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kartesisches Produkt ${Anzeigestil A imes B}$ der Kollektionen ${Anzeigestil A={x,y,z}}$ und ${Anzeigestil B={1,2,3}}$

In dem Mengenlehre ist der kartesisches Produkt oder der Produktkollektion von zwei Sätzen die Menge aller Paare oder geordnete Paare, von denen das erste Element aus der ersten Menge und das zweite aus der zweiten Menge stammt.

Definition

Es kartesisches Produkt der beiden Kollektionen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ wird notiert als ${Anzeigestil A imes B}$ und ist als Menge definiert Paare, wie folgt:

${displaystyle A imes B={(a,b)mid ain A,bin B}}$.

Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Philosophen und Mathematiker benannt René Descartes. Er entdeckte, dass ein Punkt in einer Ebene als Zahlenpaar angesehen werden kann. In moderner Notation machte er die Ebene äquivalent zu ${displaystyle mathbb {R} imes mathbb {R} }$.

Beispiel

Vor dem ${displaystyle A={a_{1},a_{2}}}$ und ${displaystyle B={b_{1},b_{2},b_{3}}}$, ist:

${displaystyle A imes B={(a_{1},b_{1}),(a_{1},b_{2}),(a_{1},b_{3}),(a_{2},b_ {1}),(a_{2},b_{2}),(a_{2},b_{3})}}$.

Eigenschaften

• Das kartesische Produkt jeder Menge mit der leeren Menge ist die leere Menge
• wenn ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ endliche Mengen sind, ist die Anzahl der Elemente von is ${Anzeigestil A imes B}$ gleich dem Produkt der Anzahl der Elemente von ${Anzeigestil A}$ und die Anzahl der Elemente von ${Anzeigestil B}$: ${displaystyle |A imes B|=|A|cdot |B|}$.
• wenn ${Anzeigestil A}$ oder ${Anzeigestil B}$ unendlich ist und die andere Menge nicht leer ist, dann ist ${Anzeigestil A imes B}$ unendlich.
• Im Allgemeinen gibt es nicht Welche ${displaystyle A imes B=B imes A}$. Es gibt eine kanonische zwischen den beiden Produkten bijektion, d. h. die Umkehrung jedes Drehmoments.

Wiederholtes kartesisches Produkt

Das Produkt ${Anzeigestil A imes B}$ ist wieder ein Set, und somit kann das Produkt mit einem dritten Set sein ${Anzeigestil C}$ geprägt sein:

${displaystyle (A imes B) imes C={(((a,b),c)mid (a,b)in A imes B,cin C}}$

Andererseits ist das Produkt von ${Anzeigestil A}$ mit der Produktkollektion ${displaystyle BimesC}$:

${displaystyle A imes (Bimes C)={(a,(b,c))mid ain A,(b,c)in B imes C}}$

Formal sind diese beiden Mengen unterschiedlich, aber sie sind bijektiv kanonisch verwandt:

${displaystyle f:(A imes B) imes C o A imes (B imes C):((a,b),c)mapsto (a,(b,c))}$

In den meisten mathematischen Theorien, die Produkte verwenden, ist die formale Unterscheidung zwischen diesen beiden Mengen von geringer Bedeutung. Man lässt dann eine Reihe von Klammern und Notizen fallen

${displaystyle A imes B imes C={(a,b,c)mid ain A,bin B,cin C}}$

Die Elemente von ${displaystyle A imes B imes C}$ werden genannt bestellte Drillinge oder verdreifacht. Analog definiert man das Produkt von vier Mengen mit Elementen vervierfacht, das Produkt von fünf Sätzen bestehend aus Fünftel, usw.

Nach Induktion ist das kartesische Produkt von existiert ${displaystyle n}$ Sammlungen von allen bestellten ${displaystyle n}$-Tupel (oder einfach Tupel) davon die ${Anzeigestil i}$-die Komponente zum ${Anzeigestil i}$- die Sammlung gehört:

${displaystyle prod _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1} imes ldots imes A_{n}={(a_{1},ldots ,a_{n})mid a_{1}in A_{1},ldots ,a_{n}in A_{n}}}$.

