WikiDer > Аффинная геометрия кривых

в математический поле дифференциальная геометрия, то аффинная геометрия кривых это изучение кривые в аффинное пространство, а именно свойства таких кривых, которые инвариантный под специальная аффинная группа ${displaystyle {mbox {SL}} (n, mathbb {R}) ltimes mathbb {R} ^ {n}.}$

В классическом Евклидова геометрия кривых, основным инструментом является Кадр Френе-Серре. В аффинной геометрии система отсчета Френе – Серре уже не является четко определенной, но можно определить другую каноническую систему координат. подвижная рама по кривой, которая играет такую ​​же решающую роль. Теория была разработана в начале 20 века, в основном благодаря усилиям Вильгельм Блашке и Жан Фавар.

Аффинная рамка

Позволять Икс(т) - кривая в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Предположим, как это делается в евклидовом случае, что первый п производные от Икс(т) находятся линейно независимый так что, в частности, Икс(т) не лежит ни в каком аффинном подпространстве меньшей размерности ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$. Тогда параметр кривой т можно нормализовать, установив детерминант

${displaystyle det {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n)} end {bmatrix}} = pm 1.}$

Такая кривая называется параметризованной ее аффинная длина дуги. Для такой параметризации

${displaystyle tmapsto [mathbf {x} (t), {dot {mathbf {x}}} (t), dots, mathbf {x} ^ {(n)} (t)]}$

определяет отображение в специальную аффинную группу, известную как специальный аффинный каркас для кривой. То есть в каждой точке количества ${displaystyle mathbf {x}, {dot {mathbf {x}}}, dots, mathbf {x} ^ {(n)}}$ определить особый аффинная рамка для аффинного пространства ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, состоящий из точки Икс пространства и специальный линейный базис ${displaystyle {точка {mathbf {x}}}, dots, mathbf {x} ^ {(n)}}$ прикреплен к точке на Икс. В откат из Форма Маурера – Картана вдоль этого отображения дает полный набор аффинных структурных инвариантов кривой. На плоскости это дает единственный скалярный инвариант: аффинная кривизна кривой.

Дискретный инвариант

Нормализация параметра кривой s был выбран выше, так что

${displaystyle det {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n)} end {bmatrix}} = pm 1.}$

Если п≡0 (mod 4) или п3 (mod 4), то знак этого определителя является дискретным инвариантом кривой. Кривая называется правый (правая обмотка, часто Weinwendig на немецком языке), если он равен +1, и зловещий (левая обмотка, часто Hopfenwendig на немецком языке), если оно равно -1.

В трех измерениях правша спираль правосторонняя, а левосторонняя спираль зловещая.

Кривизна

Предположим, что кривая Икс в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ параметризуется аффинной длиной дуги. Тогда аффинные кривизны, k₁, …, k_п−1 из Икс определены

${displaystyle mathbf {x} ^ {(n + 1)} = k_ {1} {dot {mathbf {x}}} + cdots + k_ {n-1} mathbf {x} ^ {(n-1)}. }$

То, что такое выражение возможно, следует из вычисления производной определителя

${displaystyle 0 = det {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n)} end {bmatrix} } {точка {}}, = det {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n + 1 )} конец {bmatrix}}}$

так что Икс^(п+1) является линейной комбинацией Икс′, …, Икс^(п−1).

Рассмотрим матрица

${displaystyle A = {egin {bmatrix} {dot {mathbf {x}}}, & {ddot {mathbf {x}}}, & dots, & {mathbf {x}} ^ {(n)} end {bmatrix}} }$

чьи столбцы являются первыми п производные от Икс (все еще параметризованный специальной аффинной длиной дуги). Потом,

${displaystyle {dot {A}} = {egin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & cdots & cdots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 1_d & 0} {0 & cdots & 1_d & 4 & cdots & 1_d & 4 & cdots & 1_d & 0} {0 & cdots & 1_d & 4 & cdots & 1_d & 4 & cdots & 1_d & 4 & cdots & 1_d & 4 & cdots & 1_d & 4 & cdots & 1_d & 4 & 0} & cdots & k_ {n-1} & 0end {bmatrix}} A = CA.}$

Конкретно матрица C это откат формы Маурера – Картана специальной линейной группы вдоль репера, заданного первым п производные от Икс.

Смотрите также

• Подвижная рамка
• Аффинная сфера

Рекомендации

• Гуггенхаймер, Генрих (1977). Дифференциальная геометрия. Дувр. ISBN 0-486-63433-7.
• Спивак Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 2). Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-71-3.