WikiDer > Аукцион общей стоимости

В общая ценность аукционы Стоимость выставляемого на продажу предмета среди участников торгов идентична, но участники торгов имеют разную информацию о стоимости предмета. Это контрастирует с частный аукцион где частная оценка товара каждым участником торгов отличается и не зависит от оценок конкурентов.^[1]

Классический пример чистых общих ценностей аукцион это когда банка, полная четвертей, продается с аукциона. Баночка будет стоить столько же никому. Однако у каждого участника торгов свое предположение о том, сколько четвертинок находится в банке. Другие примеры из реальной жизни включают аукционы казначейских векселей, первичные публичные предложения, аукционы спектра, очень дорогие картины, произведения искусства, антиквариат и т. Д.

Одним из важных явлений, встречающихся на аукционах общей стоимости, является проклятие победителя. Претенденты имеют только приблизительную оценку стоимости товара. Если в среднем участники торгов делают оценки правильно, наибольшая ставка, как правило, была сделана кем-то, кто переоценил стоимость товара. Это пример неблагоприятный отбор, похожий на классический "лимоны"пример Акерлоф. Рациональные участники торгов будут предвидеть неблагоприятный выбор, так что даже если их информация все равно окажется чрезмерно оптимистичной, когда они выиграют, они в среднем не будут платить слишком много.

Иногда термин «проклятие победителя» используется по-другому, для обозначения случаев, в которых наивные участники торгов игнорируют неблагоприятный выбор и предлагают цену в значительно большей степени, чем полностью рациональный участник торгов, чтобы они фактически заплатили больше, чем стоит товар. Это использование распространено в литературе по экспериментальной экономике, в отличие от теоретической и эмпирической литературы об аукционах.

Взаимозависимые стоимостные аукционы

Аукционы обыкновенной стоимости и аукционы частной стоимости - две крайности. Между этими двумя крайностями находятся взаимозависимые стоимостные аукционы (также называемый: аукционы ассоциированной стоимости), где оценки участников торгов (например, ${ Displaystyle тета _ {я} = тета + ню _ {я}}$) может иметь компонент общего значения (${ displaystyle theta}$) и частное значение (${ displaystyle nu _ {я}}$) компонент. Эти два компонента можно соотнести так, чтобы частная оценка одного участника торгов могла влиять на оценку другого участника.^[2] Эти типы аукционов включают в себя большинство реальных аукционов и иногда иногда ошибочно называют аукционами общей стоимости.

Примеры

В следующих примерах аукцион общей стоимости моделируется как Байесовская игра. Мы пытаемся найти Байесовское равновесие по Нэшу (BNE), которая является функцией от информации, хранящейся у игрока, до ставки этого игрока. Мы ориентируемся на симметричный BNE (SBNE), в котором все участники торгов используют одну и ту же функцию.

Бинарные сигналы, аукцион первой цены

Следующий пример основан на.^[3]:44–46

Два участника торгов участвуют в аукцион первой цены с запечатанными предложениями для объекта, который имеет либо высокое качество (значение V), либо низкое качество (значение 0) для них обоих. Каждый участник торгов получает сигнал, который может быть высоким или низким с вероятностью 1/2. Сигнал связан с истинным значением следующим образом:

• Если хотя бы один участник торгов получает низкий сигнал, то истинное значение равно 0.
• Если оба получают высокий сигнал, то истинное значение равно V.

В этой игре нет SBNE в чистых стратегиях.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Предположим, что было такое равновесие б. Это функция от сигнала к ставке, т.е. игрок с сигналом Икс ставки б(Икс). Четко б(low) = 0, поскольку игрок с низким сигналом с уверенностью знает, что истинное значение равно 0, и не хочет ничего за это платить. Также, б(высокий) ≤ V, иначе выигрыша в участии не будет. Предположим, участник торгов 1 имеет b1(высокий) = B1> 0. Мы ищем лучший ответ для участника торгов 2, Би 2(высокий) = B2. Есть несколько случаев:

