WikiDer > Белл серии

В математика, то Белл серии это формальный степенной ряд используется для изучения свойств арифметических функций. Серия Bell была представлена ​​и разработана Эрик Темпл Белл.

Учитывая арифметическая функция ${ displaystyle f}$ и основной ${ displaystyle p}$, определим формальный степенной ряд ${ displaystyle f_ {p} (x)}$, названный серией Белла ${ displaystyle f}$ по модулю ${ displaystyle p}$ в качестве:

${ displaystyle f_ {p} (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} f (p ^ {n}) x ^ {n}.}$

Два мультипликативные функции можно показать, что они идентичны, если все их серии Белла равны; это иногда называют теорема единственности: данные мультипликативные функции ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$, надо ${ displaystyle f = g}$ если и только если:

${ displaystyle f_ {p} (x) = g_ {p} (x)}$ для всех простых чисел ${ displaystyle p}$.

Можно перемножить две серии (иногда называемые теорема умножения): Для любых двух арифметические функции ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$, позволять ${ displaystyle h = f * g}$ быть их Свертка Дирихле. Тогда для каждого простого числа ${ displaystyle p}$, надо:

${ displaystyle h_ {p} (x) = f_ {p} (x) g_ {p} (x). ,}$

В частности, это делает тривиальным нахождение ряда Белла Обратный Дирихле.

Если ${ displaystyle f}$ является полностью мультипликативный, то формально:

${ displaystyle f_ {p} (x) = { frac {1} {1-f (p) x}}.}$

Примеры

Ниже приводится таблица из серии известных арифметических функций Белла.

• В Функция Мёбиуса ${ displaystyle mu}$ имеет ${ displaystyle mu _ {p} (x) = 1-x.}$
• В Функция Мебиуса в квадрате ${ displaystyle mu _ {p} ^ {2} (x) = 1 + x.}$
• Тотентиент Эйлера ${ displaystyle varphi}$ имеет ${ displaystyle varphi _ {p} (x) = { frac {1-x} {1-px}}.}$
• Мультипликативное тождество Свертка Дирихле ${ displaystyle delta}$ имеет ${ displaystyle delta _ {p} (x) = 1.}$
• В Функция Лиувилля ${ displaystyle lambda}$ имеет ${ displaystyle lambda _ {p} (x) = { frac {1} {1 + x}}.}$
• Id степенной функции_k имеет ${ displaystyle ({ textrm {Id}} _ {k}) _ {p} (x) = { frac {1} {1-p ^ {k} x}}.}$ Здесь Id_k является полностью мультипликативной функцией ${ displaystyle operatorname {Id} _ {k} (n) = n ^ {k}}$.
• В делительная функция ${ displaystyle sigma _ {k}}$ имеет ${ displaystyle ( sigma _ {k}) _ {p} (x) = { frac {1} {(1-p ^ {k} x) (1-x)}}.}$
• В функция единицы удовлетворяет ${ Displaystyle 1_ {р} (х) = (1-х) ^ {- 1}}$, т.е. является геометрическая серия.
• Если ${ displaystyle f (n) = 2 ^ { omega (n)} = sum _ {d | n} mu ^ {2} (d)}$ это сила основная функция омега, тогда ${ displaystyle f_ {p} (x) = { frac {1 + x} {1-x}}.}$
• Предположим, что ж мультипликативен и грамм есть ли арифметическая функция удовлетворение ${ Displaystyle f (p ^ {n + 1}) = f (p) f (p ^ {n}) - g (p) f (p ^ {n-1})}$ для всех простых чисел п и ${ Displaystyle п geq 1}$. потом ${ displaystyle f_ {p} (x) = left (1-f (p) x + g (p) x ^ {2} right) ^ {- 1}.}$
• Если ${ displaystyle mu _ {k} (n) = sum _ {d ^ {k} | n} mu _ {k-1} left ({ frac {n} {d ^ {k}}} right) mu _ {k-1} left ({ frac {n} {d}} right)}$ обозначает Функция Мебиуса порядка k, тогда ${ displaystyle ( mu _ {k}) _ {p} (x) = { frac {1-2x ^ {k} + x ^ {k + 1}} {1-x}}.}$

Смотрите также

• Номера звонков

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МИСТЕР 0434929, Zbl 0335.10001