WikiDer > Список неравенств треугольника

List of triangle inequalities
Для основного неравенства а < б + c, видеть Неравенство треугольника.
О неравенствах острых или тупых треугольников см. Острые и тупые треугольники.

В геометрия, неравенства треугольника находятся неравенство с участием параметры из треугольники, которые выполняются для каждого треугольника или для каждого треугольника, удовлетворяющего определенным условиям. Неравенства упорядочивают два разных значения: они имеют форму «меньше или равно», «больше или равно». Параметрами в неравенстве треугольника могут быть длины сторон, полупериметр, то угол меры, значения тригонометрические функции этих углов площадь треугольника, медианы сторон, высоты, длины внутренних биссектриса угла с каждого угла на противоположную сторону перпендикулярные биссектрисы сторон, расстояние от произвольной точки до другой точки, inradius, то Exradii, то по окружности, и / или другие количества.

Если не указано иное, в данной статье рассматриваются треугольники в Евклидова плоскость.

Основные параметры и обозначения

В неравенствах треугольника чаще всего встречаются следующие параметры:

  • боковые длины а, б, и c;
  • то полупериметр s = (а + б + c) / 2 (половина периметр п);
  • то угол меры А, B, и C углов вершины напротив соответствующих сторон а, б, и c (вершины обозначены теми же символами, что и их угловые размеры);
  • ценности тригонометрические функции углов;
  • то площадь Т треугольника;
  • то медианы ма, мб, и мc сторон (каждая - длина отрезка от середина стороны к противоположной вершине);
  • то высоты часа, часб, и часc (каждая длина сегмента перпендикуляр в одну сторону и достигая с этой стороны (или, возможно, продолжения этой стороны) до противоположной вершины);
  • длина биссектриса внутреннего угла та, тб, и тc (каждый представляет собой отрезок от вершины до противоположной стороны и делит угол вершины пополам);
  • то перпендикулярные биссектрисы па, пб, и пc сторон (каждая представляет собой длину сегмента, перпендикулярного одной стороне в ее средней точке и доходящего до одной из других сторон);
  • длины отрезков с концом в произвольной точке п в плоскости (например, длина отрезка от п к вершине А обозначается PA или же AP);
  • то inradius р (радиус круг вписанный в треугольнике, касательная во все три стороны), Exradii ра, рб, и рc (каждая является радиусом вневписанной окружности, касательной к стороне а, б, или же c соответственно и касательно продолжения двух других сторон), а по окружности р (радиус окружности, описанной вокруг треугольника и проходящей через все три вершины).

Боковые длины

Базовый неравенство треугольника является

или эквивалентно

Кроме того,

где значение правой части является наименьшей возможной границей,[1]:п. 259 подошел асимптотически по мере приближения определенных классов треугольников к выродиться случай нулевой площади. Левое неравенство, справедливое для всех положительных а, б, в, является Неравенство Несбитта.

У нас есть

[2]:стр.250, №82
[1]:п. 260
[1]:п. 261
[1]:п. 261
[1]:п. 261

Если угол C тупой (больше 90 °), то

если C острый (менее 90 °), то

Промежуточный случай равенства, когда C это прямой угол это теорема Пифагора.

В целом,[2]:стр.1, # 74

причем равенство приближается в пределе только тогда, когда угол при вершине равнобедренного треугольника приближается к 180 °.

Если центроид треугольника находится внутри треугольника окружать, тогда[3]:п. 153

Хотя все вышеперечисленные неравенства верны, потому что а, б, и c должны следовать основному неравенству треугольника, что самая длинная сторона меньше половины периметра, следующие соотношения выполняются для всех положительных а, б, и c:[1]:стр.267

каждое владение равным только тогда, когда а = б = c. Это говорит о том, что в неравностороннем случае гармоническое среднее сторон меньше их среднее геометрическое что, в свою очередь, меньше их среднее арифметическое.

