WikiDer > Теорема Картана – Адамара.

В математике Теорема Картана – Адамара. это заявление в Риманова геометрия относительно структуры полного Римановы многообразия неположительных секционная кривизна. Теорема утверждает, что универсальный чехол такого многообразия диффеоморфный к Евклидово пространство через экспоненциальная карта в любой момент. Впервые это было доказано Ганс Карл Фридрих фон Мангольдт за поверхности в 1881 г. и независимо Жак Адамар в 1898 г. Эли Картан обобщил теорему на римановы многообразия в 1928 г. (Хелгасон 1978; ду Карму 1992; Кобаяси и Номидзу 1969). Теорема была далее обобщена на широкий класс метрические пространства к Михаил Громов в 1987 г .; подробные доказательства были опубликованы Баллманн (1990) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFBallmann1990 (помощь) для метрических пространств неположительной кривизны и Александр и епископ (1990) для общих локально выпуклых метрических пространств.

Риманова геометрия

Теорема Картана – Адамара в традиционной римановой геометрии утверждает, что универсальное перекрытие из связаны полный Риманово многообразие неположительных секционная кривизна является диффеоморфный к р^п. Фактически для полных многообразий неположительной кривизны экспоненциальная карта в любой точке многообразия лежит накрывающее отображение.

Теорема верна и для Гильбертовы многообразия в том смысле, что экспоненциальное отображение неположительно искривленного геодезически полного связного многообразия является накрывающим отображением (Макалпин 1965; Lang 1991, IX, §3 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFLang1991 (помощь)). Полнота здесь понимается в том смысле, что экспоненциальное отображение определено в целом. касательное пространство точки.

Метрическая геометрия

В метрическая геометрия, теорема Картана – Адамара - это утверждение, что универсальное покрытие связаны полное метрическое пространство неположительной кривизны Икс это Пространство Адамара. В частности, если Икс является односвязный тогда это геодезическое пространство в том смысле, что любые две точки соединены единственной минимизирующей геодезической, и, следовательно, стягиваемый.

Метрическое пространство Икс называется неположительно изогнутой, если каждая точка п есть район U в котором любые две точки соединены геодезический, и для любой точки z в U и геодезическая с постоянной скоростью γ в U, надо

${displaystyle d (z, gamma (1/2)) ^ {2} leq {frac {1} {2}} d (z, gamma (0)) ^ {2} + {frac {1} {2}} d (z, gamma (1)) ^ {2} - {frac {1} {4}} d (gamma (0), gamma (1)) ^ {2}.}$

Это неравенство полезно представить в виде геодезического треугольника Δ =zγ (0) γ (1). Левая часть - квадратное расстояние от вершины. z до середины противоположной стороны. Правая сторона представляет собой квадратное расстояние от вершины до середины противоположной стороны в евклидовом треугольнике, имеющем такую ​​же длину стороны, что и Δ. Это состояние, называемое CAT (0) условие это абстрактная форма Теорема сравнения треугольников топоногова.

Обобщение на локально выпуклые пространства

Предположение о неположительной кривизне можно ослабить (Александр и Епископ 1990), хотя и с более слабым выводом. Назовите метрическое пространство Икс выпуклый, если для любых двух постоянных скоростей минимизирует геодезические а(т) и б(т), функция

${displaystyle tmapsto d (a (t), b (t))}$

это выпуклая функция из т. Тогда метрическое пространство является локально выпуклым, если каждая точка имеет выпуклую в этом смысле окрестность. Теорема Картана – Адамара для локально выпуклых пространств утверждает:

• Если Икс является локально выпуклым полным связным метрическим пространством, то универсальное покрытие Икс является выпуклым геодезическим пространством относительно метрика индуцированной длины d.

В частности, универсальное покрытие такого пространства стягиваемо. Выпуклость функции расстояния вдоль пары геодезических - хорошо известное следствие неположительной кривизны метрического пространства, но не эквивалентно (Ballmann 1990) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBallmann1990 (помощь).

Значимость

Теорема Картана – Адамара представляет собой пример локально-глобального соответствия в римановой и метрической геометрии: а именно, локальное условие (неположительная кривизна) и глобальное условие (простая связность) вместе подразумевают сильное глобальное свойство (стягиваемость). ); или в римановом случае диффеоморфизм с р^п.

Метрическая форма теоремы демонстрирует, что многогранный клеточный комплекс неположительно искривленной формы является асферический. Этот факт имеет решающее значение для современного геометрическая теория групп.

Смотрите также

• Глоссарий римановой и метрической геометрии
• Многообразие Картана – Адамара
• Гипотеза Картана – Адамара

Рекомендации