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Das Quaternionen sind eine Erweiterung der komplexe Zahlen. So wie die komplexen Zahlen eine zweidimensionale Erweiterung der reale Nummern, also sind die Quaternionen eine zweidimensionale Erweiterung der komplexen Zahlen und damit eine vierdimensionale Erweiterung der reellen Zahlen. Quaternionen wurden 1843 vom irischen Mathematiker erfunden William Rowan Hamilton zur Bewerbung in den eingeführt Mechanik. Für ihn die Sammlung der mit dem Symbol bezeichneten Quaternionen ${displaystyle mathbb {H} }$.

Quaternionen werden in Computerprogramme zur relativen Orientierungsbestimmung in drei Dimensionen verwendet. Sie eignen sich zur Beschreibung einer Drehung im dreidimensionalen Raum, die zwei kongruent Objekte gehen ineinander über. Bei einer Quaternion ist dies viel besser als bei Eulerwinkeln (Roll, Nick, Gier), da eine kleine Orientierungsänderung immer eine kleine Änderung der vier reellen Koordinaten ergibt, wobei Winkel manchmal bei allen Problemen plötzlich von 359° auf 1° springen in zugehöriger Software.

Technische Anwendungen sind beispielsweise die Beschreibung in der Luft- und Raumfahrt für die Kopplung zweier Raumfahrzeuge. In dem Robotik Beim Schweißen in der Automobilindustrie beschreiben Quaternionen die Bewegungen der Roboterarm.

Definition

Steintafel in Dublin, auf der Hamilton die Multiplikationsregeln für Quaternionen kratzt.

Eine Quaternion ist ein Ausdruck der Form

${displaystyle q=a bei cj dk}$,

in welchem ${Anzeigestil a,,b,,c}$ und ${displaystyle d}$reale Nummern sind und in denen zusätzlich zu den Einheiten 1 und und de imaginäre Einheit${Anzeigestil i}$ die sind schon bekannt aus dem komplexe Zahlen, und für das gilt:

${Displaystil 1^{2}=1,,1i=i1=i,,i^{2}=-1}$,

zwei weitere Einheiten ${Anzeigestil j}$ und ${displaystyle k}$ auftreten, die die Beziehungen erfüllen:

${displaystyle j^{2}=k^{2}=icdot jcdot k=-1}$

${Anzeigestil 1j=j1=j}$

${Anzeigestil 1k=k1=k}$

${displaystyle ij=-ji=k}$

${displaystyle jk=-kj=i}$

${displaystyle ki=-ik=j}$

Die Nummer ${displaystyle a=mathrm {Re} (q)}$ wird genannt Real oder skalarer Teil der Quaternion ${Anzeigestil q}$ und die quaternion ${displaystyle mathrm {Im} (q)=bi ck dj}$ es imaginärer Teil, oder, verstanden als Vektor${Anzeigestil (b,c,d)}$, es Vektorteil.

Hinweis: Anders als bei komplexen Zahlen, bei denen ${displaystyle z=mathrm {Re} (z) i,mathrm {Im} (z)}$, gilt für Quaternionen:

${displaystyle q=mathrm {Re} (q) mathrm {Im} (q)}$

Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist, heißt rein imaginär. Für rein imaginäre Quaternionen ${Anzeigestil q}$ gilt:

${displaystyle q^{2}in mathbb {R} ,quad q^{2}leq 0}$

Summieren und multiplizieren der Quaternionen ist das gleiche wie bei den reellen Zahlen unter Berücksichtigung dieser Beziehungen.

Zusatz

Für die Addition von zwei Quaternionen ${displaystyle q_{1}=a_{1} b_{1}i c_{1}j d_{1}k}$ und ${displaystyle q_{2}=a_{2} b_{2}i c_{2}j d_{2}k}$ gilt:

${displaystyle q_{1} q_{2}=(a_{1} b_{1}i c_{1}j d_{1}k) (a_{2} b_{2}i c_{2}j d_{2 }k)=}$

${displaystyle =(a_{1} a_{2}) (b_{1} b_{2})i (c_{1} c_{2})j (d_{1} d_{2})k}$

Die Addition ist sowohl kommutativ als auch assoziativ.