Углы

[1]:п. 286
[2]:стр.21, # 836

для полупериметра s, с равенством только в равностороннем случае.[2]:стр.13, №608

[4]:Thm.1
[1]:стр.286
[1]:п. 286
[5]:п. 203
[2]:стр.149, №3297

куда то Золотое сечение.

[1]:п. 286
[1]:п. 286
[6]
[2]:стр.187, # 309.2

Для окружности радиуса р и по радиусу р у нас есть

с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине больше или равным 60 °;[7]:Кор. 3 и

с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине меньше или равным 60 °.[7]:Кор. 3

У нас также есть

и то же самое для углов ДО Н.Э, с равенством в первой части, если треугольник равнобедренный и угол при вершине не менее 60 °, и равенством во второй части тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине не более 60 °.[7]:Предложение 5

Далее, любые два угла измеряют А и B противоположные стороны а и б соответственно связаны согласно[1]:п. 264

что связано с теорема о равнобедренном треугольнике и его обратное, в котором говорится, что А = B если и только если а = б.

К Евклидс теорема о внешнем угле, любой внешний угол треугольника больше любого из внутренние углы в противоположных вершинах:[1]:п. 261

Если точка D находится внутри треугольника ABC, тогда

[1]:п. 263

Для остроугольного треугольника имеем[2]:стр.26, №954

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Кроме того, для не тупых треугольников имеем[8]:Следствие 3.

с равенством тогда и только тогда, когда это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC.

Площадь

Неравенство Вайтценбека по площади Т,[1]:п. 290

с равенством только в равностороннем случае. Это следствие из Неравенство Хадвигера – Финслера, который

Также,

[9]:п. 138

и[2]:стр.192, № 340.3[5]:п. 204

От самой правой верхней границы на Т, с использованием среднее арифметико-геометрическое неравенство, получается изопериметрическое неравенство для треугольников:

[5]:п. 203

для полупериметра s. Иногда это указывается в терминах периметра. п в качестве

с равенством равносторонний треугольник.[10] Это усилено

Неравенство Боннесена также усиливает изопериметрическое неравенство:

У нас также есть

[1]:п. 290[9]:п. 138

с равенством только в равностороннем случае;

[2]:стр.111, # 2807

для полупериметра s; и

[2]:стр.88, # 2188

Неравенство Оно для острых треугольников (со всеми углами менее 90 °)

Площадь треугольника можно сравнить с площадью окружать:

с равенством только для равностороннего треугольника.[11]

Если внутренний треугольник вписан в опорном треугольнике так, что вершины внутреннего треугольника разделить периметр опорного треугольника на равные сегменты длины, отношение их площадей ограниченно[9]:п. 138

Пусть внутренний угол биссектрисы А, B, и C встретить противоположные стороны в D, E, и F. потом[2]:стр.18, №762

Линия, проходящая через середину треугольника, разделяет площадь таким образом, чтобы отношение меньшей подобласти к площади исходного треугольника составляло не менее 4/9.[12]

Медианы и центроид

Три медианы треугольника, каждая из которых соединяет вершину со средней точкой противоположной стороны, и сумма их длин удовлетворяет[1]:п. 271

Более того,[2]:стр.12, №589

с равенством только в равностороннем случае, а для радиуса р,[2]:стр.22, №846

Если мы далее обозначим длины медиан, продолженных до их пересечений с описанной окружностью, как Mа , Mб , и Mc , тогда[2]:стр.16, №689

В центроид грамм пересечение медиан. Позволять AG, BG, и CG встретить описанный круг в U, V, и W соответственно. Тогда оба[2]:стр.17 # 723

и

Кроме того,[2]:стр.156, # S56

Для остроугольного треугольника имеем[2]:стр.26, №954

с точки зрения окружного радиуса р, а для тупого треугольника справедливо обратное неравенство.

