ {1} Vert { hat {A}} (T, lambda) Vert d lambda}.}$

С ${ displaystyle { vec { alpha}} (T) to 0}$ следует ${ displaystyle Vert { vec {d}} (1) - { vec {d}} (0) Vert to 0}$ за ${ displaystyle T to infty}$. Это завершает доказательство адиабатической теоремы.

В адиабатическом пределе собственные состояния гамильтониана эволюционируют независимо друг от друга. Если система подготовлена ​​в собственном состоянии ${ Displaystyle | psi (0) rangle = | psi _ {n} (0) rangle}$ его эволюция во времени определяется следующим образом:

${ displaystyle | psi ( lambda) rangle = | psi _ {n} ( lambda) rangle e ^ {iT theta _ {n} ( lambda)} e ^ {i gamma _ {n } ( lambda)}.}$

Итак, для адиабатического процесса система, начиная с псобственное состояние также остается в этом псобственное состояние, как и для не зависящих от времени процессов, только с учетом пары фазовых факторов. Фактор новой фазы ${ Displaystyle гамма _ {п} (т)}$ можно исключить подходящим выбором калибровки собственных функций. Однако если адиабатическая эволюция циклический, тогда ${ Displaystyle гамма _ {п} (т)}$ становится калибровочно-инвариантной физической величиной, известной как Ягодная фаза.

Примеры приложений

Часто твердый кристалл моделируется как набор независимых валентных электронов, движущихся в среднем идеально периодическом потенциале, создаваемом жесткой решеткой ионов. С помощью адиабатической теоремы мы также можем включить вместо этого движение валентных электронов через кристалл и тепловое движение ионов, как в Приближение Борна – Оппенгеймера.^[8]

Это объясняет многие явления в области:

• термодинамика: Температурная зависимость удельная теплоемкость, тепловое расширение, таяние
• явления переноса: температурная зависимость удельное электрическое сопротивление из проводники, температурная зависимость электропроводность в изоляторы, Некоторые свойства низких температур сверхпроводимость
• оптика: оптика поглощение в инфракрасный за ионные кристаллы, Рассеяние Бриллюэна, Рамановское рассеяние

Выведение условий для диабатического и адиабатического перехода

В этом разделе фактическая точность оспаривается. Соответствующее обсуждение можно найти на Обсуждение: Адиабатическая теорема. Пожалуйста, помогите убедиться, что оспариваемые утверждения надежный источник. (Январь 2016) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Теперь мы проведем более тщательный анализ.^[9] Используя обозначение бюстгальтера, то вектор состояния системы во время ${ displaystyle scriptstyle {t}}$ можно написать

${ displaystyle | psi (t) rangle = sum _ {n} c_ {n} ^ {A} (t) e ^ {- iE_ {n} t / hbar} | phi _ {n} rangle}$,

где пространственная волновая функция, упомянутая ранее, представляет собой проекцию вектора состояния на собственные состояния оператор позиции

${ Displaystyle psi (x, t) = langle x | psi (t) rangle}$.

Поучительно рассмотреть предельные случаи, когда ${ displaystyle scriptstyle { tau}}$ очень большой (адиабатический или постепенное изменение) и очень маленький (диабатический или внезапное изменение).

Рассмотрим гамильтониан системы, непрерывно изменяющийся от начального значения ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} _ {0}}}$, вовремя ${ displaystyle scriptstyle {т_ {0}}}$, к окончательному значению ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} _ {1}}}$, вовремя ${ Displaystyle scriptstyle {т_ {1}}}$, куда ${ displaystyle scriptstyle { tau = t_ {1} -t_ {0}}}$. Эволюцию системы можно описать в Картина Шредингера оператором временной эволюции, определяемым интегральное уравнение

${ displaystyle { hat {U}} (t, t_ {0}) = 1 - { frac {i} { hbar}} int _ {t_ {0}} ^ {t} { hat {H }} (t ^ { prime}) { hat {U}} (t ^ { prime}, t_ {0}) dt ^ { prime}}$,

что эквивалентно Уравнение Шредингера.