Multiplikation

Verteilung

Die Multiplikation ist verteilend über die Ergänzung. Das bedeutet, dass das Produkt der Summe der Terme gleich der Summe der Produkte der einzelnen Terme ist. Das Produkt zweier Quaternionen kann somit in üblicher Weise termweise berechnet werden.

Hamilton-Produkt

Wegen der Distributivität erlauben die Rechenregeln das Produkt, auch Hamilton-Produkt genannt, aus zwei Quaternionen ${displaystyle q_{1}}$ und ${displaystyle q_{2}}$ berechnet werden:

${displaystyle q_{1}q_{2}=(a_{1} b_{1}i c_{1}j d_{1}k)(a_{2} b_{2}i c_{2}j d_{2 }k)=}$

${displaystyle =(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})}$

${displaystyle (a_{1}b_{2} b_{1}a_{2} c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2}),i}$

${displaystyle (a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2} c_{1}a_{2} d_{1}b_{2}),j}$

${displaystyle (a_{1}d_{2} b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2} d_{1}a_{2}),k}$

Kommutativität

Da die Einheiten unter der Multiplikation kommutativ mit den reellen Zahlen sind, aber nicht untereinander, ist die Multiplikation nicht kommutativ. Zum Beispiel ist:

${displaystyle ij=keq ji=-k}$

Assoziativität

Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. für alle ${displaystyle p=p_{0} p_{1}i p_{2}j p_{3}k}$, und analog ${Anzeigestil q}$ und ${displaystyle r}$ ist:

${Anzeigestil (pq)r=p(qr)}$

Das liegt daran, dass die Begriffe mit dem Produkt von ${Anzeigestil i,j}$ und ${displaystyle k}$ sind bei beiden gleich. Zum Beispiel in ${displaystyle (pq)r}$ und ${Anzeigestil p(qr)}$ bzw. die Begriffe

${displaystyle p_{1}q_{2}r_{3}(ij)k=-p_{1}q_{2}r_{3}}$

und

${displaystyle p_{1}q_{2}r_{3}i(jk)=-p_{1}q_{2}r_{3}}$

einander gleich.

Das gilt auch für alle anderen derartigen Begriffe, denn

${Anzeigestil (i)j=i(kj)}$

${Anzeigestil (ji)k=j(i)}$

${Anzeigestil (jk)i=j(ki)}$

${Anzeigestil (ki)j=k(ij)}$

${Anzeigestil (kj)i=k(ji)}$

Weitere Definitionen

Norm

Wie bei komplexen Zahlen kann es a Norm oder einer Quaternion zugeordnete Länge:

${displaystyle |q|={sqrt {a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}}}}$

konjugieren

Aus der Quaternion ${Anzeigestil q}$ ist der konjugieren Quaternion ${displaystyle q^{*}}$ oder ${displaystyle {ar {q}}}$:

${displaystyle q^{*}=a-bcdot i-ccdot j-dcdot k}$

Mit anderen Worten:

${displaystyle q^{*}=mathrm {Re} (q)-mathrm {Im} (q)}$

weil

${displaystyle q=mathrm {Re} (q) mathrm {Im} (q)}$

folgt:

${displaystyle mathrm {Re} (q)={ frac {1}{2}}(q q^{*})}$

und

${displaystyle mathrm {Im} (q)={ frac {1}{2}}(q-q^{*})}$

Es ist auch sofort ersichtlich, dass für eine Quaternion ${displaystyle q=a bi}$, die also auch als komplexe Zahl aufgefasst werden kann, ist die Konjugierte gleich der komplex konjugiert.

Es gelten auch die Eigenschaften:

${Anzeigestil (q^{*})^{*}=q}$

${displaystyle (q_{1} q_{2})^{*}=q_{1}^{*} q_{2}^{*}}$

${displaystyle (lambda q)^{*}=lambda q^{*}}$, wirklich ${ Anzeigestil Lambda }$

${displaystyle (q_{1}q_{2})^{*}=q_{2}^{*}q_{1}^{*}}$

${displaystyle q^{*}=-{ frac {1}{2}}(q iqi jqj kqk)}$

Darüber hinaus gilt:

${displaystyle q^{*}q=|q|^{2}}$

gegenseitig

Aus der obigen Eigenschaft des konjugierten Quaternions folgt für den Kehrwert:

${displaystyle q^{-1}={frac {1}{|q|^{2}}}q^{*}}$,

So

${displaystyle (a bcdot i ccdot j dcdot k)^{-1}={frac {1}{a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}}}(a-bcdot i -ccdot j-dcdot k)}$

Einheit Quaternion

Eine Quaternion mit Norm 1 heißt is Einheit Quaternion.