Обозначая как IA, IB, IC расстояния стимулятор из вершин имеет место следующее:[2]:стр.192, № 339.3

Три медианы любого треугольника могут образовывать стороны другого треугольника:[13]:п. 592

Более того,[14]:Коро. 6

Высоты

Высоты часа и т.д., каждая из которых соединяет вершину с противоположной стороной и перпендикулярна этой стороне. Они удовлетворяют обоих[1]:п. 274

и

Кроме того, если тогда[2]:222,#67

У нас также есть[2]:стр.140, № 3150

Для биссектрис внутреннего угла та, тб, тc из вершин А, Б, В и центр окружности р и стимулятор р, у нас есть[2]:с.125, # 3005

Величины, обратные высотам любого треугольника, сами могут образовывать треугольник:[15]

Биссектриса внутреннего угла и инцентр

Биссектрисы внутреннего угла - это сегменты внутри треугольника, идущие от одной вершины к противоположной стороне и делящие пополам угол при вершине на два равных угла. Биссектриса угла та и т. д. удовлетворить

с точки зрения сторон, и

с точки зрения высоты и медианы, а также для тб и тc .[1]:стр. 271–3 Дальше,[2]:стр.224, № 132

в терминах медиан, и[2]:с.125, # 3005

по высоте, по радиусу р и по окружности р.

Позволять Та , Тб , и Тc - длины биссектрис угла, продолженных до описанной окружности. потом[2]:стр.11, # 535

с равенством только в равностороннем случае, и[2]:стр.14, №628

для окружности радиуса р и по радиусу р, опять же с равенством только в равностороннем случае. Кроме того,.[2]:стр.20, №795

За стимулятор я (пересечение биссектрис внутреннего угла),[2]:стр.127, №3033

Для средних точек L, M, N сторон,[2]:стр.152, # J53

Для стимулятора я, центроид грамм, центр окружности О, центр девяти точек N, и ортоцентр ЧАС, для неравносторонних треугольников справедливы неравенства расстояний[16]:стр.232

и

и имеем угловое неравенство[16]:стр.233

Кроме того,[16]:с.233, лемма 3

куда v это самая длинная медиана.

Три треугольника с вершиной в центре, OIH, GIH, и OGI, тупые:[16]:стр.232

> > 90° , > 90°.

Поскольку эти треугольники имеют указанные тупые углы, имеем

и фактически второй из них эквивалентен результату более сильному, чем первый, показанному Эйлер:[17][18]

У большего из двух углов треугольника есть более короткая биссектриса внутреннего угла:[19]:стр.72, # 114

Перпендикулярные биссектрисы сторон

Эти неравенства относятся к длинам па и т.д. внутренних частей треугольника серединных перпендикуляров сторон треугольника. Обозначая стороны так, чтобы у нас есть[20]

и

Сегменты из произвольной точки

Внутренняя точка

Рассмотрим любую точку п внутри треугольника, причем вершины треугольника обозначены А, B, и C и с длинами отрезков, обозначенными PA и т. д. у нас есть[1]:стр. 275–7

причем сильнее, чем второе из этих неравенств,[1]:п. 278

У нас также есть Неравенство Птолемея[2]:стр.19, №770

для внутренней точки P, а также для циклических перестановок вершин.

Если провести перпендикуляры из внутренней точки п к сторонам треугольника, пересекая стороны в D, E, и F, у нас есть[1]:п. 278

Далее Неравенство Эрдеша – Морделла. утверждает, что[21][22]

с равенством в равностороннем случае. Сильнее, Неравенство Барроу утверждает, что если внутренние биссектрисы углов во внутренней точке п (а именно ∠APB, ∠BPC, и ∠CPA) пересекают стороны треугольника в точках U, V, и W, тогда[23]

Кроме того, сильнее неравенства Эрдеша – Морделла является следующее:[24] Позволять D, E, F быть ортогональными проекциями п на BC, CA, AB соответственно, и H, K, L быть ортогональными проекциями п на касательные к описанной окружности треугольника в точках А, Б, В соответственно. потом

С ортогональными проекциями H, K, L из п на касательные к описанной окружности треугольника в точках А, Б, В соответственно имеем[25]

куда р это радиус описанной окружности.

