WikiDer > Фильтр Бесселя

В электроника и обработка сигналов, а Фильтр Бесселя это тип аналога линейный фильтр с максимально плоской групповая / фазовая задержка (максимально линейный фазовый отклик), который сохраняет форму волны отфильтрованных сигналов в полосе пропускания.^[1] Фильтры Бесселя часто используются в аудио кроссовер системы.

Название фильтра - отсылка к немецкому математику. Фридрих Бессель (1784–1846), который разработал математическую теорию, на которой основан фильтр. Фильтры еще называют Фильтры Бесселя – Томсона по признанию У. Э. Томсона, который разработал, как применять Функции Бесселя к конструкции фильтра в 1949 г.^[2] (Фактически, статья Киясу из Японии появилась на несколько лет раньше.^[3][4])

Фильтр Бесселя очень похож на Гауссов фильтр, и имеет тенденцию к той же форме при увеличении порядка фильтрации.^[5][6] Хотя во временной области пошаговая реакция фильтра Гаусса имеет нулевой превышение,^[7] фильтр Бесселя имеет небольшой выброс,^[8][9] но все же намного меньше, чем обычные фильтры частотной области.

По сравнению с приближениями конечного порядка фильтра Гаусса, фильтр Бесселя имеет лучший коэффициент формирования, более плоский фазовая задержка, и льстить групповая задержка чем гауссиан того же порядка, хотя гауссиан имеет меньшую задержку по времени и нулевой выброс.^[10]

Передаточная функция

График усиления и групповой задержки для фильтра Бесселя четвертого порядка. Обратите внимание, что переход от полосы пропускания к полосе заграждения происходит намного медленнее, чем для других фильтров, но групповая задержка практически постоянна в полосе пропускания. Фильтр Бесселя максимизирует ровность кривой групповой задержки при нулевой частоте.

Бессель фильтр нижних частот характеризуется своим функция передачи:^[11]

${ displaystyle H (s) = { frac { theta _ {n} (0)} { theta _ {n} (s / omega _ {0})}} ,}$

куда ${ displaystyle theta _ {n} (s)}$ это обратное Полином Бесселя от которого фильтр получил свое название и ${ displaystyle omega _ {0}}$ - частота, выбранная для получения желаемой частоты среза. Фильтр имеет низкочастотную групповую задержку ${ displaystyle 1 / omega _ {0}}$. С ${ Displaystyle theta _ {п} (0)}$ неопределенна по определению обратных многочленов Бесселя, но является устранимой особенностью, определяется, что ${ displaystyle theta _ {n} (0) = lim _ {x rightarrow 0} theta _ {n} (x)}$.

Полиномы Бесселя

Корнями полинома Бесселя третьего порядка являются полюса передаточной функции фильтра в s самолет, здесь изображены крестиками.

Передаточная функция фильтра Бесселя есть рациональная функция чей знаменатель обратный Полином Бесселя, например:

${ displaystyle n = 1; quad s + 1}$

${ displaystyle n = 2; quad s ^ {2} + 3s + 3}$

${ displaystyle n = 3; quad s ^ {3} + 6s ^ {2} + 15s + 15}$

${ displaystyle n = 4; quad s ^ {4} + 10s ^ {3} + 45s ^ {2} + 105s + 105}$

${ displaystyle n = 5; quad s ^ {5} + 15s ^ {4} + 105s ^ {3} + 420s ^ {2} + 945s + 945}$

Обратные многочлены Бесселя даются как:^[11]

${ displaystyle theta _ {n} (s) = sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} s ^ {k},}$

куда

${ displaystyle a_ {k} = { frac {(2n-k)!} {2 ^ {n-k} k! (n-k)!}} quad k = 0,1, ldots, n.}$

Пример

График усиления фильтра Бесселя третьего порядка в зависимости от нормализованной частоты

График групповой задержки фильтра Бесселя третьего порядка, иллюстрирующий плоскую единичную задержку в полосе пропускания

Передаточная функция для Бесселя третьего порядка (трехполюсного) фильтр нижних частот с ${ displaystyle omega _ {0} = 1}$ является

${ displaystyle H (s) = { frac {15} {s ^ {3} + 6s ^ {2} + 15s + 15}},}$

где числитель был выбран для получения единичного усиления на нулевой частоте (s = 0) Корни полинома знаменателя, полюсы фильтра, включают действительный полюс в точке s = −2.3222, а комплексно-сопряженная пара полюсов на s = −1.8389 ± j1.7544, нанесенный выше.

Тогда выигрыш

${ displaystyle G ( omega) = | H (j omega) | = { frac {15} { sqrt { omega ^ {6} +6 omega ^ {4} +45 omega ^ {2} +225}}}. ,}$

Точка 3 дБ, где ${ Displaystyle | H (J omega) | = { frac {1} { sqrt {2}}}, ,}$ происходит в ${ displaystyle omega = 1,756. ,}$ Это обычно называется частотой среза.

Фаза

${ displaystyle phi ( omega) = - arg (H (j omega)) = arctan left ({ frac {15 omega - omega ^ {3}} {15-6 omega ^ { 2}}} right). ,}$

В групповая задержка является

${ displaystyle D ( omega) = - { frac {d phi} {d omega}} = { frac {6 omega ^ {4} +45 omega ^ {2} +225} { omega ^ {6} +6 omega ^ {4} +45 omega ^ {2} +225}}. ,}$

В Серия Тейлор расширение групповой задержки

${ displaystyle D ( omega) = 1 - { frac { omega ^ {6}} {225}} + { frac { omega ^ {8}} {1125}} + cdots.}$

Обратите внимание, что два члена в ω² и ω⁴ равны нулю, что приводит к очень ровной групповой задержке на ω = 0. Это наибольшее количество членов, которое может быть установлено равным нулю, так как в полиноме Бесселя третьего порядка всего четыре коэффициента, для определения которых требуется четыре уравнения. Одно уравнение указывает, что коэффициент усиления равен единице при ω = 0 а второй указывает, что коэффициент усиления равен нулю при ω = ∞, оставляя два уравнения, чтобы указать, что два члена в разложении ряда равны нулю. Это общее свойство групповой задержки для фильтра Бесселя порядка п: первый п − 1 члены в разложении в ряд групповой задержки будут равны нулю, таким образом, максимизируя равномерность групповой задержки на ω = 0.

Цифровой

Поскольку важной характеристикой фильтра Бесселя является его максимально плоская групповая задержка, а не амплитудная характеристика, использование фильтра нецелесообразно. билинейное преобразование для преобразования аналогового фильтра Бесселя в цифровую форму (поскольку при этом сохраняется амплитудная характеристика, но не групповая задержка).

Цифровым эквивалентом является фильтр Тирана, также всеполюсный фильтр нижних частот с максимально ровной групповой задержкой,^[12][13] который также может быть преобразован в многопроходный фильтр для реализации дробных задержек.^[14][15]

Смотрите также

• Фильтр Баттерворта
• Гребенчатый фильтр
• Фильтр Чебышева
• Эллиптический фильтр
• Функция Бесселя
• Групповая задержка и фазовая задержка

Рекомендации

внешняя ссылка

• Фильтры Бесселя и линейные фазовые фильтры - Нугерц
• Константы фильтра Бесселя - К.Р. Бонд
• Фильтры Бесселя Полиномы, полюса и элементы схемы - К.Р. Бонд
• Исходный код Java для вычисления полюсов фильтра Бесселя