Reine Einheitsquaternionen bilden in diesem Raum eine Kugel mit Radius 1.

In Analogie zu den Eulersche Formel für komplexe Zahlen:

${displaystyle e^{ialpha}=cos(alpha) i,sin(alpha)}$

kann jede Einheit quaternion ${Anzeigestil Varepsilon }$ geschrieben werden als

${displaystyle varepsilon =mathrm {Re} (varepsilon) mathrm {Im} (varepsilon)=cos(varphi) varepsilon _{0}sin(varphi)}$

mit der reinen Einheit Quaternion

${displaystyle varepsilon _{0}={frac {mathrm {Im} (varepsilon)}{|mathrm {Im} (varepsilon)|}}}$

und

${displaystyle cos(varphi)=mathrm {Re} (varepsilon),quad sin(varphi)=|mathrm {Im} (varepsilon)|}$

Für reine Einheitsquaternionen ${displaystyle varepsilon = varepsilon _{1}i varepsilon _{2}j varepsilon _{3}k}$ gilt natürlich:

${displaystyle varepsilon _{1}^{2} varepsilon _{2}^{2} varepsilon _{3}^{3}=1}$

Daraus folgt

${Displaystil-Varepsilon ^{2}=-1}$

e-power

Auch für Quaternionen gibt es eine Verallgemeinerung der e-power. Dies wird definiert über die Potenzreihe:

${displaystyle e^{q}=Summe {frac {q^{n}}{n!}}}$

Denn für eine rein imaginäre Einheitsquaternion ${displaystyle varepsilon _{0}}$ gilt:

${displaystyle varepsilon _{0}^{2}=-1}$

ist für ${displaystyle zinn mathbb {R} }$

${displaystyle e^{varepsilon _{0}t}=Summe {frac {(varepsilon _{0}t)^{n}}{n!}}=Summe _{ ext{gerade}} Summe _{ ext{ungerade }}=cos(t) varepsilon _{0}sin(t)}$

Eine zufällige Quaternion ${Anzeigestil q=q_{r} q_{i}}$ mit ${displaystyle q_{r}=mathrm {Re} (q)}$ und ${displaystyle q_{i}=mathrm {Im} (q)}$ kann in der Form geschrieben werden:

${displaystyle q=q_{r} {frac {q_{i}}{|q_{i}|}}{|q_{i}|}=q_{r} varepsilon _{0}|q_{i}|}$

in welchem ${displaystyle varepsilon _{0}={frac {q_{i}}{|q_{i}|}}}$ ist eine rein imaginäre Einheitsquaternion.

Folglich:

${displaystyle e^{q}=e^{q_{r}}left(cos(|q_{i}|) {frac {q_{i}}{|q_{i}|}}sin(|q_{i }|)acht)}$

Innenprodukt und Kreuzprodukt

Da Quaternionen Vektoren im ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$ kann auch sein Innenprodukt definiert sein. Auch ein Kreuzprodukt definiert.

spät ${displaystyle p=(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{0},{vec {p}})}$ und ${displaystyle q=(q_{0},q_{1},q_{2},q_{3})=(q_{0},{vec {q}})}$ sind zwei Quaternionen.

Es Innenprodukt von ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ ist die übliche Summe der Produkte der Kennzahlen:

${displaystyle langle p,qangle =p_{0}q_{0} p_{1}q_{1} p_{2}q_{2} p_{3}q_{3}=p_{0}q_{0} {vec {p}}cdot {vec {q}}}$

Es Kreuzprodukt von ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ ist das übliche Kreuzprodukt ihrer vektoriellen Teile ${displaystyle {vec {p}}}$ und ${displaystyle {vec {q}}}$:

${displaystyle pimes q={vec {p}}imes {vec {q}}=(0,,p_{2}q_{3}-p_{3}q_{2},,p_{3}q_{1} -p_{1}q_{3},,p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1})}$

Dies ist äquivalent zu:

${displaystyle pimes q={ frac {1}{2}}(pq-qp)}$

Aus dieser Eigenschaft folgt, dass ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ sind austauschbar, so dass ${displaystyle pq=qp}$, nur wenn ${displaystyle pimes q=0}$. Das bedeutet, dass ${displaystyle {vec {p}}}$ und ${displaystyle {vec {q}}}$ sind linear abhängig, d. h. fluchten miteinander.

