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In dem Mengenlehre ist ein Element Teil von a Sammlung oder allgemeiner von a Klasse. Alle Elemente zusammen bilden die Menge (oder Klasse).

Elemente einer Sammlung

Bei einer Sammlung ${Anzeigestil A={1,2,3,4}}$ heißen Zahlen ${Anzeigestil 1,2,3}$ und ${Anzeigestil 4}$ das Elemente aus Sammlung ${Anzeigestil A}$. Eine Gruppe von Elementen aus ${Anzeigestil A}$, zum Beispiel die Kollektion ${Displaystil B={1,2}}$ heißt a Teilmenge von ${Anzeigestil A}$.

Ein Element einer Menge kann selbst eine Menge sein. So entsteht die Kollektion ${Anzeigestil C={1,2,{3,4}}}$ aus drei Elementen, nämlich den Zahlen ${Anzeigestil 1}$ und ${Anzeigestil 2}$ und die Sammlung ${Anzeigestil {3,4}}$.

Die Elemente einer Sammlung können alles sein. Die Sammlung

${displaystyle C={{mbox{rot, grün, blau}}}}$,

ist beispielsweise die Menge, deren Elemente die Wörter Rot, Grün und Blau sind, die die entsprechenden Farben bezeichnen.

Notation

Das Beziehung "ist ein Element von", auch "Mitgliedschaft einer Sammlung" genannt, wird bezeichnet durch ${Anzeigestil in }$. Die Aussprache "${Anzeigestil x}$ ist ein Element der Menge ${Anzeigestil A}$wird notiert als:

${Anzeigestil xin A}$

Zum Beispiel gibt es ${Anzeigestil 3 Zoll {1,2,3,4}}$.

Man kann auch sagen oder schreiben: "das Element ${Anzeigestil x}$ ist Mitglied der Sammlung ${Anzeigestil A}$". Die Aussage entspricht der Aussage: "die Sammlung ${Anzeigestil A}$ enthält das Element ${Anzeigestil x}$“, was notiert ist als:

${displaystyle Ai x}$

Das Verweigerung der Mitgliedschaft in einer Sammlung

${Anzeigestil zB (xin A)}$

wird angezeigt durch ${displaystyle otin}$:

${displaystyle xotin A}$

Dies bedeutet, dass ${Anzeigestil x}$ kein Element der Menge ${Anzeigestil A}$ ist. Zum Beispiel gibt es ${displaystyle 7otin {1,2,3,4}}$.

Kardinalität

sehen Kardinalität für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Anzahl der Elemente in einer Menge wird Kardinalität genannt. Umgangssprachlich ist dies die Größe einer Sammlung. Die Kardinalität der obigen Mengen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil C}$ beispielsweise ist 4 bzw. 3. A unendliche Sammlung enthält ein unendlich Anzahl der Elemente. Die angegebenen Beispiele sind Beispiele für endliche Mengen. Ein Beispiel für eine unendliche Menge ist die Menge der natürliche Zahlen${displaystyle mathbb {N} ={0,1,2,3,ldots}}$.

Beispiele

Einige Beispiele:

${displaystyle 5in mathbb {N} }$ (5 ist ein Element der Menge natürliche Zahlen)

${displaystyle {3 über 4}in Mathbb {Q} }$ (3/4 ist ein Element der Menge Rationale Zahlen)

${displaystyle {sqrt {2}}in Mathbb {R} }$ (die Quadratwurzel von 2 gehört zur Menge reale Nummern)

${displaystyle {sqrt {2}}otin mathbb {Q} }$ (die Wurzel aus 2 gehört nicht zur Menge der rationalen Zahlen)