${ displaystyle i hbar { frac { partial} { partial t}} { hat {U}} (t, t_ {0}) = { hat {H}} (t) { hat {U }} (t, t_ {0})}$,

вместе с начальным условием ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {U}} (t_ {0}, t_ {0}) = 1}}$. Учитывая знание системы волновая функция в ${ displaystyle scriptstyle {т_ {0}}}$, эволюция системы до более позднего времени ${ displaystyle scriptstyle {t}}$ можно получить с помощью

${ displaystyle | psi (t) rangle = { hat {U}} (t, t_ {0}) | psi (t_ {0}) rangle.}$

Проблема определения адиабатичность данного процесса равносильно установлению зависимости ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {U}} (t_ {1}, t_ {0})}}$ на ${ displaystyle scriptstyle { tau}}$.

Чтобы определить справедливость адиабатического приближения для данного процесса, можно вычислить вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором она началась. С помощью обозначение бюстгальтера и используя определение ${ Displaystyle scriptstyle {| 0 rangle Equiv | psi (t_ {0}) rangle}}$, у нас есть:

${ displaystyle zeta = langle 0 | { hat {U}} ^ { dagger} (t_ {1}, t_ {0}) { hat {U}} (t_ {1}, t_ {0} ) | 0 rangle - langle 0 | { hat {U}} ^ { dagger} (t_ {1}, t_ {0}) | 0 rangle langle 0 | { hat {U}} (t_ {1}, t_ {0}) | 0 rangle}$.

Мы можем расширить ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {U}} (t_ {1}, t_ {0})}}$

${ displaystyle { hat {U}} (t_ {1}, t_ {0}) = 1+ {1 over i hbar} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} { шляпа {H}} (t) dt + {1 over (i hbar) ^ {2}} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt ^ { prime} int _ {t_ {0}} ^ {t ^ { prime}} dt ^ { prime prime} { hat {H}} (t ^ { prime}) { hat {H}} (t ^ { prime prime}) + ldots}$.

в пертурбативный предел мы можем взять только первые два члена и подставить их в наше уравнение для ${ displaystyle scriptstyle { zeta}}$, признавая, что

${ displaystyle {1 over tau} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} { hat {H}} (t) dt Equiv { bar {H}}}$

- гамильтониан системы, усредненный по интервалу ${ displaystyle scriptstyle {t_ {0} rightarrow t_ {1}}}$, у нас есть:

${ displaystyle zeta = langle 0 | (1 + { frac {i} { hbar}} tau { bar {H}}) (1- {i over hbar} tau { bar { H}}) | 0 rangle - langle 0 | (1+ {i over hbar} tau { bar {H}}) | 0 rangle langle 0 | (1- {i over hbar } tau { bar {H}}) | 0 rangle}$.

После расширения продуктов и соответствующей отмены у нас остается:

${ displaystyle zeta = { frac { tau ^ {2}} { hbar ^ {2}}} left ( langle 0 | { bar {H}} ^ {2} | 0 rangle - langle 0 | { bar {H}} | 0 rangle langle 0 | { bar {H}} | 0 rangle right)}$,

давая

${ displaystyle zeta = { frac { tau ^ {2} Delta { bar {H}} ^ {2}} { hbar ^ {2}}}}$,

куда ${ displaystyle scriptstyle { Delta { bar {H}}}}$ это среднеквадратическое значение отклонение гамильтониана системы, усредненного по интересующему интервалу.

Внезапное приближение действительно, когда ${ Displaystyle scriptstyle { zeta ll 1}}$ (вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором запущена, приближается к нулю), таким образом, условие достоверности определяется выражением

${ displaystyle tau ll { hbar over Delta { bar {H}}}}$,

что является заявлением Энергетическая форма принципа неопределенности Гейзенберга.

Диабатический переход

В пределе ${ displaystyle scriptstyle { tau rightarrow 0}}$ у нас есть бесконечно быстрый или диабатический переход:

${ displaystyle lim _ { tau rightarrow 0} { hat {U}} (t_ {1}, t_ {0}) = 1}$.

Функциональная форма системы остается неизменной:

${ displaystyle | langle x | psi (t_ {1}) rangle | ^ {2} = | langle x | psi (t_ {0}) rangle | ^ {2} quad}$.