Das kartesische Produkt einer Menge ist per Konvention die Menge selbst, so dass ein 1-Tupel mit der einzigen Komponente identifiziert wird, aus der es besteht. Das kartesische Produkt von Nullmengen ist das Singleton bestehend aus dem 0 Tupel ${displaystyle()}$ (also dieses Produkt ist nicht die leere Sammlung!).

Wird ein kartesisches Produkt mit der gleichen Menge gebildet, dann wird es in Exponentialschreibweise geschrieben:

${displaystyle A imes A imes A=A^{3},mathbb {R} imes mathbb {R} =mathbb {R} ^{2}}$ usw.

Produkt einer großen Sammlungsfamilie

EIN ${displaystyle n}$-Tupel kann verstanden werden als a Bild des Zahlensatzes ${displaystyle {1,2,ldots,n}}$ an den Verband der betroffenen Sammlungen:

${displaystyle f:{1,2,ldots ,n} oder igcup _{i=1}^{n}A_{i}}$,

mit der Eigenschaft, dass:

${displaystyle f(i)in A_{i}}$.

Die Funktion ${displaystyle f}$ wird dann mit dem identifiziert ${displaystyle n}$-Tupel

${Anzeigestil (f(1),f(2),ldots,f(n))}$

Das wiederholte kartesische Produkt der ${displaystyle n}$ Kollektionen ${displaystyle A_{1},ldots ,A_{n}}$ ist dann die Menge dieser Funktionen.

Mit diesem Formalismus kann das kartesische Produkt auf den Fall eines Eventuals verallgemeinert werden unendlichFamilie der Sammlungen.

Sie ${displaystyle {A_{i}mid iin I}}$ eine Sammlungsfamilie, indiziert durch eine Sammlung ${Anzeigestil I}$, die nicht unbedingt eine Menge von Zahlen sein muss. Es kann leer sein oder endlich und nicht leer oder unendlich und gerade unzählbar.

Das kartesische Produkt der Familie ist die Menge aller Bilder der Indexsammlung zur Vereinigung der Familie, die jeden Index innerhalb des entsprechenden Familienmitglieds darstellt:

${displaystyle prod _{iin I}A_{i}={f:I o igcup _{iin I}A_{i}mid forall iin I,f(i)in A_{i}}}$

Wir bekommen einen Sonderfall, wenn ${Displaystil A_{i}=A}$ für alle ${displaystyle iin I}$. Dann ist das Produktset die Menge aller Bilder von ${Anzeigestil I}$ zu ${Anzeigestil A}$. Dies ist die intuitiv klare Schreibweise ${Displaystil A^{I}}$.

Projektion

Mit dem kartesischen Produkt ${Anzeigestil A imes B}$ von 2 Sätzen assoziieren wir zwei Projektionen

${displaystyle pi _{A}:A imes B o A:(a,b)mapto a}$

${displaystyle pi _{B}:A imes B o B:(a,b)mapsto b}$

Mit einem allgemeinen (wiederholten oder unendlichen) kartesischen Produkt ist ein Satz von Bildern verbunden, die jedes Tupel auf eine feste Komponente dieses Tupels abbilden. Das ${Anzeigestil i}$-die Projektion ist

${displaystyle pi _{i}:(prod _{jin I}A_{j}) o A_{i}:fmapsto f(i)}$

In kartesischer Geometrie auf ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ entsprechen diese Projektionen den beiden GeometerProjektionen${displaystyle pi_{X}^{Y}}$ und ${displaystyle pi_{Y}^{X}}$ parallel zu den Koordinatenachsen.

Datenbanken

In relationalen Datenbanken wird mit dem Befehl BEITRETEN machte das kartesische Produkt aus zwei Tabellen.