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In dem Kategorientheorie, Teil von dem Mathematik, ist ein Funktion eine besondere art Bild zwischen Kategorien. Funktoren können gesehen werden als Morphismen in dem Kategorie der kleinen Kategorien.

Funktoren wurden erstmals in der algebraische Topologie, wahr algebraische Objekte (wie grundlegende Gruppe) sind verlinkt mit topologische Räume, und algebraisch Homomorphismen verlinkt werden kontinuierlich Bilder. Heutzutage werden Funktoren in der gesamten modernen Mathematik verwendet, um verschiedene Kategorien zueinander zu beziehen. Das Wort "Funktor" wurde von Mathematikern aus der Philosophcarnap [ Mac Lane, S. 30]. Carnap verwendet den Begriff "Functor" in Bezug auf Funktionen auf die gleiche Weise wie Prädikate in Beziehung zu Eigenschaften. [Siehe Carnap, The Logical Syntax of Language, S. 13-14, 1937, Routledge & Kegan Paul.] Für Carnap war ein Funktor im Gegensatz zur modernen Verwendung in der mathematischen Kategorientheorie ein Linguist Begriff. Für Kategorientheoretiker steht ein Funktor für eine bestimmte Spezies Funktion.

Definition

EIN (Kovariante) Funktion ist ein strukturerhaltend Bild zwischen den Kategorien. ein Funktor ${Anzeigestil F}$ der Kategorie ${displaystyle {mathcal {C}}}$ zur Kategorie ${displaystyle {mathcal {D}}}$ besteht aus

• Ein Bild ${displaystyle F:Operatorname {Ob} ({mathcal {C}}) oder Operatorname {Ob} ({mathcal {D}})}$ der Objekte von ${displaystyle {mathcal {C}}}$ zu den Objekten von Objekten ${displaystyle {mathcal {D}}}$
• Bilder ${displaystyle Fcolon Operatorname {Mor} _{mathcal {C}}(X,Y) o Operatorname {Mor} _{mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$ zwischen den Morphismen eines beliebigen Objektpaares ${Anzeigestil X}$, ${Anzeigestil Y}$ von ${displaystyle {mathcal {C}}}$.

Die Bilder zwischen den Morphismen müssen:

• mit der Zusammensetzung kompatibel sein, also ${Anzeigestil F(fcirc g)=F(f)circ F(g)}$.
• Behalten Sie die identischen Morphismen bei: ${displaystyle F(Operatorname {id} _{X})=Operatorname {id} _{F(X)}}$.

Und kontravarianter Funktor (oder Mitarbeiter) von ${displaystyle {mathcal {C}}}$ zu ${displaystyle {mathcal {D}}}$ ist eine Funktion von entgegengesetzte Kategorie${displaystyle {mathcal {C}}^{operatorname {op} }}$ zu ${displaystyle {mathcal {D}}}$. Äquivalent kann ein Kofunktor als Funktor bezeichnet werden, mit folgendem Unterschied:

• die Bilder zwischen den Morphismen gehen von ${Displaystil-Operatorname {Mor} _{mathcal {C}}(X,Y)}$ zu ${Displaystyle-Operatorname {Mor} _{mathcal {D}}(F(Y),F(X))}$.
• die Zusammensetzungskompatibilität lautet ${Anzeigestil F(fcirc g)=F(g)circ F(f)}$.

ein Funktor ${displaystyle Fcolon {mathcal {C}} oder {mathcal {C}}}$ einer Kategorie, die nach sich selbst benannt ist Endo-Funktion.

wenn ${displaystyle {mathcal {C}},{mathcal {D}},{mathcal {E}}}$ Kategorien sind und ${displaystyle Fcolon {mathcal {C}} oder {mathcal {D}}}$ und ${displaystyle Gcolon {mathcal {D}} oder {mathcal {E}}}$ ko- oder kontravariante Funktoren, dann ist die Zusammensetzung ${displaystyle GF}$, die formal definiert ist durch

${Anzeigestil (Gcirc F)(X)=G(F(X)), Quad (Gcirc F)(f)=G(F(f))}$

für Objekte ${Anzeigestil X}$ und Morphismen ${displaystyle f}$, eine Funktion ${displaystyle {mathcal {C}} oder {mathcal {E}}}$. Die Zusammensetzung ${displaystyle GF}$ ist genau dann kovariant, wenn ${Anzeigestil F}$ und ${Anzeigestil G}$ beide sind Co- oder beide sind Contra-Varianten; ansonsten konträr.

Siehe auch

Arten von Funktionen

• Zählbarer Funktor: ein Funktor zwischen Kategorien, dessen hom-Gleichungen abelsche Gruppen sind, ist addierbar, wenn es a . ist Gruppenhomomorphismus ist auf den hom-Gleichungen
• Adjuvante Funktoren: Funktionen f und G werden als Hom(FX,Ja) ≅ Hom(X,GY), wobei der Isomorphismus natürlich ist in X und Ja
• Ableitungsfunktion: das Bild eines Kurzfilms genaue Zeile unter einem nur halbgenauen Funktor kann zu einer langen exakten Folge erweitert werden, deren Objekte Bilder eines abgeleiteten Funktors sind
• Angereicherter Funktor, Verallgemeinerung für angereicherte Kategorien des Konzepts des Funktors
• Vergesslicher Funktor, das einige oder alle Teile der Struktur oder Eigenschaften des Objekts 'vergisst'
• Wesentlicher surjektiver Funktor: ein Funktor, dessen Kodomäne isomorph zum Bild eines Objekts in der Domäne ist
• Genaue Funktion: ein Funktor, der kurze exakte Zeilen in kurze exakte Zeilen umwandelt
• Treuefunktion: eine Funktion, die injektiv ist auf der Menge der Morphismen mit gegebener Domäne und Kodomäne
• Volle Funktion: eine Funktion, die surjektiv ist auf der Menge der Morphismen mit gegebener Domäne und Kodomäne
• Glatter Funktor: ein Funktor f von k-Vektor zu k-Vektor, so dass Hom(V,W) → Zuhause(FV,FW) rutschig ist. Beispiele sind V*,^kV,^kV und derartige.

Andere Fälle

• Diagramm (Kategorie Theorie)
• Funktorkategorie
• Kan-Erweiterung

Verweise

• Mac Lane, Saunders. Kategorien für den arbeitenden Mathematiker (Kategorien für den Berufsmathematiker), Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997. ISBN 0-387-98403-8