Опять с расстояниями ПД, ПЭ, ПФ внутренней точки п со сторон имеем эти три неравенства:[2]:стр.29, # 1045

Для внутренней точки п с расстояниями ПА, ПБ, ПК из вершин и с площадью треугольника Т,[2]:стр.37, №1159

и[2]:стр.26, №965

Для внутренней точки п, центроид грамм, средние точки L, M, N сторон, и полупериметр s,[2]:стр.140, № 3164[2]:стр.130, №3052

Кроме того, для положительных чисел k1, k2, k3, и т с т меньше или равно 1:[26]:Thm.1

в то время как для т > 1 у нас есть[26]:Thm.2

Внутренняя или внешняя точка

Существуют различные неравенства для произвольной внутренней или внешней точки на плоскости по радиусу р вписанной окружности треугольника. Например,[27]:п. 109

Другие включают:[28]:стр. 180–1

за k = 0, 1, ..., 6;

и

за k = 0, 1, ..., 9.

Кроме того, для радиуса окружности р,

[29]:п. 227
[29]:п. 233
[29]:п. 233
[29]:п. 233

Позволять ABC быть треугольником, пусть грамм быть его центроидом, и пусть D, E, и F быть серединой до н.э, CA, и AB, соответственно. Для любой точки п в плоскости ABC:

[30]

Inradius, exradii и окружность

Внутренний и окружной радиус

В Неравенство Эйлера для по окружности р и inradius р утверждает, что

с равенством только в равносторонний дело.[31]:п. 198

Более сильная версия[5]:п. 198 является

По сравнению,[2]:стр.183, # 276.2

где правая сторона может быть положительной или отрицательной.

Два других уточнения неравенства Эйлера:[2]:стр.134, 3087

и

Еще одно симметричное неравенство[2]:с.125, # 3004

Более того,

[1]:288

с точки зрения полупериметра s;[2]:стр.20, # 816

по площади Т;[5]:п. 201

[5]:п. 201

и

[2]:стр.17 # 708

с точки зрения полупериметра s; и

также с точки зрения полупериметра.[5]:п. 206[7]:п. 99 Здесь выражение куда d расстояние между центром окружности и центром окружности. Во втором двойном неравенстве первая часть выполняется с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с вершина угол не менее 60 °, а последняя часть выполняется с равенством тогда и только тогда, когда треугольник является равнобедренным с углом при вершине не более 60 °. Таким образом, оба они равны тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.[7]:Thm. 1

У нас также есть для любой стороны а[32]

куда если центр окружности находится на или вне окружать и если центр описанной окружности находится внутри вписанной окружности. Центр описанной окружности находится внутри вписанной окружности тогда и только тогда, когда[32]

Дальше,

[1]:п. 291

Неравенство Бландона утверждает, что[5]:п. 206;[33][34]

Также для всех острых треугольников[35]

Для центра вписанной окружности я, позволять AI, БИ, и CI выходят за рамки я пересечь описанную окружность в D, E, и F соответственно. потом[2]:стр.14, # 644

В терминах углов при вершинах имеем [2]:стр.193, № 342.6

Обозначим как радиусы касательных окружностей в вершинах к описанной окружности треугольника и к противоположным сторонам. потом[36]:Thm. 4

с равенством только в равностороннем случае, и[36]:Thm. 6

с равенством только в равностороннем случае.

Циркумрадиус и другие длины

Для окружности радиуса р у нас есть[2]:стр.101, # 2625

и[2] :стр.35, №1130

У нас также есть[1]:стр. 287–90

по высоте,

в терминах медиан, и[2]:стр.26, №957

по площади.

