WikiDer > Антиизоморфизм

В теория категорий, филиал математика, антиизоморфизм (или же антиизоморфизм) между структурированные наборы А и B является изоморфизм из А к противоположный из B (или эквивалентно противоположному А к B).^[1] Если между двумя структурами существует антиизоморфизм, они называются антиизоморфный.

Интуитивно говоря, что две математические структуры антиизоморфный означает, что они в основном противоположны друг другу.

Эта концепция особенно полезна в алгебраической среде, например, когда применяется к кольца.

Простой пример

Позволять А быть бинарное отношение (или же ориентированный граф) состоящий из элементов {1,2,3} и бинарного отношения ${ displaystyle rightarrow}$ определяется следующим образом:

• ${ displaystyle 1 rightarrow 2,}$
• ${ displaystyle 1 rightarrow 3,}$
• ${ displaystyle 2 rightarrow 1.}$

Позволять B - множество бинарных отношений, состоящее из элементов {а,б,c} и бинарное отношение ${ displaystyle Rightarrow}$ определяется следующим образом:

• ${ displaystyle b Rightarrow a,}$
• ${ displaystyle c Rightarrow a,}$
• ${ displaystyle a Rightarrow b.}$

Обратите внимание, что противоположность B (обозначено B^op) - это тот же набор элементов с противоположным бинарным соотношением ${ displaystyle Leftarrow}$ (то есть перевернуть все дуги ориентированного графа):

• ${ displaystyle b Leftarrow a,}$
• ${ displaystyle c Leftarrow a,}$
• ${ displaystyle a Leftarrow b.}$

Если мы заменим а, б, и c с 1, 2 и 3 соответственно, мы видим, что каждое правило в B^op то же самое, что и какое-то правило в А. То есть мы можем определить изоморфизм ${ displaystyle phi}$ из А к B^op к ${ Displaystyle фи (1) = а, фи (2) = Ь, фи (3) = с}$. ${ displaystyle phi}$ тогда является антиизоморфизмом между А и B.

Кольцевые антиизоморфизмы

Специализируя общий язык теории категорий на алгебраической теме колец, мы имеем: Пусть р и S быть кольцами и ж: р → S быть биекция. потом ж это кольцевой антиизоморфизм^[2] если

${ Displaystyle е (х + _ {R} у) = е (х) + _ {S} е (у) { text {и}} f (х cdot _ {R} y ) = f (y) cdot _ {S} f (x) { text {для всех}} x, y in R.}$

Если р = S тогда ж кольцо антиавтоморфизм.

Пример кольцевого антиавтоморфизма дается сопряженным отображением кватернионы:^[3]

${ Displaystyle x_ {0} + x_ {1} mathbf {i} + x_ {2} mathbf {j} + x_ {3} mathbf {k} mapsto x_ {0} -x_ { 1} mathbf {i} -x_ {2} mathbf {j} -x_ {3} mathbf {k}.}$

Примечания

Рекомендации

• Баер, Рейнхольд (2005) [1952], Линейная алгебра и проективная геометрия, Дувр, ISBN 0-486-44565-8
• Джейкобсон, Натан (1948), Теория колец, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1502-4
• Парейгис, Бодо (1970), Категории и функторы, Academic Press, ISBN 0-12-545150-4