WikiDer > Конфокальные конические сечения - Википедия

Карандаши конфокальных эллипсов и гипербол

В геометрия, два конические секции называются конфокальный, если у них такой же фокусы. Потому что эллипсы и гиперболы иметь два очага, есть конфокальные эллипсы, конфокальные гиперболы и конфокальные смеси эллипсов и гипербол. В смеси софокусных эллипсов и гипербол любой эллипс пересекает любую гиперболу. ортогонально (под прямым углом). Параболы обладают только одним фокусом, поэтому по соглашению конфокальные параболы иметь такой же фокус и та же ось симметрии. Следовательно, любая точка не на оси симметрии лежит на двух софокусных параболах, которые пересекаются ортогонально (см. ниже).

Формальное распространение концепции софокусных коник на поверхности приводит к конфокальный квадрики.

Конфокальные эллипсы

Эллипс, не являющийся кругом, однозначно определяется своими фокусами. ${ Displaystyle F_ {1}, ; F_ {2}}$ и точка не на большая ось (см. определение эллипса как геометрическое место точек). В карандаш конфокальных эллипсов с фокусами ${ Displaystyle F_ {1} = (c, 0), ; F_ {2} = (- c, 0)}$ можно описать уравнением

• ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} = 1 , quad a> c ,}$

с большой полуосью ${ displaystyle a}$ как параметр. (The линейный эксцентриситет ${ displaystyle c}$ однозначно определяется фокусами.) Поскольку точка эллипса однозначно определяет параметр ${ displaystyle a}$,

• любые два эллипса карандаша не имеют общих точек.

Конфокальные гиперболы

Гипербола однозначно определяется своими фокусами. ${ Displaystyle F_ {1}, ; F_ {2}}$ и точка не на оси симметрии. Карандаш конфокальных гипербол с фокусами ${ Displaystyle F_ {1} = (c, 0), ; F_ {2} = (- c, 0)}$ можно описать уравнением

• ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {c ^ {2} -a ^ {2}}} = 1 , quad 0$

с полуосью ${ displaystyle a}$ как параметр. (Линейный эксцентриситет ${ displaystyle c}$ однозначно определяется фокусами.) Поскольку точка гиперболы определяет параметр ${ displaystyle a}$ однозначно,

• любые две гиперболы карандаша не имеют общих точек.

Конфокальные эллипсы и гиперболы

Общее представление

Из предыдущих представлений софокусных эллипсов и гипербол можно получить общее представление: Уравнение

• ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} = 1}$

описывает эллипс, если ${ displaystyle c$, а гипербола если ${ Displaystyle 0 <а <с}$.

В литературе встречается и другое распространенное представление:

• ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} = 1 , }$

с ${ displaystyle a, b}$ полуоси данного эллипса (отсюда и фокусы ${ Displaystyle F_ {1}, ; F_ {2}}$ даны) и ${ displaystyle lambda}$ - параметр карандаша.
За ${ Displaystyle лямбда <Ь ^ {2}}$ один становится конфокальным эллипсы (это ${ displaystyle a ^ {2} - lambda - (b ^ {2} - lambda) = c ^ {2}}$) и
за ${ displaystyle b ^ {2} < lambda$ конфокальный гиперболы с фокусами ${ Displaystyle F_ {1}, ; F_ {2}}$ в общем.

Граничные кривые

На позиции ${ displaystyle lambda = b ^ {2}}$ пучок софокусных кривых имеет в качестве левой предельной кривой (бесконечный плоский эллипс) отрезок прямой ${ displaystyle [-e, e]}$ на оси абсцисс и правой предельной кривой (бесконечная плоская гипербола) два интервала ${ Displaystyle (- infty, -e], [е, infty)}$. Следовательно:

• Граничные кривые в положении ${ displaystyle lambda = b ^ {2}}$ иметь два фокуса ${ Displaystyle F_ {1} = (- е, 0), F_ {2} = (е, 0) }$ в общем.

Это свойство проявляется в трехмерном случае (см. Ниже) в аналогичном и приводит к определению фокальных кривых (бесконечного множества фокусов) софокусных квадрик.

Конфокальные эллипсы и гиперболы пересекаются перпендикулярно: доказательство

Двойная ортогональная система

Рассматривая пучки софокусных эллипсов и гипербол (см. Свинцовую диаграмму), мы получаем из геометрических свойств нормали и касательной в точке ( нормаль эллипса и касательная к гиперболе угол между линиями до фокусов разделите пополам):

• Любой эллипс пучка ортогонально пересекает любую гиперболу (см. Диаграмму).