Das Produkt zweier Quaternionen kann durch das innere Produkt und das Kreuzprodukt ausgedrückt werden:

${displaystyle pq=(p_{0}q_{0}-{vec {p}}cdot {vec {q}},,p_{0}{vec {q}} q_{0}{vec {p}} { vec {p}} imes {vec {q}})}$

Insbesondere zeigt es, dass für rein imaginäre Quaternionen ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ gilt:

${displaystyle pq=(-{vec {p}}cdot {vec {q}},,{vec {p}} imes {vec {q}})}$,

also mit Realteil minus dem inneren Produkt und mit Vektorteil das Kreuzprodukt.

Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen

Ebenso wie die komplexen Zahlen unter der Einführung der imaginären Einheit als Erweiterung der reellen Zahlen verstanden werden ${Anzeigestil i}$, können die Quaternionen als Erweiterungen der komplexen Zahlen betrachtet werden, indem man die Einheiten einführt ${Anzeigestil j}$ und ${displaystyle k}$.

Eine Quaternion ist ein Ausdruck der Form

${displaystyle q=z uj}$

in welchem ${Anzeigestil z}$ und ${Anzeigestil u}$ sind komplexe Zahlen und ${Anzeigestil j}$ eine spezielle Quaternion, für die:

${displaystyle jotin mathbb {C} }$

${displaystyle j^{2}=-1}$

Daraus folgt notwendigerweise die Existenz einer weiteren Einheit

${displaystyle k=ij,quad kotin mathbb {C}}$,

mit

${displaystyle k^{2}=-1}$

Weiterhin gelten die Eigenschaften:

${displaystyle icdot jcdot k=-1}$

${displaystyle icdot j=-jcdot i=k}$

${displaystyle jcdot k=-kcdot j=i}$

${displaystyle kcdot i=-icdot k=j}$

Aus diesen Regeln folgt für komplexe Zahlen ${displaystyle z=a bi}$:

${displaystyle iz=i(a bi)=ia ibi=ai bi^{2}=ai-b=ai bi^{2}=zi}$

${displaystyle jz=j(a bi)=ja jbi=aj bji=aj-at=z^{*}j}$

${displaystyle kz=k(a bi)=ka kbi=ak bki=ak-bik=z^{*}k}$

Darin ist ${displaystyle z^{*}}$ das komplex konjugiert von ${Anzeigestil z}$.

Daraus folgt wieder für die Multiplikation:

${displaystyle q_{1}q_{2}=(z_{1} u_{1}j)(z_{2} u_{2}j)=(z_{1}z_{2}-u_{1}u_{ 2}^{*},z_{1}u_{2} u_{1}z_{2}^{*})}$

Eine Quaternion ${displaystyle q=z uj}$ wird also durch zwei komplexe Zahlen bestimmt und kann daher als das Paar komplexer Zahlen dargestellt werden:

${Anzeigestil q=(z,u)}$

mit den Rechenregeln:

${displaystyle q_{1} q_{2}=(z_{1},u_{1}) (z_{2},u_{2})=(z_{1} z_{2},u_{1} u_{ 2})}$

und

${displaystyle q_{1}q_{2}=(z_{1},u_{1})(z_{2},u_{2})=(z_{1}z_{2}-u_{1}u_{ 2}^{*},z_{1}u_{2} u_{1}z_{2}^{*})}$

Die Einheiten sind dann als Paar komplexer Zahlen:

${Anzeigestil (1.0)=1,,(i,0)=i,,(0.1)=j,,(0,i)=k}$

Als Vektor reeller Zahlen ausbreiten:

${Anzeigestil (1,0,0,0)=1,,(0,1,0,0)=i,,(0,0,1,0)=j,,(0,0,0,1) =k}$

Matrix-Show

Quaternionen können auch als komplexe 2×2-Matrix dargestellt werden:

${displaystyle q={ egin{bmatrix}z&u/-u^{*}&z^{*}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}a bi&c di/-c di&a-biend{bmatrix}}}$

Addition und Multiplikation laufen dann wie bei Matrizen ab. Beispielsweise:

${displaystyle q_{1}q_{2}={ egin{bmatrix}z_{1}&u_{1}/-u_{1}^{*}&z_{1}^{*}end{bmatrix}}{ egin{ bmatrix}z_{2}&u_{2}/-u_{2}^{*}&z_{2}^{*}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}z_{1}z_{2}-u_{ 1}u_{2}^{*}&z_{1}u_{2} u_{1}z_{2}^{*}/-u_{1}^{*}z_{2}-z_{1}^ {*}u_{2}^{*}&-u_{1}^{*}u_{2} z_{1}^{*}z_{2}^{*}end{bmatrix}}}$

Analog ist ein Quaternion qua ${displaystyle q=a bei cj dk}$ dargestellt als reelle 4×4-Matrix:

${displaystyle q={ egin{bmatrix}{ egin{array}{rrrr}a&b&c&d/-b&a&-d&c/-c&d&a&-b/-d&-c&b&aend{array}}end{bmatrix}}=}$

${displaystyle =aleft[{ egin{smallmatrix}{ egin{array}{rrrr}1&0&0&0/0&1&0&0/0&0&1&0/0&0&0&0&1end{array}}end{smallmatrix}}ight] bleft[{ egin{smallmatrix}{ rrgin}{ rrgin} } 0&1&0&0/-1&0&0&0/0&0&0&-1/0&0&1&0end{array}}end{smallmatrix}}ight] cleft[{ egin{smallmatrix}{ egin{array}{rrrr}0&0&1&0/0&0&0&1/&0&0{&array&0} }ende{smallmatrix ight] dleft[{ egin{smallmatrix}{ egin{array}{rrrr}0&0&0&1/0&0&-1&0/0&1&0&0/-1&0&0&0end{array}}end{smallmatrix}}ight]}$

Also in dieser Darstellung:

${displaystyle 1=left[{ egin{smallmatrix}{ egin{array}{rrrr}1&0&0&0/0&1&0&0/0&0&1&0/0&0&0&0&1end{array}}end{smallmatrix}}ight]!!,,i=left[{ egin{smallmatrix} { egin{array}{rrrr}0&1&0&0/-1&0&0&0/0&0&0&-1/0&0&1&0end{array}}end{smallmatrix}}ight]!!,,j=left[{ egin{smallmatrix}{ egin{array}{rrrr} 0&0&1&0/0&0&0&1/-1&0&0&0/0&-1&0&0end{array}}end{smallmatrix}}ight]!!,,k=left[{ egin{smallmatrix}{ egin{array}{rrrr}0&0&0&1/0&0&-1&0/0/ &1&0 -1&0&0&0end{array}}end{smallmatrix}}ight]}$

Das konjugierte Quaternion in dieser Darstellung ist die transponierte Matrix. Weiterhin ist die Determinante:

${displaystyle det(q)=(a^{2} b^{2} c^{2} d^{2})^{2}}$,

so dass

${displaystyle |q|={sqrt[{4}]{det(q)}}}$

Polarnotation

Jede Einheit quaterion ${displaystyle varepsilon = a bi cj dkeq pm 1}$ lässt sich eindeutig schreiben als:

${displaystyle varepsilon =cos(varphi) varepsilon_{0},sin(varphi)}$

Darin ist ${Anzeigestil Varphi }$ das Stangenecke von ${Anzeigestil Varepsilon }$, für die:

${displaystyle cos(varphi)=a, varphi in (0,pi)}$

und

${displaystyle varepsilon _{0}={frac {mathrm {Im} (varepsilon)}{|mathrm {Im} (varepsilon)|}}={frac {bi cj dk}{sqrt {1-a^{2}} }}}$

eine reine Einheitsquaternion.

Eine beliebige nicht-reelle Quaternion ${Anzeigestil q}$ kann geschrieben werden als:

${Anzeigestil q=|q|,varepsilon}$

in welchem ${displaystyle varepsilon ={frac {1}{|q|}}q}$ ist eine Einheitsquaternion.