1. Другой участник торгов предлагает B2 Би 2(высокий)) плюс 1/2 (вероятность того, что у участника торгов 2 есть высокий сигнал), умноженная на 0 (так как в этом случае он теряет товар). Общее ожидаемое усиление составляет -B2 / 2, что хуже 0, поэтому это не может быть лучшим ответом.
2. Другой участник торгов предлагает B2 = B1. Тогда его ожидаемый выигрыш будет 1/2 умножить на −B2 плюс 1/2 умножить на 1/2 умножить на [V− B2] (поскольку в этом случае он выигрывает предмет с вероятностью 1/2). Общий ожидаемый выигрыш составляет (V - 3 B2) / 4.
3. Участник торгов b2 предлагает B2> B1. Тогда его ожидаемый выигрыш будет 1/2 раза -B2 плюс 1/2 раза [V- B2] (так как в этом случае он выигрывает элемент с вероятностью 1). Общий ожидаемый выигрыш составляет (2 В - 4 В2) / 4.

Последнее выражение положительно только тогда, когда B2

Этот результат отличается от случая частного значения, где всегда есть SBNE (см. аукцион первой цены с запечатанными предложениями).

Независимые сигналы, аукцион второй цены

Следующий пример основан на.^[3]:47–50

Два участника торгов участвуют в аукцион второй цены с запечатанными предложениями для объекта. Каждый участник торгов ${ displaystyle i}$ получает сигнал ${ displaystyle s_ {i}}$; сигналы независимы и имеют непрерывное равномерное распределение на [0,1]. Оценки:

${ displaystyle v_ {i} = a cdot s_ {i} + b cdot s _ {- i}}$

куда ${ displaystyle a, b}$ константы (${ displaystyle a = 1, b = 0}$ означает частные ценности; ${ displaystyle a = b}$ означает общие ценности).

Здесь есть уникальный SBNE, в котором каждый игрок делает ставки:

${ Displaystyle б (s_ {я}) = (а + б) cdot s_ {я}}$

Этот результат отличается от случая частной ценности, когда в SBNE каждый игрок правдиво заявляет свою ценность (см. аукцион второй цены с запечатанными предложениями).

Зависимые сигналы, аукцион второй цены

Этот пример предлагается^{[4]:188–190} как объяснение скачок ставок в Английские аукционы.

Два претендента, Ксения и Яков, участвуют в аукционе по единственному предмету. Оценки зависят от A B и C - трех независимых случайных величин, взятых из непрерывное равномерное распределение на интервале [0,36]:

• Ксения видит ${ displaystyle X: = A + B}$;
• Яков видит ${ displaystyle Y: = B + C}$;
• Общая стоимость предмета составляет ${ Displaystyle V: = (X + Y) / 2 = (A + 2B + C) / 2}$.

Ниже мы рассмотрим несколько форматов аукционов и найдем SBNE в каждом из них. Для простоты мы ищем SBNE, в котором каждый участник торгов делает ставку ${ displaystyle r}$ раз его сигнал: Ксения делает ставку ${ displaystyle r cdot X}$ и Яков ставит ${ displaystyle r cdot Y}$. Мы пытаемся найти ценность ${ displaystyle r}$ в каждом случае.

В закрытых торгов аукцион второй цены, есть SBNE с ${ displaystyle r = 1}$, т.е. каждый участник торгов подает именно свой сигнал.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство соответствует точке зрения Ксении. Мы предполагаем, что она знает, что Яков предлагает ${ displaystyle rY}$, но она не знает ${ displaystyle Y}$. Находим лучший отклик Ксении на стратегию Якова. Допустим, Ксения делает ставку ${ displaystyle Z}$. Есть два случая:

• ${ displaystyle Z geq rY}$. Тогда Ксения выигрывает и получает чистую прибыль в размере ${ Displaystyle V-rY = (X + Y-2rY) / 2}$.
• ${ Displaystyle Z$. Тогда Ксения проигрывает, и ее чистый выигрыш равен 0.

В общем, ожидаемый выигрыш Ксении (с учетом ее сигнала X) составляет:

${ displaystyle int _ {Y = 0} ^ {Z / r} {X + Y-2rY over 2} cdot f (Y | X) dY}$

куда ${ Displaystyle f (Y | X)}$ это условная плотность вероятности Y для данного X.