Следовательно, плоскость может быть покрыта ортогональной сеткой софокусных эллипсов и гипербол.

Эту ортогональную сеть можно использовать как основу эллиптическая система координат.

Конфокальные параболы

Карандаш конфокальных парабол

Параболы обладают только одним фокусом. Параболу можно рассматривать как предельную кривую пучка софокусных эллипсов (гипербол), где один фокус остается фиксированным, а второй перемещается в бесконечность. Если выполнить это преобразование для сети софокусных эллипсов и гипербол, то получится сеть из двух пучков софокусных парабол.

Уравнение ${ displaystyle y ^ {2} = 2p (x + p / 2) = 2px + p ^ {2}}$ описывает парабола с источником как фокус и Икс- ось как ось симметрии. Рассмотрим два карандаша парабол:

• ${ displaystyle y ^ {2} = 2px + p ^ {2} , quad p> 0 ,}$ параболы открываются верно и

${ Displaystyle у ^ {2} = - 2qx + q ^ {2} , quad q> 0 ,}$ параболы открываются оставили

с фокусом ${ Displaystyle F = (0,0)}$ в общем.

От определение параболы один получает

• параболы, открывающиеся вправо (влево), не имеют общих точек.

Из расчета следует, что,

• любая парабола ${ displaystyle y ^ {2} = 2px + p ^ {2}}$ открытие вправо пересекает любую параболу ${ displaystyle y ^ {2} = - 2qx + q ^ {2}}$ открывающиеся влево ортогонально (см. схему). Точки пересечения ${ displaystyle ({ tfrac {q-p} {2}}, pm { sqrt {pq}}) }$.

(${ displaystyle { vec {n}} _ {1} = left (p, mp { sqrt {pq}} right) ^ {T}, { vec {n}} _ {2} = left (q, pm { sqrt {pq}} right) ^ {T})}$ находятся нормальный векторы в точках пересечения. Их скалярное произведение является ${ displaystyle 0}$.)

Аналогично конфокальным эллипсам и гиперболам, плоскость может быть покрыта ортогональной сеткой парабол.

Сеть конфокальных парабол можно рассматривать как изображение сети линий, параллельных осям координат и содержащихся в правой половине комплексная плоскость посредством конформная карта ${ Displaystyle ш = г ^ {2}}$ (см. Внешние ссылки).

Теорема Грейвса: построение софокусных эллипсов струной

построение конфокальных эллипсов

В 1850 году ирландский епископ Лимерик Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения конфокальных эллипсов с помощью струны:^[1]

• Если окружить данный эллипс E замкнутой струной, длина которой превышает длину окружности данного эллипса, и нарисовать кривую, подобную строительство садовника эллипса (см.диаграмму), то получается эллипс, софокусный E.

Доказательство этой теоремы использует эллиптические интегралы и содержится в книге Клейна.Отто Штауде распространил этот метод на построение софокусных эллипсоидов (см. книгу Клейна).

Если эллипс E схлопывается до отрезка ${ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$, получается небольшая вариация метод садовника рисование эллипса с фокусами ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$.

Конфокальные квадрики

Конфокальные квадрики:
${ Displaystyle а = 1, ; b = 0,8, ; с = 0,6, }$
${ displaystyle lambda _ {1} = 0,1}$ (красный),${ displaystyle lambda _ {2} = 0,5}$ (синий), ${ displaystyle lambda _ {3} = 0,8}$ (фиолетовый)

Типы в зависимости от ${ displaystyle lambda}$

Определение

Идея софокусных квадрик является формальным расширением концепции софокусных конических сечений на квадрики в 3-х мерном пространстве ^[2]

Исправьте три вещественных числа ${ displaystyle a, b, c}$ с ${ displaystyle a> b> c> 0}$.Уравнение

• ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}} = 1}$ описывает

ан эллипсоид если ${ Displaystyle лямбда <с ^ {2}}$ ,

а гиперболоид одного листа если ${ displaystyle c ^ {2} < lambda$ (на схеме: синий),

а гиперболоид двух листов если ${ displaystyle b ^ {2} < lambda$ .

За ${ displaystyle a ^ {2} < lambda}$ решений нет.

(В этом контексте параметр ${ displaystyle c}$ является нет линейный эксцентриситет эллипса!)

