WikiDer > Projektion (Mathematik)

Projektion in dem Geometrie ist eine bestimmte art Transformation, wobei ein höherdimensionaler Raum auf einen niedrigerdimensionalen Raum reduziert wird. Geometrie hat verschiedene Arten von Projektionen oder Projektionsmethoden.

Parallelprojektion

In der ebenen Geometrie definiert man die parallel oder Parallelprojektion entlang einer Geraden ${Anzeigestil A}$ auf einer (nicht parallelen) Geraden ${Anzeigestil B}$, bemerkt ${displaystyle pi_{B}^{A}}$ als die Bild der mit jedem punkt ${displaystyle p}$ der Ebene der Schnittpunkt ${Anzeigestil q}$ Partner von ${Anzeigestil B}$ mit dem einzigartigen gerade durch ${displaystyle p}$ die parallel zu verläuft ${Anzeigestil A}$.

Es gibt zwei verschiedene Verallgemeinerungen in der Raumgeometrie: Parallelprojektion auf einer Ebene entlang einer bestimmten Richtung; Parallelprojektion auf einer Linie entlang einer gegebenen Ebenenrichtung.

Im Allgemeinen sind sie ${Anzeigestil K}$ ein Körper (in Belgien: Feld) und ${displaystyle 0leq kleq n}$, dann kann man im ${displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum ${Anzeigestil K^{n}}$ definiere eine Parallelprojektion auf a ${displaystyle k}$-dimensionaler Unterraum nach a ${Anzeigestil (n-k)}$-dimensionale Richtung, vorausgesetzt, der gegebene Unterraum und die gegebene Richtung sind linear unabhängig.

Zentralprojektion

In der ebenen Geometrie definiert man die Zentralprojektion von einem Punkt ${displaystyle o}$ auf einer Geraden ${Anzeigestil B}$ (Das ${displaystyle o}$ vermeidet), bemerkt ${displaystyle pi_{B}^{o}}$ als Teilfunktion, die jedem Punkt zugeordnet ist ${displaystyle p}$ der Ebene der Schnittpunkt ${Anzeigestil q}$ Partner von ${Anzeigestil B}$ mit dem einzigartigen gerade durch ${displaystyle p}$ und ${displaystyle o}$. Diese Funktion ist partiell, weil sie nicht definiert ist für ${displaystyle p=o}$.

Auch hier gibt es einfache Verallgemeinerungen in höhere Dimensionen.

In dem projektive Geometrie Parallel- und Zentralprojektionen sind Ausdruck desselben Konzepts, da Richtungen mit Punkten "im Unendlichen" identifiziert werden.

Unendliche Dimensionalität

Das Funktionsanalyse verwendet Parallelprojektionen in unendlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorräumen, z.B. Banach-Räume. Dies erfordert normalerweise, dass der Subvektorraum, auf den projiziert wird, topologisch ist Geschlossen ist.

Mengenlehre

Jetzt sofort kartesisches Produkt ein Paar werden Projektionsbilder verbunden, dass jeder Tupel auf einer festen Komponente dieses Tupels. Zum Beispiel die Produktkollektion ${displaystyle A imes B={(a,b);ain A,bin B}}$ zwei Projektionen ${displaystyle pi_{A}}$ und ${displaystyle pi_{B}}$:

• ${displaystyle pi _{A}:A imes B o A:(a,b)mapto a}$
• ${displaystyle pi _{B}:A imes B o B:(a,b)mapsto b}$

Für jede Sammlungsfamilie ${Anzeigestil (A_{i};iin I)}$ die Produktkollektion besteht aus allen Bildern ${displaystyle f}$ von ${Anzeigestil I}$ zur Vereinigung der Familie ${Displaystil U_{iin I}A_{i}}$, die jeder ${Anzeigestil i}$ innerhalb ${Displaystil A_{i}}$ darstellen. Das ${Anzeigestil i}$-die Projektion ist

${displaystyle pi _{i}:(prod _{jin I}A_{j}) o A_{i}:fmapsto f(i)}$

In kartesischer Geometrie auf ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ diese mengentheoretische Definition läuft auf eine Parallelprojektion mit einer Koordinatenachse auf der anderen Achse hinaus.