WikiDer > Уравнение Бюргерса - Википедия

Burgers equation - Wikipedia

Уравнение Бюргерса или же Уравнение Бейтмана – Бюргерса фундаментальный уравнение в частных производных происходящие в различных областях Прикладная математика, Такие как механика жидкости,[1] нелинейная акустика,[2] газовая динамика, и транспортный поток. Уравнение было впервые введено Гарри Бейтман в 1915 г.[3][4] и позже изученный Йоханнес Мартинус Бургерс в 1948 г.[5]

Для данного поля и коэффициент диффузии (или же кинематическая вязкость, как в исходном механическом контексте жидкости) , общая форма уравнения Бюргерса (также известная как вязкое уравнение Бюргерса) в одном измерении пространства диссипативная система:

Когда диффузионный член отсутствует (т.е. ) Уравнение Бюргерса становится невязкое уравнение Бюргерса:

который является прототипом для уравнения сохранения в которых могут развиться разрывы (ударные волны). Предыдущее уравнение - это адвективная форма уравнения Бюргерса. В консервативная форма оказывается более полезным при численном интегрировании

Объяснение терминов

В уравнении Бюргерса 4 члена: и . В системе, состоящей из движущейся вязкой жидкости с одним пространственным () и один височный () размер, например тонкая идеальная труба с протекающей по ней жидкостью, уравнение Бюргерса описывает скорость жидкости в каждом месте вдоль трубы с течением времени. Члены уравнения представляют следующие величины:[6]

  • : пространственная координата
  • : временная координата
  • : скорость жидкости в указанных пространственных и временных координатах
  • : вязкость жидкости

Вязкость - это постоянное физическое свойство жидкости, а другие члены представляют динамику, зависящую от этой вязкости.

Уравнение Невязкого Бюргерса

Это численное моделирование невязкого уравнения Бюргерса в двух пространственных переменных до момента образования ударной волны.

Невязкое уравнение Бюргерса - это уравнение сохранения, в более общем смысле квазилинейный гиперболическое уравнение. Решение уравнения и вместе с начальным условием

может быть построен метод характеристик. Характеристические уравнения:

Интегрирование второго уравнения говорит нам, что постоянна вдоль характеристики, и интегрирование первого уравнения показывает, что характеристики являются прямыми линиями, т.е.

куда точка (или параметр) на Икс-ось (т = 0) из Икс-т плоскость, от которой строится характеристическая кривая. Поскольку в этой точке скорость известна из начального условия и того факта, что это значение не изменяется при движении по характеристике, исходящей из этой точки, мы пишем по этой характеристике. Следовательно, траектория этой характеристики равна

Таким образом, решение дается формулой

Это неявное соотношение, которое определяет решение невязкого уравнения Бюргерса при условии, что характеристики не пересекаются. Если характеристики действительно пересекаются, то классического решения уравнения в частных производных не существует и приводит к образованию ударная волна. Фактически, время разрыва прежде, чем может образоваться ударная волна, определяется выражением

Невязкое уравнение Бюргерса для линейного начального условия

Субраманян Чандрасекар предоставил явное решение в 1943 г., когда начальное условие было линейным, т. е. , где a и b - постоянные.[7] Явное решение

Это решение также является полный интеграл невязкого уравнения Бюргерса, поскольку оно содержит столько произвольных констант, сколько независимых переменных, входящих в уравнение.[8][нужен лучший источник] Явные решения для других соответствующих начальных условий, как правило, не известны.

Уравнение вязкого Бюргерса

Это численное решение вязкого двумерного уравнения Бюргерса с использованием начального гауссова профиля. Мы видим формирование и рассеяние скачка за счет вязкости во время его движения.

Уравнение вязкого Бюргерса можно преобразовать в линейное уравнение Преобразование Коула – Хопфа [9][10]

что превращает его в уравнение

которые можно проинтегрировать относительно чтобы получить

куда - функция, зависящая от граничных условий. Если тождественно (например, если задача должна быть решена в периодической области), то мы получаем уравнение диффузии

Уравнение диффузии можно решить и преобразовать преобразование Коула-Хопфа, чтобы получить решение уравнения Бюргерса:

Другие формы

Обобщенное уравнение Бюргерса

Обобщенное уравнение Бюргерса расширяет квазилинейную конвективную систему до более обобщенного вида, т. Е.

куда - произвольная функция от u. Невязкий уравнение по-прежнему является квазилинейным гиперболическим уравнением для и его решение можно построить, используя метод характеристик как прежде.[11]

Стохастическое уравнение Бюргерса

Добавлен пространственно-временной шум образует стохастическое уравнение Бюргерса[12]

Этот стохастический PDE является одномерной версией Уравнение Кардара – Паризи – Чжана. в поле при замене .

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Он относится к уравнению импульса Навье – Стокса с удаленным членом давления.Уравнение Бюргерса (PDF): здесь переменная скорость потока у = и
  2. ^ Это возникает из Уравнение Вестервельта с допущением о строго распространяющихся вперед волнах и использованием преобразования координат для запаздывающих временных рамок: здесь переменная - это давление
  3. ^ Бейтман, Х. (1915). Некоторые недавние исследования движения жидкостей. Ежемесячный обзор погоды, 43 (4), 163-170.
  4. ^ Уизем, Г. Б. (2011). Линейные и нелинейные волны (Том 42). Джон Вили и сыновья.
  5. ^ Бюргерс, Дж. М. (1948). Математическая модель, иллюстрирующая теорию турбулентности. В "Успехах прикладной механики" (т. 1, с. 171-199). Эльзевир.
  6. ^ Кэмерон, Мария. «ЗАМЕТКИ К УРАВНЕНИЮ БУРГЕРА» (PDF).
  7. ^ Чандрасекхар, С. (1943). "О распаде плоских ударных волн"(№ 423). Лаборатории баллистических исследований. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  8. ^ Форсайт, А. (1903). Трактат о дифференциальных уравнениях. Лондон: Макмиллан.
  9. ^ Джулиан Коул (1951). О квазилинейном параболическом уравнении, встречающемся в аэродинамике. Квартал прикладной математики, 9 (3), 225-236.
  10. ^ Эберхард Хопф (Сентябрь 1950 г.). "Уравнение в частных производных y uт + ууИкс = μuхх". Сообщения по чистой и прикладной математике. 3 (3): 201–230. Дои:10.1002 / cpa.3160030302. HDL:10338.dmlcz / 102083.
  11. ^ Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Vol. II.
  12. ^ Wang, W .; Робертс, А. Дж. (2015). "Диффузионное приближение для автомодельности стохастической адвекции в уравнении Бюргерса". Коммуникации по математической физике. 333: 1287–1316. Дои:10.1007 / s00220-014-2117-7.

внешняя ссылка