WikiDer > Артинианское кольцо

Artinian ring

В абстрактная алгебра, Артинианское кольцо (иногда Кольцо Artin) это кольцо что удовлетворяет состояние нисходящей цепочки на идеалы; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артинианские кольца названы в честь Эмиль Артин, который первым обнаружил, что условие убывающей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и конечномерные кольца векторные пространства над поля. Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие убывающей цепи на эквивалентное понятие: минимальное условие.

Кольцо покинул Артиниан если он удовлетворяет условию убывающей цепи на левых идеалах, правый Артиниан если он удовлетворяет условию убывающей цепи на правых идеалах, и Артиниан или двусторонний Артиниан если и левый, и правый артинианский. Для коммутативные кольца левое и правое определения совпадают, но в целом они отличаются друг от друга.

В Теорема Артина – Веддерберна характеризует все просто Артиновские кольца как кольцо матриц через делительное кольцо. Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.

То же определение и терминология могут быть применены к модули, с заменой идеалов на подмодули.

Хотя условие нисходящей цепи кажется двойным по сравнению с условие возрастающей цепи, в кольцах это фактически более сильное условие. В частности, следствие Теорема Акизуки – Хопкинса – Левицки. состоит в том, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) Кольцо Нётериана. Это не верно для общих модулей; то есть Артинианский модуль не обязательно быть Модуль Нётерана.

Примеры

  • An область целостности артиново тогда и только тогда, когда это поле.
  • Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов остается артиновым слева. В частности, конечное кольцо (например., ) является левым и правым артиновым.
  • Позволять k быть полем. потом артиново для любого натурального числа п.
  • Так же, - артиново кольцо с максимальным идеалом
  • Если я является ненулевым идеалом Дедекиндский домен А, тогда это главный Артиновское кольцо.[1]
  • Для каждого , полное матричное кольцо над артиновым слева (соответственно нётеровым слева) кольцом р лево-артиново (соответственно лево-нётерское).[2]

Кольцо целых чисел является нётеровым кольцом, но не артиново.

Модули над артиновыми кольцами

Позволять M - левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие эквивалентны (Теорема Хопкинса): (i) M конечно порожден, (ii) M имеет конечная длина (т.е. имеет серия композиций), (iii) M нетеровский, (iv) M Артиниан.[3]

Коммутативные артиновы кольца

Позволять А коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие эквивалентны.

  • А Артиниан.
  • А является конечным произведением коммутативных артиновых локальных колец.[4]
  • А / ноль (А) это полупростое кольцо, где nil (А) это нильрадикал из А.[нужна цитата]
  • Каждый конечно порожденный модуль над А имеет конечную длину. (см. выше)
  • А имеет Измерение Крулля нуль.[5] (В частности, нильрадикал является радикалом Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
  • конечно и дискретно.
  • дискретно.[6]

Позволять k быть полем и А конечно порожденный k-алгебра. потом А артиново тогда и только тогда, когда А конечно порожден как k-модуль.

Артиново локальное кольцо полно. Фактор и локализация артинового кольца артинова.

Кольцо Simple Artinian

Простое артиновское кольцо А кольцо матриц над телом. Действительно,[7] позволять я - минимальный (ненулевой) правый идеал А. Тогда, поскольку двусторонний идеал, поскольку А просто. Таким образом, мы можем выбрать так что . Предполагать k минимальна по этому свойству. Рассмотрим карту правого А-модули:

Это сюръективно. Если это не инъективно, то, скажем, с ненулевым . Тогда в силу минимальности я, у нас есть: . Следует:

,

что противоречит минимальности k. Следовательно, и поэтому .

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Теорема 20.11. из http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
  2. ^ Кон 2003, 5.2 Упражнение 11
  3. ^ Бурбаки, VIII, стр.7
  4. ^ Атья и Макдональд1969, Теоремы 8.7
  5. ^ Атья и Макдональд1969, Теоремы 8.5
  6. ^ Атья и Макдональд1969, Гл. 8, упражнение 2.
  7. ^ Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию, Анналы математических исследований, 72, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, п. 144, Г-Н 0349811, Zbl 0237.18005

использованная литература