WikiDer > Неравенство Барроуза - Википедия

В геометрия, Неравенство Барроу является неравенство относящийся к расстояния между произвольной точкой в ​​пределах треугольник, вершины треугольника и определенные точки на сторонах треугольника. Он назван в честь Дэвид Фрэнсис Барроу.

Заявление

Позволять п - произвольная точка внутри треугольник ABC. Из п и ABC, определять U, V, и W как точки, где биссектриса угла из BPC, CPA, и APB пересечь стороны до н.э, CA, AB, соответственно. Тогда неравенство Барроу утверждает, что^[1]

${ Displaystyle PA + PB + PC geq 2 (PU + PV + PW), ,}$

причем равенство сохраняется только в случае равносторонний треугольник и п это центр треугольника.^[1]

Обобщение

Неравенство Барроу распространяется на выпуклые многоугольники. Для выпуклого многоугольника с вершинами ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, ldots, A_ {n}}$ позволять ${ displaystyle P}$ быть внутренней точкой и ${ Displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}, ldots, Q_ {n}}$ пересечения биссектрис угла ${ displaystyle angle A_ {1} PA_ {2}, ldots, angle A_ {n-1} PA_ {n}, angle A_ {n} PA_ {1}}$ со связанными сторонами многоугольника ${ displaystyle A_ {1} A_ {2}, ldots, A_ {n-1} A_ {n}, A_ {n} A_ {1}}$, то имеет место неравенство^[2][3]

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} | PA_ {k} | geq sec left ({ frac { pi} {n}} right) sum _ {k = 1} ^ {n} | PQ_ {k} |}$

Здесь ${ Displaystyle сек (х)}$ обозначает секущая функция. Для случая треугольника ${ displaystyle n = 3}$ неравенство становится неравенством Барроу из-за ${ displaystyle sec left ({ tfrac { pi} {3}} right) = 2}$.

История

Укрепление кургана Эрдеш-Морделл
${ displaystyle { begin {align} & quad , | PA | + | PB | + | PC | & geq 2 (| PQ_ {a} | + | PQ_ {b} | + | PQ_ {c } |) & geq 2 (| PF_ {a} | + | PF_ {b} | + | PF_ {c} |) end {align}}}$

Неравенство Барроу усиливает Неравенство Эрдеша – Морделла., который имеет идентичную форму, кроме ПУ, PV, и PW заменены тремя расстояниями п со сторон треугольника. Он назван в честь Дэвид Фрэнсис Барроу. Доказательство Барроу этого неравенства было опубликовано в 1937 году как его решение проблемы, поставленной в Американский математический ежемесячный журнал доказательства неравенства Эрдеша – Морделла.^[1] Этот результат еще в 1961 году был назван «неравенством Барроу».^[4]

Более простое доказательство было позже дано Луи Дж. Морделл.^[5]

Смотрите также

• Теорема Эйлера в геометрии
• Список неравенств треугольника

Рекомендации

внешняя ссылка

• Ходжу Ли: темы неравенств - теоремы и методы