Кроме того, для центра окружности О, пусть линии АО, BO, и CO пересекать противоположные стороны до н.э, CA, и AB в U, V, и W соответственно. потом[2]:стр.17, №718

Для острого треугольника расстояние между центром описанной окружности О и ортоцентр ЧАС удовлетворяет[2]:стр.26, №954

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Радиус описанной окружности как минимум в два раза больше расстояния между первым и вторым Баллы Brocard B1 и B2:[37]

Inradius, exradii и другие длины

Для внутреннего радиуса р у нас есть[1]:стр. 289–90

по высоте, и

по радиусам вневписанных окружностей. У нас дополнительно есть

[2]:стр.66, №1678

и

[2]:стр.183, # 281.2

Экстрадиумы и медианы связаны соотношением[2]:стр.66, №1680

Кроме того, для острого треугольника расстояние между центрами вписанной окружности я и ортоцентр ЧАС удовлетворяет[2]:стр.26, №954

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Кроме того, острый треугольник удовлетворяет[2]:стр.26, №954

с точки зрения окружного радиуса р, опять же с обратным неравенством, справедливым для тупого треугольника.

Если внутренний угол биссектрис углов А, B, C встретить противоположные стороны в U, V, W тогда[2]:с.215,32-я ИМО, # 1

Если внутренний угол биссектрисы через центр я протянуть до пересечения описанной окружности в Икс, Y и Z тогда [2]:стр.181, № 264.4

для окружности радиуса р, и[2]:стр.181, # 264.4[2]:стр.45, №1282

Если вписанная окружность касается сторон при D, E, F, тогда[2]:с.115, №2875

для полупериметра s.

Вписанные цифры

Вписанный шестиугольник

Если тангенциальный шестиугольник образуется путем проведения трех сегментов, касательных к вписанной окружности треугольника и параллельных стороне, так что шестиугольник вписан в треугольник, а его три другие стороны совпадают с частями сторон треугольника, тогда[2]:стр.42, №1245

Вписанный треугольник

Если три точки D, E, F на сторонах AB, BC и CA контрольного треугольника ABC являются вершинами вписанного треугольника, который, таким образом, разделяет контрольный треугольник на четыре треугольника, то площадь вписанного треугольника больше чем площадь, по меньшей мере, одной из других внутренних треугольников, если вершины вписанного треугольника не находятся на серединах сторон опорного треугольника (в этом случае вписанного треугольника является средний треугольник и все четыре внутренних треугольника имеют равные площади):[9]:стр.137

Написанные квадраты

В остром треугольнике три вписанные квадраты, каждая из которых имеет одну сторону, совпадающую с частью стороны треугольника и двумя другими вершинами квадрата на оставшихся двух сторонах треугольника. (Прямоугольный треугольник имеет только два отдельных вписанных квадрата.) Если один из этих квадратов имеет длину стороны Икса а другой имеет длину стороны Иксб с Икса < Иксб, тогда[38]:п. 115

Более того, для любого квадрата, вписанного в любой треугольник, мы имеем[2]:стр.18, № 729[38]

Линия Эйлера

Треугольник Линия Эйлера проходит через ортоцентр, это центр окружности, и это центроид, но не проходит через стимулятор если только треугольник не равнобедренный.[16]:стр.231 Для всех неравнобедренных треугольников расстояние d от центра к прямой Эйлера удовлетворяет следующим неравенствам в терминах самого длинного треугольника медиана v, его самая длинная сторона ты, и его полупериметр s:[16]:п. 234, Предложение 5

Для всех этих соотношений верхняя граница 1/3 является минимально возможной.[16]:стр.235, Thm.6

Прямоугольный треугольник

В прямоугольные треугольники ноги а и б и гипотенуза c соблюдайте следующее, с равенством только в равнобедренном случае:[1]:п. 280

По внутреннему радиусу гипотенуза подчиняется[1]:п. 281

а по высоте от гипотенузы ноги подчиняются[1]:п. 282

Равнобедренный треугольник

Если две равные стороны равнобедренный треугольник иметь длину а а другая сторона имеет длину c, то внутренний биссектриса угла т из одной из двух равноправных вершин удовлетворяет[2]:стр.169, #44

Равносторонний треугольник

Для любой точки п в плоскости равносторонний треугольник ABC, расстояния п из вершин, PA, PB, и ПК, таковы, что, если только п находится на треугольнике описанный круг, они подчиняются основному неравенству треугольника и, таким образом, сами могут образовывать стороны треугольника:[1]:п. 279

Однако когда п находится на описанной окружности сумма расстояний от п до ближайших двух вершин в точности равно расстоянию до самой дальней вершины.

Треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда для каждый точка п в плоскости, с расстояниями PD, PE, и ПФ к сторонам и расстояниям треугольника PA, PB, и ПК к его вершинам,[2]:стр.178, # 235.4

Два треугольника

Неравенство педо для двух треугольников, один со сторонами а, б, и c и площадь Т, а другой с боками d, е, и ж и площадь S, утверждает, что

с равенством если и только если два треугольника похожий.

В петля теорема или теорема открытого рта утверждает, что если две стороны одного треугольника совпадают с двумя сторонами другого треугольника, и включенный угол первого больше, чем включенный угол второго, то третья сторона первого треугольника длиннее, чем третья сторона второго треугольника. То есть в треугольниках ABC и DEF с боков а, б, c, и d, е, ж соответственно (с а противоположный А и т. д.), если а = d и б = е и угол C > угол F, тогда

Верно и обратное: если c > ж, тогда C > F.

Углы в любых двух треугольниках ABC и DEF связаны с точки зрения котангенс функционировать согласно[6]

Неевклидовы треугольники

В треугольник на поверхности сферы, а также в эллиптическая геометрия,

Это неравенство обратное для гиперболические треугольники.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час я j k л м п о п q р s т ты v ш Икс у z аа ab ac объявление Позаментьер, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников, Книги Прометея, 2012.
  2. ^ а б c d е ж грамм час я j k л м п о п q р s т ты v ш Икс у z аа ab ac объявление ае аф аг ах ай эй ак аль являюсь ан ао ap водный ар в качестве в au средний ау топор ай az ба bb до н.э bd быть парень bg бх Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum"И в другом месте", [1].
  3. ^ Ньюген, Минь Ха, и Дергиадес, Николаос. «Неравенство Гарфанкеля», Форум Geometricorum 4, 2004, 153–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200419index.html
  4. ^ Лу, Чжицинь. «Оптимальное неравенство», Математический вестник 91, ноябрь 2007 г., 521–523.
  5. ^ а б c d е ж грамм час Свртан, Драгутин и Вельян, Дарко. «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника», Форум Geometricorum 12, 2012, 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
  6. ^ а б Скотт, Дж. А., "Неравенство котангенса для двух треугольников", Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., стр. 473–474.
  7. ^ а б c d е Бирсан, Темистокле (2015). «Границы для элементов треугольника, выраженные R, r и s» (PDF). Форум Geometricorum. 15: 99–103.
  8. ^ Шаттак, Марк. «Геометрическое неравенство для циклических четырехугольников», Форум Geometricorum 18, 2018, 141-154. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201822.pdf
  9. ^ а б c d Торрехон, Рикардо М. «О неравенстве треугольника, вписанного в Эрдош», Форум Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html
  10. ^ Чакериан Г. Д. "Искаженное представление о геометрии". Гл. 7 дюйм Математические сливы (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
  11. ^ Минда, Д., и Фелпс, С., "Треугольники, эллипсы и кубические многочлены", Американский математический ежемесячный журнал 115, октябрь 2008 г., 679–689: Теорема 4.1.
  12. ^ Генри Боттомли, «Медианы и биссектрисы площади треугольника» http://www.se16.info/js/halfarea.htm
  13. ^ Беньи, Арпад, и Цург, Бранко. "Неравенства треугольника Чевы", Математические неравенства и приложения 17 (2), 2014, 591-609.
  14. ^ Мишель Батай, «Построение треугольника из двух вершин и симедианной точки», Форум Geometricorum 18 (2018), 129--133.
  15. ^ Митчелл, Дуглас В., "Формула типа Герона для обратной площади треугольника", Математический вестник 89 (ноябрь 2005 г.), 494.
  16. ^ а б c d е ж грамм Францсен, Уильям Н. "Расстояние от центра до линии Эйлера", Форум Geometricorum 11 (2011): 231–236.
