WikiDer > Категория элементов

Category of elements

В теория категорий, если C - категория и многозначный функтор, то категория элементов выключенный (также обозначается ∫CF) - категория, определяемая следующим образом:

  • Объекты пара куда и .
  • Стрелка это стрела в C такой, что .

Более краткий способ сформулировать это так: категорией элементов F является категория запятой , куда - одноточечный набор. Категория элементов F имеет естественную проекцию который отправляет объект (A, a) в A, а стрелка к соответствующей стрелке в C.

Категория элементов предпучка

В некоторых текстах (например, Mac Lane, Moerdijk) категория элементов используется для предварительных пучков. Мы формулируем это явно для полноты. Если это предпучка, то категория элементов из P (снова обозначается , или, чтобы пояснить различие в приведенном выше определении,C P = ∫Cop P) - категория, определяемая следующим образом:

  • Объекты пара куда и .
  • Стрелка это стрела в C такой, что .

Как видим, направление стрелок обратное. Еще раз можно сформулировать это определение более кратко: только что определенная категория есть не что иное, как . Следовательно, в духе добавления «со» перед названием конструкции для обозначения ее противоположности, эту категорию лучше называть категорией коэффициентов P.

Для C маленький, эту конструкцию можно продолжить до функтора ∫C из к , то категория малых категорий. Фактически, используя Лемма Йонеды можно показать, что ∫Cп , куда - вложение Йонеды. Этот изоморфизм естественен в P, а значит, функтор ∫C естественно изоморфен .

Категория элементов алгебры операд

Учитывая (цветная) операда и функтор, также называемый алгеброй, , получается новая операда, называемая категория элементов и обозначен , обобщая приведенную выше историю для категорий. Он имеет следующее описание:

  • Объекты пара куда и .
  • Стрелка это стрела в такой, что


Смотрите также

Рекомендации

  • Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
  • Мак Лейн, Сондерс; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике. Университекст (исправленное ред.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4.

внешняя ссылка