WikiDer > Сито Бруна

В области теория чисел, то Сито Бруна (также называемый Чистое сито Бруна) - метод оценки размера «просеянных множеств» положительные целые числа которые удовлетворяют набору условий, которые выражаются совпадения. Он был разработан Вигго Брун в 1915 г.

Описание

С точки зрения теория сита сито Бруна комбинаторный тип; то есть результат осторожного использования принцип включения-исключения.

Позволять А - набор натуральных чисел ≤ Икс и разреши п быть набором простых чисел. Для каждого п в п, позволять А_п обозначим множество элементов А делится на п и расширим это, чтобы позволить А_d пересечение А_п за п разделение d, когда d является произведением различных простых чисел из п. Далее пусть A₁ обозначать А сам. Позволять z быть положительным действительным числом и п(z) обозначают простые числа в п ≤ z. Задача сита - оценить

${displaystyle S (A, P, z) = leftvert Asetminus igcup _ {pin P (z)} A_ {p} ightvert.}$

Мы предполагаем, что |А_d | можно оценить по

${displaystyle leftvert A_ {d} ightvert = {frac {w (d)} {d}} X + R_ {d}}$

куда ш это мультипликативная функция и Икс   =   |А|, Позволять

${displaystyle W (z) = prod _ {pin P (z)} left (1- {frac {w (p)} {p}} ight).}$

Чистое сито Бруна

Эта формулировка взята из Кожокару и Мурти, Теорема 6.1.2. В обозначениях, как указано выше, предположим, что

• |р_d | ≤ ш(d) для любого квадрата d состоит из простых чисел в п ;
• ш(п) < C для всех п в п ;
• ${displaystyle sum _ {pin P_ {z}} {frac {w (p)} {p}}$

куда C, D, E являются константами.

потом

${displaystyle S (A, P, z) = Xcdot W (z) cdot left ({1 + Oleft ((log z) ^ {- blog b} ight)} ight) + Oleft (z ^ {blog log z} ight )}$

куда б любое положительное целое число. В частности, если log z < c бревно Икс / журнал журнал Икс для достаточно маленького c, тогда

${displaystyle S (A, P, z) = Xcdot W (z) (1 + o (1)).,}$

Приложения

• Теорема Бруна: сумма обратных величин простые числа-близнецы сходится;
• Теорема Шнирельмана: каждое четное число представляет собой сумму не более C простые числа (где C можно принять равным 6);
• Существует бесконечно много пар целых чисел, различающихся на 2, где каждый член пары является произведением не более 9 простых чисел;
• Каждое четное число представляет собой сумму двух чисел, каждое из которых является произведением не более 9 простых чисел.

Последние два результата были заменены Теорема Чена, а второй - Слабая гипотеза Гольдбаха (C = 3).

Рекомендации

• Вигго Брун (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare". Архив для Mathematik og Naturvidenskab. B34 (8).
• Вигго Брун (1919). "Серия 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ..., некоторые имена не являются премьер-министром, который является конвергентным или лучшим ". Bulletin des Sciences Mathématiques. 43: 100–104, 124–128.
• Алина Кармен Кожокару; М. Рам Мурти (2005). Введение в ситовые методы и их применение. Тексты студентов Лондонского математического общества. 66. Издательство Кембриджского университета. С. 80–112. ISBN 0-521-61275-6.
• Джордж Гривз (2001). Решета в теории чисел. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3. Folge). 43. Springer-Verlag. С. 71–101. ISBN 3-540-41647-1.
• Хейни Хальберштам; ОН. Ричерт (1974). Ситовые методы. Академическая пресса. ISBN 0-12-318250-6.
• Кристофер Хули (1976). Приложения ситовых методов к теории чисел. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-20915-3..