  17. ^ Л. Эйлер, "Solutio facilis problematum quorundam Gemericorum difficillimorum", Novi Comm. Акад. Scie. Petropolitanae 11 (1765); перепечатано в Опера Омния, серия прима, т. 26 (A. Speiser, ed.), N. 325, 139–157.
  18. ^ Стерн, Джозеф (2007). "Задача определения треугольника Эйлера". Форум Geometricorum. 7: 1–9.
  19. ^ Альтшиллер-Корт, Натан. Колледж Геометрия. Dover Publications, 2007.
  20. ^ Митчелл, Дуглас В. "Серединные перпендикулярные направления сторон треугольника", Форум Geometricorum 13, 2013, 53–59: Теорема 4. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307index.html
  21. ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «Наглядное доказательство неравенства Эрдеша – Морделла», Форум Geometricorum, 7: 99–102. http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711index.html
  22. ^ Банкофф, Леон (1958), «Элементарное доказательство теоремы Эрдеша – Морделла», Американский математический ежемесячный журнал, 65 (7): 521, Дои:10.2307/2308580, JSTOR 2308580.
  23. ^ Морделл, Л. Дж. (1962), "О геометрических проблемах Эрдеша и Оппенгейма", Математический вестник, 46 (357): 213–215, Дои:10.2307/3614019, JSTOR 3614019.
  24. ^ Дао Тхань Оай, Нгуен Тьен Зунг и Фам Нгок Май, «Усиленная версия неравенства Эрдеша-Морделла», Форум Geometricorum 16 (2016), с. 317--321, теорема 2 http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201638.pdf
  25. ^ Дэн Штефан Маринеску и Михай Монеа, «Об усиленной версии неравенства Эрдо Эса-Морделла», Форум Geometricorum Том 17 (2017), стр. 197–202, следствие 7. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201723.pdf
  26. ^ а б Яноус, Вальтер. «Дальнейшие неравенства типа Эрдоша – Морделла», Форум Geometricorum 4, 2004, 203–206. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200423index.html
  27. ^ Шандор, Йожеф. «О геометрии равносторонних треугольников», Форум Geometricorum 5, 2005, 107–117. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514index.html
  28. ^ Мансур, Туфик и Шаттак, Марк. «Об одном кубическом геометрическом неравенстве», Форум Geometricorum 11, 2011, 175–181. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201118index.html
  29. ^ а б c d Мансур, Туфик и Шаттак, Марк. «Улучшение геометрического неравенства третьего порядка», Форум Geometricorum 12, 2012, 227–235. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201221index.html
  30. ^ Дао Тхань Оай, Задача 12015, The American Mathematical Monthly, том 125, январь 2018 г.
  31. ^ Драгутин Свртан и Дарко Вельян, «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника», Форум Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
  32. ^ а б Юрий, Н. Мальцев, Анна С. Кузьмина, «Улучшение неравенств Бирсана для сторон треугольника», Форум Geometricorum 16. 2016. С. 81−84.
  33. ^ Бландон, У. Дж. (1965). «Неравенства, связанные с треугольником». Канад. Математика. Бык. 8 (5): 615–626. Дои:10.4153 / cmb-1965-044-9.
  34. ^ Дорин Андрица, Кэтэлин Барбу. "Геометрическое доказательство неравенств Бландона", Математические неравенства и приложения, Volume 15, Number 2 (2012), 361–370. http://mia.ele-math.com/15-30/A-geometric-proof-of-Blundon-s-inequalities
  35. ^ Михай Бенче и Мариус Драган, «Теорема Бландона в остром треугольнике и некоторые последствия»,Форум Geometricorum 18. 2018. С. 185–194. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201825.pdf
  36. ^ а б Дорин Андрица и Дан Штефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства к R ≥ 2r Эйлера». Форум Geometricorum, Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
  37. ^ Скотт, Дж. А. "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Математический вестник 83, ноябрь 1999 г., стр. 472–477.
  38. ^ а б Оксман, Виктор, и Ступель, Моше. «Почему стороны квадратов, вписанных в треугольник, так близки друг к другу?» Форум Geometricorum 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html