Dies macht die Polarnotation für ${Anzeigestil q}$:

${displaystyle q=|q|,(cos(varphi) varepsilon _{0},sin(varphi))}$

Mit der später in diesem Artikel besprochenen E-Power ist es immer noch möglich zu schreiben:

${displaystyle q=|q|,e^{varepsilon _{0}varphi }}$

Zahlenfelder und Gruppen

Die Quaternionen (${displaystyle mathbb {H} }$) bilden a Teilungsring (Ned) / Körper (Be), ein vierdimensionales Reales Vektorraum über die reale Nummern (${displaystyle mathbb {R} }$), deren Einheiten ${Anzeigestil 1,,i,,j}$ und ${displaystyle k}$ das Einheitsvektoren sind, und ein zweidimensionaler Vektorraum über komplexe Zahlen (${displaystyle mathbb {C} }$). Die Quaternionen selbst können in die zurückkehren Oktonionen (${displaystyle mathbb {O} }$) erweitert, aber die Verarbeitung der Oktonionen nicht mehr assoziativ.

Sie sind auf folgende Weise a Teilmenge von einander: ${displaystyle mathbb {R} Teilmenge mathbb {C} Teilmenge mathbb {H} Teilmenge mathbb {O} }$

Dieses Zahlensets immer weniger Eigenschaften treffen.

	Auftrag	Multiplikation
		kommutativ	assoziativ
reale Nummern	Ja	Ja	Ja
komplexe Zahlen	Nein	Ja	Ja
Quaternionen	Nein	Nein	Ja
Oktonionen	Nein	Nein	Nein

Die Einheiten ${Anzeigestil 1,,i,,j}$ und ${displaystyle k}$ und ihre Gegensätze bilden unter der Operation Multiplikation eine Gruppe: de Quaternionengruppe.

Drehungen

Einheitsquaternionen bilden eine zur Gruppe der Rotationen in drei Dimensionen isomorphe Gruppe. Das heißt, sie zeigen untereinander das gleiche Verhalten, wenn sie multipliziert werden. Daher können sie verwendet werden, um Drehungen im Raum um eine Achse in diesem Raum zu beschreiben.

Eine Rotation wird durch eine Rotationsquaternion beschrieben

${displaystyle q=cos({ frac {1}{2}}alpha) u,sin({ frac {1}{2}}alpha)}$,

in welchem ${Anzeigestil u}$ die reine Einheitsquaternion liegt in vektorieller Richtung der Rotationsachse und ${displaystyle alpha }$ der halbe Drehwinkel um die Achse.

Ein Punkt ${displaystyle P=(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}}$ wird durch die rein imaginäre Quaternion beschrieben ${displaystyle(0,x,y,z)}$ und sein Bild unter der Rotation ${Anzeigestil q(0,x,y,z)q^{-1}}$, mit als Vektorteil der gedrehte Punkt ${Anzeigestil P'}$.

Es gibt andere Möglichkeiten, Rotationen aufzuzeichnen, zum Beispiel mit dem Ecken von Euler, diese haben aber einen Nachteil in der Berechnung: a Schwimmbad, ein singulärer Punkt, an dem die Winkel nicht mehr eindeutig bestimmt sind. Dieses Problem ist bekannt als Gimbal-Sperre. Rotationen mit Quaternionen haben dieses Problem nicht und das ist der Hauptgrund dafür, dass diese Mathematik, die mehr als ein Jahrhundert lang fast ungenutzt saß, seit den 1990er Jahren erneut Interesse genießt.

Beispiel

Der Punkt ${Anzeigestil P=(1,0,0)}$ wird um die z-Achse um einen Winkel von 60° gedreht. Die z-Achse wird durch die Einheit Quaternion bestimmt:

${displaystyle u=k}$

und die Drehung um

${Anzeigestil q=c ks}$

mit

${displaystyle c=cos(30^{circ })={ frac {1}{2}}{sqrt {3}}}$

und

${displaystyle s=sin(30^{circ })={ frac {1}{2}}}$

Das Bild ${Anzeigestil P'}$ von ${Anzeigestil P}$ ist der vektorielle Teil von:

${Anzeigestil q(0,1,0,0)q^{*}=(c ks)i(c-ks)=}$

${displaystyle =(c ks)(ic-iks)=(c ks)(ic js)=}$

${displaystyle =ic^{2} jcs kisc kjs^{2}=ic^{2} jcs jsc-is^{2}=}$

${displaystyle =(0,c^{2}-s^{2},2cs,0)=(0,{ frac {1}{2}},{ frac {1}{2}}{sqrt {3} },0)}$

So

${displaystyle P'=({ frac {1}{2}},{ frac {1}{2}}{sqrt {3}},0)}$