Посредством Основная теорема исчисления, производная этого выражения как функция от Z равна ${ displaystyle {1 over r} {X + Z / r-2Z over 2} cdot f (Z / r | X)}$. Это ноль, когда ${ Displaystyle X = 2Z-Z / r}$. Итак, лучший ответ Ксении - сделать ставку. ${ displaystyle Z = {rX over 2r-1}}$.

В симметричном BNE Ксения делает ставку ${ Displaystyle Z = rX}$. Из сравнения двух последних выражений следует, что ${ displaystyle r = 1}$.

Ожидаемый доход аукциониста:

${ Displaystyle = Е [ мин (Х, Y)] = Е [В + мин (А, С)]}$

${ Displaystyle = Е [В] + Е [ мин (А, С)]}$

${ displaystyle = 18 + 12 = 30}$

В Японский аукцион, результат такой же, как и на аукционе второй цены,^[4] поскольку информация раскрывается только при выходе одного из участников торгов, но в этом случае аукцион окончен. Таким образом, каждый участник торгов выходит по своему усмотрению.

Зависимые сигналы, аукцион первой цены

В приведенном выше примере в аукцион первой цены с запечатанными предложениями, есть SBNE с ${ Displaystyle г = 2/3}$, то есть каждый участник торгов предлагает 2/3 своего сигнала.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство соответствует точке зрения Ксении. Мы предполагаем, что она знает, что Яков предлагает ${ displaystyle rY}$, но не знает ${ displaystyle Y}$. Находим лучший отклик Ксении на стратегию Якова. Допустим, Ксения делает ставку ${ displaystyle Z}$. Есть два случая:

• ${ displaystyle Z geq rY}$. Тогда Ксения выигрывает и получает чистую прибыль в размере ${ Displaystyle V-Z = (X + Y-2Z) / 2}$.
• ${ Displaystyle Z$. Тогда Ксения проигрывает, и ее чистый выигрыш равен 0.

В целом ожидаемый выигрыш Ксении (с учетом ее сигнала X и ставки Z) составляет:

${ Displaystyle G (X, Z) = int _ {Y = 0} ^ {Z / r} {X + Y-2Z over 2} cdot f (Y | X) dY}$

куда ${ Displaystyle f (Y | X)}$ это условная плотность вероятности Y для данного X.

С ${ displaystyle Y = X + C-A}$, условная плотность вероятности Y равна:

• ${ Displaystyle F (Y | X) = Y- (X-1)}$ когда ${ Displaystyle X-1 leq Y leq X}$
• ${ Displaystyle f (Y | X) = (X + 1) -Y}$ когда ${ Displaystyle X Leq Y Leq X + 1}$

Подставляя это в формулу выше, получаем, что выигрыш Ксении составляет:

${ Displaystyle G (X, Z) = {1 над r ^ {3}} (XZ ^ {2} r / 2 + Z ^ {3} / 3-Z ^ {3} r)}$

Это имеет максимум, когда ${ displaystyle Z = {rX over 3r-1}}$. Но поскольку мы хотим симметричную BNE, мы также хотим иметь ${ Displaystyle Z = rX}$. Эти два равенства вместе означают, что ${ Displaystyle г = 2/3}$.

Ожидаемый доход аукциониста:

${ displaystyle = E [ max (fX, fY)] = (2/3) E [B + max (A, C)]}$

${ Displaystyle = (2/3) (Е [В] + Е [ макс (А, С)])}$

${ Displaystyle = (2/3) (18 + 24) = 28}$

Обратите внимание, что здесь эквивалент доходов Принцип НЕ выполняется - доход аукциониста ниже на аукционе первой цены, чем на аукционе второй цены (эквивалентность доходов сохраняется только тогда, когда значения независимы).

Связь с конкурентами Бертрана

Аукционы обыкновенной стоимости сопоставимы с Конкурс Бертрана. Здесь фирмы - участники торгов, а покупатели - аукционисты. Фирмы "назначают" цены до, но не превышают истинную стоимость товара. Конкуренция между фирмами должна вытеснять прибыль. Количество фирм будет влиять на успех или неудачу процесса аукциона в приближении цены к истинной стоимости. Если количество фирм невелико, возможен сговор. Видеть Монополия, Олигополия.

Рекомендации