WikiDer > Модуль символов - Википедия

Character module - Wikipedia

В математике, особенно в области абстрактная алгебра, каждый модуль имеет связанный символьный модуль. Используя связанный символьный модуль, можно исследовать свойства исходного модуля. Один из основных результатов, обнаруженных Иоахим Ламбек показывает, что модуль плоский тогда и только тогда, когда связанный символьный модуль инъективный. [1]

Определение

В группа , группа рациональных чисел по модулю , можно рассматривать как -модуль естественным образом. Позволять быть аддитивной группой, которая также рассматривается как -модуль. Тогда группа

из -гомоморфизмы из к называется группа символов, связанная с . Элементы в этой группе называются символы. Если левый -модуль над кольцом , то группа символов это право -модуль и назвал символьный модуль, связанный с . Действие модуля в символьном модуле для и определяется для всех . [2] Таким же образом можно определить символьный модуль для правого -модули. В литературе также обозначения и используются для символьных модулей. [3][4]

Позволять быть оставленным -модули и ан -гомоморфизм. Тогда отображение определяется для всех это право -гомоморфизм. Формирование символьного модуля - контравариант функтор от категория слева -модули в категорию правых -модули. [3]

Мотивация

Абелева группа является делимый и поэтому инъективный -модуль. Кроме того, он обладает следующим важным свойством: пусть быть абелевой группой и ненулевой. Тогда существует групповой гомоморфизм с . Это говорит, что это когенератор. С помощью этих свойств можно показать основную теорему теории символьных модулей: [3]

Теорема (Ламбек) [1]: Левый модуль над кольцом является плоский тогда и только тогда, когда символьный модуль является инъективный верно -модуль.

Характеристики

Позволять левый модуль над кольцом и связанный символьный модуль.

  • Модуль плоский тогда и только тогда, когда инъективно (теорема Ламбека [4]). [1]
  • Если бесплатно, тогда инъективное право -модуль и является прямым продуктом копий права -модули . [2]
  • Для каждого права -модуль есть бесплатный модуль такой, что изоморфен подмодулю в . Благодаря предыдущему свойству этот модуль инъективно, поэтому каждое право -модуль изоморфен подмодулю инъективного модуля. (Теорема Бэра) [5]
  • Левый -модуль инъективен тогда и только тогда, когда существует свободный такой, что изоморфно прямому слагаемому . [5]
  • Модуль инъективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым символьного модуля свободного модуля. [2]
  • Если является подмодулем , тогда изоморфен подмодулю который состоит из всех элементов, которые аннигилируют . [2]
  • Формирование символьного модуля - контравариант точный функтор, т.е. сохраняет точные последовательности. [3]
  • Позволять быть правым -модуль. Тогда модули и изоморфны как -модули. [4]

Рекомендации

  1. ^ а б c Ламбек, Иоахим (1964). «Модуль является плоским тогда и только тогда, когда его символьный модуль является инъективным». Канадский математический бюллетень. 7 (2): 237–243. Дои:10.4153 / CMB-1964-021-9. ISSN 0008-4395.
  2. ^ а б c d Ламбек, Иоахим. (2009). Лекции о кольцах и модулях. Американское математическое общество. Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Pub. ISBN 9780821849002. OCLC 838801039.
  3. ^ а б c d Лам, Цит-Юэн (1999). Лекции по модулям и кольцам. Тексты для выпускников по математике. 189. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York.
  4. ^ а б c Теркан, Аднан; Юсель, Канан К. (2016). Теория модулей, расширение модулей и обобщения. Границы математики. Швейцария: Биркхойзер. ISBN 9783034809528.
  5. ^ а б Беренс, Эрнст-Август. (1972). Теория колец. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 9780080873572. OCLC 316568566.