WikiDer > Мультипликативная функция

Multiplicative function
Вне теории чисел термин мультипликативная функция обычно используется для полностью мультипликативные функции. В этой статье обсуждаются теоретико-числовые мультипликативные функции.

В теория чисел, а мультипликативная функция является арифметическая функция ж(п) положительного целое число п со свойством, что ж(1) = 1 и всякий раз, когдаа и б находятся совмещать, тогда

Арифметическая функция ж(п) называется полностью мультипликативный (или же полностью мультипликативный) если ж(1) = 1 и ж(ab) = ж(а)ж(б) держит для всех положительные целые числа а и б, даже если они не взаимно просты.

Примеры

Некоторые мультипликативные функции определены для облегчения написания формул:

  • 1(п): постоянная функция, определяемая 1 (п) = 1 (полностью мультипликативный)
  • Идентификатор(п): функция идентичности, определяемый Id (п) = п (полностью мультипликативный)
  • Идентификаторk(п): степенные функции, определяемые Idk(п) = пk для любого комплексного числа k (полностью мультипликативный). В качестве частных случаев мы имеем
    • Идентификатор0(п) = 1(п) и
    • Идентификатор1(п) = Id (п).
  • ε(п): функция, определяемая ε(п) = 1, если п = 1 и 0 в противном случае, иногда называемый блок умножения для Свертка Дирихле или просто функция единицы (полностью мультипликативный). Иногда пишется как ты(п), но не путать с μ(п) .
  • 1C(п), индикаторная функция из набора CZ, для определенных наборов C. Индикаторная функция 1C(п) мультипликативен именно тогда, когда множество C обладает следующим свойством для любых взаимно простых чисел а и б: продукт ab в C тогда и только тогда, когда числа а и б оба находятся в C. Это так, если C набор квадратов, кубиков или k-ые степени, или если C это набор без квадратов числа.

Другие примеры мультипликативных функций включают многие функции, важные для теории чисел, такие как:

Примером не мультипликативной функции является арифметическая функция р2(п) - количество представлений п как сумма квадратов двух целых чисел, положительный, отрицательный, или же нуль, где при подсчете количества ходов допускается изменение порядка. Например:

1 = 12 + 02 = (−1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (−1)2

и поэтому р2(1) = 4 ≠ 1. Это показывает, что функция не является мультипликативной. Тем не мение, р2(п) / 4 мультипликативно.

в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей, последовательности значений мультипликативной функции есть ключевое слово "мульт".

Видеть арифметическая функция для некоторых других примеров не мультипликативных функций.

Характеристики

Мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в степенях простые числа, следствие основная теорема арифметики. Таким образом, если п это произведение степеней различных простых чисел, скажем п = па qб ..., тогда ж(п) = ж(па) ж(qб) ...

Это свойство мультипликативных функций значительно снижает потребность в вычислениях, как в следующих примерах для п = 144 = 24 · 32:

d (144) = σ0(144) = σ0(24)σ0(32) = (10 + 20 + 40 + 80 + 160)(10 + 30 + 90) = 5 · 3 = 15,
σ(144) = σ1(144) = σ1(24)σ1(32) = (11 + 21 + 41 + 81 + 161)(11 + 31 + 91) = 31 · 13 = 403,
σ*(144) = σ*(24)σ*(32) = (11 + 161)(11 + 91) = 17 · 10 = 170.

Аналогично у нас есть:

(144)=(24)(32) = 8 · 6 = 48

В общем, если ж(п) - мультипликативная функция и а, б - любые два натуральных числа, то

ж(а) · ж(б) = ж(gcd(а,б)) · ж(lcm(а,б)).

Всякая полностью мультипликативная функция является гомоморфизм из моноиды и полностью определяется его ограничением на простые числа.

Свертка

Если ж и грамм две мультипликативные функции, одна определяет новую мультипликативную функцию ж * грамм, то Свертка Дирихле из ж и грамм, к

где сумма распространяется по всем положительным делителям d из п. С помощью этой операции набор всех мультипликативных функций превращается в абелева группа; то элемент идентичности является ε. Свертка коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно сложения.

Связи между мультипликативными функциями, описанными выше, включают:

  • μ * 1 = εФормула обращения Мебиуса)
  • (μ Идентификаторk) * Идентификаторk = ε (обобщенное обращение Мёбиуса)
  • * 1 = Id
  • d = 1 * 1
  • σ = Идентификатор * 1 = * d
  • σk = Idk * 1
  • Id = * 1 = σ * μ
  • Идентификаторk = σk * μ

Свертка Дирихле может быть определена для общих арифметических функций и дает кольцевую структуру, Кольцо Дирихле.

В Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативен. Доказательство этого факта дает следующее разложение для относительно простых :

Ряды Дирихле для некоторых мультипликативных функций

Больше примеров показано в статье о Серия Дирихле.

Мультипликативная функция над Fq[Икс]

Позволять А = Fq[Икс], кольцо многочленов над конечное поле с q элементы. А это главная идеальная область и поэтому А это уникальная область факторизации.

Комплекснозначная функция на А называется мультипликативный если в любое время ж и грамм находятся относительно простой.

Дзета-функция и ряд Дирихле в Fq[Икс]

Позволять час быть полиномиальной арифметической функцией (т.е. функцией на множестве монических многочленов над А). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

где для набор если и иначе.

Тогда полиномиальная дзета-функция будет

Аналогично ситуации в N, каждый ряд Дирихле мультипликативной функции час имеет товарное представление (произведение Эйлера):

где произведение пробегает все унитарные неприводимые многочлены п. Например, представление продукта дзета-функции такое же, как для целых чисел:

В отличие от классического дзета-функция, простая рациональная функция:

Аналогично, если ж и грамм две полиномиальные арифметические функции, одна определяет ж * грамм, то Свертка Дирихле из ж и грамм, к

где сумма берется по всем моническим делители d изм, или эквивалентно по всем парам (а, б) монических многочленов, произведение которых равно м. Личность все еще держится.

Смотрите также

Рекомендации

  • См. Главу 2 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МИСТЕР 0434929, Zbl 0335.10001

внешняя ссылка