WikiDer > Кофинитность

Cofiniteness

В математика, а cofinite подмножество набора Икс это подмножество А чья дополнять в Икс это конечный набор. Другими словами, А содержит все, кроме конечного числа элементов Икс. Если дополнение не конечно, но счетно, то говорят, что множество подсчитываемый.

Они возникают естественным образом при обобщении структур на конечных множествах до бесконечных множеств, в частности, на бесконечных произведениях, как в топология продукта или прямая сумма.

Булевы алгебры

Множество всех подмножеств Икс которые являются либо конечными, либо кофинитными формами a Булева алгебра, т. е. замыкается при срабатывании союз, пересечение, и дополнения. Эта булева алгебра является конечно-кофинитная алгебра на Икс. Булева алгебра А имеет уникальный неглавный ультрафильтр (т.е. максимальный фильтр не порождается одним элементом алгебры) тогда и только тогда, когда существует бесконечное множество Икс такой, что А изоморфна конечно-кофинитной алгебре на Икс. В этом случае неглавный ультрафильтр - это совокупность всех конфинитных множеств.

Конечная топология

В конфинитная топология (иногда называют топология с конечным дополнением) это топология который может быть определен на каждом наборе Икс. Он имеет именно пустой набор и все cofinite подмножества из Икс как открытые наборы. Как следствие, в кофинитной топологии единственными замкнутыми подмножествами являются конечные множества или все Икс. Символически топологию записывают как

{ displaystyle { mathcal {T}} = {A substeq X mid A = varnothing { mbox {или}} X setminus A { mbox {конечно}} }}

Эта топология естественным образом возникает в контексте Топология Зарисского. поскольку многочлены в одной переменной над поле K равны нулю на конечных множествах, либо все K, топология Зариского на K (рассматривается как аффинная линия) - конфинитная топология. То же верно для любого несводимый алгебраическая кривая; это неверно, например, для XY = 0 на плоскости.

Свойства

Подпространства: Каждое топология подпространства конфинитной топологии также является конфинитной топологией.
Компактность: Поскольку каждый открытый набор содержит все, кроме конечного числа точек Икс, космос Икс является компактный и последовательно компактный.
Разделение: конфинитная топология - это грубейшая топология удовлетворение Т₁ аксиома; т.е. это наименьшая топология, для которой каждое одноэлементный набор закрыто. Фактически произвольная топология на Икс удовлетворяет T₁ аксиома тогда и только тогда, когда она содержит конфинитную топологию. Если Икс конечна, то конфинитная топология - это просто дискретная топология. Если Икс не конечна, то эта топология не Т₂, регулярный или нормальный, поскольку никакие два непустых открытых множества не пересекаются (т.е. сверхсвязанный).

Двусторонняя кофинитная топология

В двупунктовая конфинитная топология - кофинитная топология с удвоением каждой точки; то есть это топологический продукт конфинитной топологии с недискретная топология на двухэлементном наборе. Это не так Т₀ или Т₁, так как точки дублета топологически неразличимый. Однако это р₀ так как топологически различимые точки отделимы.

Примером счетной двухконечной кофинитной топологии является набор четных и нечетных целых чисел с топологией, которая группирует их вместе. Позволять Икс - множество целых чисел, и пусть О_А - подмножество целых чисел, дополнением которых является множество А. Определить подоснование открытых наборов г_Икс для любого целого Икс быть г_Икс = О_{{Икс, Икс+1}} если Икс является четное число, и г_Икс = О_{{Икс-1, Икс}} если Икс странно. Тогда основа наборы Икс порождаются конечными пересечениями, т. е. для конечных А, открытые множества топологии равны

{ Displaystyle U_ {A}: = bigcap _ {x in A} G_ {x}}

Полученное пространство не является T₀ (а значит, и не T₁), поскольку точки Икс и Икс + 1 (для Икс даже) топологически неразличимы. Однако это пространство компактное пространство, поскольку каждый U_А содержит все точки, кроме конечного.

Другие примеры

Топология продукта

В топология продукта на произведении топологических пространств ${ displaystyle prod X_ {i}}$ имеет основа ${ displaystyle prod U_ {i}}$ где ${ Displaystyle U_ {я} substeq X_ {я}}$ открыто, и бесконечно много ${ displaystyle U_ {i} = X_ {i}}$ .

Аналогом (не требующим, чтобы бесконечное число составляло все пространство) является коробчатая топология.

Прямая сумма

Элементы прямая сумма модулей ${ displaystyle bigoplus M_ {i}}$ последовательности ${ displaystyle alpha _ {i} in M_ {i}}$ где бесконечно много ${ Displaystyle альфа _ {я} = 0}$ .