WikiDer > Ergänzung (Mengentheorie)

Die Ergänzung ${Displaystil A^{c}}$ der Untermenge ${Anzeigestil A}$ von ${Displaystil U}$:
${displaystyle A^{c}=Usetminus A}$.

In dem Mengenlehre ist der ergänzen von a Teilmenge${Anzeigestil A}$ definiert in Bezug auf a Sammlung${Displaystil U}$ zu denen alle relevanten Sammlungen gehören. Es ergänzen von ${Anzeigestil A}$ ist die Teilmenge von ${Displaystil U}$ bestehend aus allen Elemente von ${Displaystil U}$ was nicht gehört ${Anzeigestil A}$ gehören.

Die Sammlung ${Displaystil U}$ wird in diesem Zusammenhang bezeichnet als universelle Kollektion bezeichnet und das Komplement von ${Anzeigestil A}$ notiert als

${Displaystil A^{c}}$ oder ${displaystyle {ar {A}}}$,

ohne weiteren Hinweis auf ${Displaystil U}$; So:

${displaystyle A^{c}={xin Umid xotin A}}$

Ist ${Displaystil U}$ nicht die universelle Menge, dann gibt es a relatives Komplement und es gibt keine besondere Notation. Das relative Komplement von ${Anzeigestil A}$ relativ zu ${Anzeigestil B}$ kann ausgedrückt werden als Unterschied

${displaystyle Bsetminus A}$

oder

${Anzeigestil B-A}$

Eigenschaften

Das Komplement des Komplements einer Menge ist die Menge selbst:

${Anzeigestil (A^{c})^{c}=A}$

Zusammen mit dem Komplement bildet ein Set das gesamte Universalset:

${Displaystil A^{c}Tasse A=U}$

Eine Menge hat kein gemeinsames Element mit ihrem Komplement:

${displaystyle A^{c}cap A=leermenge }$

'Draußen' ist das universelle Set nichts:

${displaystyle U^{c}=leermenge }$

${displaystyle emptyset ^{c}=U}$

Regeln von De Morgan:

${displaystyle (Acup B)^{c}=A^{c}cap B^{c}}$

${Displaystil (Acap B)^{c}=A^{c}Cup B^{c}}$