WikiDer > Abwechselnde Gruppe

Die alternierende Gruppe ein₃ auf 3 Elementen können als Rotationssymmetrien eines gleichseitigen Dreiecks modelliert werden. Die Reflexionen bezüglich der roten Achsen sind die ungeraden Elemente von so₃

In dem Gruppentheorie, eine Filiale der Mathematik, ist der alternierende Gruppe auf n Elementen, notiert als ${displaystyle {mathcal {A}}_{n}}$, das Untergruppe des symmetrische Gruppe${displaystyle {mathcal {S}}_{n}}$ die aus der geraden besteht Permutationen.

Die symmetrische Gruppe ${displaystyle {mathcal {S}}_{n}}$ besteht aus allen Permutationen von a Sammlung von ${displaystyle n}$ verschiedene Elemente. Das Zusammensetzung der Permutationen ist der bearbeiten.

Jedes Element von ${displaystyle {mathcal {S}}_{n}}$ kann als eine Zusammensetzung einer endlichen Anzahl von Paarpermutationen geschrieben werden (Permutationen, die den Wert nur an zwei verschiedenen Stellen ändern). Diese Schreibweise ist nicht einzigartig, aber die Parität die Anzahl der Paarwechsel ist unveränderlich. EIN Ein bisschen Permutation ist eine Zusammensetzung einer geraden Anzahl von Paarwechseln, eine ungerade Permutation ist eine Zusammensetzung einer Gleichenstelling seltsam Anzahl der Paarwechsel. Die identische Permutation ist gerade.

Die alternierende Gruppe ${displaystyle {mathcal {A}}_{n}}$ ist der Untergruppe von ${displaystyle {mathcal {S}}_{n}}$ die aus den geraden Permutationen besteht.

In den Gruppen mit mehr Elementen als nur der Identität, also mit ${Anzeigestil n>1}$, enthält ${displaystyle {mathcal {A}}_{n}}$ genau die halbe Zahl Elemente von ${displaystyle {mathcal {S}}_{n}}$, So ${displaystyle n! Ungefähr 2}$ (sehen Fakultät).

So ist ${displaystyle {mathcal {A}}_{4}}$ isomorph zu den Symmetriegruppe des Tetraeder.

Vor dem ${displaystyle ngeq 4}$ ist ${displaystyle {mathcal {A}}_{n}}$ nicht abels.