Иногда это называют внезапным приближением. Справедливость приближения для данного процесса можно охарактеризовать вероятностью того, что состояние системы останется неизменным:

${ Displaystyle P_ {D} = 1- zeta quad}$.

Адиабатический переход

В пределе ${ Displaystyle scriptstyle { тау rightarrow infty}}$ у нас есть бесконечно медленный или адиабатический проход. Система развивается, адаптируя свою форму к меняющимся условиям,

${ displaystyle | langle x | psi (t_ {1}) rangle | ^ {2} neq | langle x | psi (t_ {0}) rangle | ^ {2}}$.

Если система изначально находится в собственное состояние из ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (t_ {0})}}$, после периода ${ displaystyle scriptstyle { tau}}$ он перейдет в соответствующий собственное состояние ${ displaystyle scriptstyle {{ hat {H}} (t_ {1})}}$.

Это называется адиабатическим приближением. Достоверность приближения для данного процесса можно определить по вероятности того, что конечное состояние системы отличается от начального состояния:

${ Displaystyle P_ {A} = zeta quad}$.

Расчет вероятностей адиабатического прохождения

Формула Ландау – Зинера

В 1932 г. аналитическое решение задачи вычисления вероятностей адиабатических переходов было опубликовано отдельно. Лев Ландау и Кларенс Зенер,^[10] для частного случая линейно меняющегося возмущения, в котором изменяющаяся во времени составляющая не связывает соответствующие состояния (следовательно, связь в диабатической матрице гамильтониана не зависит от времени).

Ключевым показателем этого подхода является скорость Ландау – Зинера:

${ displaystyle v _ { text {LZ}} = {{ frac { partial} { partial t}} | E_ {2} -E_ {1} | over { frac { partial} { partial q}} | E_ {2} -E_ {1} |} приблизительно { frac {dq} {dt}}}$,

куда ${ displaystyle q}$ - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение в системе), и ${ displaystyle E_ {1}}$ и ${ displaystyle E_ {2}}$ - энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большой ${ displaystyle v _ { text {LZ}}}$ приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.

Используя формулу Ландау – Зинера, вероятность, ${ displaystyle P _ { rm {D}}}$, диабатического перехода определяется выражением

${ displaystyle { begin {align} P _ { rm {D}} & = e ^ {- 2 pi Gamma} Gamma & = {a ^ {2} / hbar over left | { frac { partial} { partial t}} (E_ {2} -E_ {1}) right |} = {a ^ {2} / hbar over left | { frac {dq} {dt }} { frac { partial} { partial q}} (E_ {2} -E_ {1}) right |} & = {a ^ {2} over hbar | alpha |} конец {выровнен}}}$

Численный подход

Для перехода, включающего нелинейное изменение переменной возмущения или зависящую от времени связь между диабатическими состояниями, уравнения движения для динамики системы не могут быть решены аналитически. Вероятность диабатического перехода все еще может быть получена с использованием одного из самых разнообразных алгоритмы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решаемые уравнения можно получить из нестационарного уравнения Шредингера:

${ displaystyle i hbar { dot { underline {c}}} ^ {A} (t) = mathbf {H} _ {A} (t) { underline {c}} ^ {A} (t )}$,

куда ${ displaystyle { underline {c}} ^ {A} (t)}$ это вектор содержащие амплитуды адиабатических состояний, ${ Displaystyle mathbf {H} _ {A} (т)}$ - нестационарный адиабатический гамильтониан,^[7] точка представляет собой производную по времени.

Сравнение используемых начальных условий со значениями амплитуд состояний после перехода может дать вероятность диабатического перехода. В частности, для системы с двумя состояниями:

${ Displaystyle P_ {D} = | c_ {2} ^ {A} (t_ {1}) | ^ {2}}$

для системы, которая началась с ${ displaystyle | c_ {1} ^ {A} (t_ {0}) | ^ {2} = 1}$.

Смотрите также

• Формула Ландау – Зинера
• Ягодная фаза
• Квантовое перемешивание, трещотки и откачка
• Адиабатический квантовый двигатель
• Приближение Борна – Оппенгеймера
• Диабатический

Рекомендации