Фокальные кривые

Фокальные коники (эллипс, гипербола, черный)

${ displaystyle c ^ {2} = 0,36, b ^ {2} = 0,64, quad}$ верх: ${ displaystyle lambda =}$
${ displaystyle 0.3575}$ (эллипсоид, красный), ${ displaystyle 0.3625}$ (1с гиперб., Синий),
${ displaystyle 0.638}$ (1с гиперб., Синий), ${ displaystyle 0.642}$ (2с гиперб., Фиолетовый)
внизу: ограничить поверхности между типами

Предельные поверхности для ${ displaystyle lambda to c ^ {2}}$:

Изменяя эллипсоиды на увеличение параметр ${ displaystyle lambda}$ так что он приближается к значению ${ displaystyle c ^ {2}}$ снизу получается бесконечный плоский эллипсоид. Точнее: площадь плоскости x-y, которая состоит из эллипса ${ displaystyle E}$ с уравнением ${ displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ {2} }} = 1}$ и это дважды покрыто интерьер (на схеме: внизу слева красный).

Варьируя однополостные гиперболоиды на уменьшение параметр ${ displaystyle lambda}$ так что он приближается к значению ${ displaystyle c ^ {2}}$ сверху получается бесконечный плоский гиперболоид. Точнее: площадь плоскости x-y, которая состоит из того же эллипса. ${ displaystyle E}$ и это дважды покрыто внешний вид (на схеме: внизу слева синий).
Это означает: две предельные поверхности имеют точки эллипса.

${ displaystyle E: { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ { 2}}} = 1}$

в общем.

Предельные поверхности для ${ displaystyle lambda to b ^ {2}}$:

Аналогичные соображения на позиции ${ displaystyle lambda = b ^ {2}}$ дает:

Две предельные поверхности (на диаграмме: нижняя, правая, синяя и фиолетовая) в положении ${ displaystyle b ^ {2}}$ иметь гиперболу

${ displaystyle H: { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} -b ^ {2}}} - { frac {z ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ {2}}} = 1}$

в общем.

Фокусные кривые:

Легко проверяется, что фокусы эллипса - это вершины гиперболы и наоборот. Это означает: Эллипс ${ displaystyle E}$ и гипербола ${ displaystyle H}$ пара фокальные коники.

Реверс: Потому что любая квадрика пучка софокусных квадрик, определяемая ${ displaystyle a, b, c}$ может быть сконструирован методом булавок и цепочек (см. эллипсоид) фокальные коники ${ displaystyle E, H}$ играют роль бесконечного множества фокусов и называются фокальные кривые пучка софокусных квадрик.^[3][4][5]

Трехчастная ортогональная система

Аналогично случаю конфокальных эллипсов / гипербол:

• Любая точка ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) in mathbb {R} ^ {3}}$ с ${ Displaystyle х_ {0} neq 0, ; y_ {0} neq 0, ; z_ {0} neq 0}$ лежит на ровно одна поверхность любого из трех типов конфокальных квадрик.

Три квадрики через точку ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ пересечься там ортогонально (см. внешнюю ссылку).

Пример функции ${ displaystyle f ( lambda)}$

Доказательство из существование и уникальность трех квадрик через точку:
Для точки ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ с ${ Displaystyle х_ {0} neq 0, y_ {0} neq 0, z_ {0} neq 0}$ пусть${ displaystyle f ( lambda) = { frac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z_ {0} ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}} - 1}$.Эта функция имеет три вертикальных асимптоты ${ Displaystyle с ^ {2} <Ь ^ {2} <а ^ {2}}$ и находится в любом из открытых интервалов ${ displaystyle (- infty, c ^ {2}), ; (c ^ {2}, b ^ {2}), ; (b ^ {2}, a ^ {2}), ; ( а ^ {2}, infty)}$ а непрерывный и монотонно возрастающий функция. Из поведения функции вблизи ее вертикальных асимптот и из ${ displaystyle lambda to pm infty}$ находят (см. диаграмму):
Функция ${ displaystyle f}$ имеет ровно 3 нуля ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$ с ${ displaystyle { color {red} lambda _ {1}}$

Доказательство из ортогональность поверхностей:
Использование карандашей функций${ displaystyle F _ { lambda} (x, y, z) = { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}}}$с параметром ${ displaystyle lambda}$ конфокальные квадрики можно описать как ${ Displaystyle F _ { lambda} (х, у, z) = 1}$. Для любых двух пересекающихся квадрик с ${ displaystyle F _ { lambda _ {i}} (x, y, z) = 1, ; F _ { lambda _ {k}} (x, y, z) = 1}$ каждый попадает в общую точку ${ Displaystyle (х, у, г)}$

${ displaystyle 0 = F _ { lambda _ {i}} (x, y, z) -F _ { lambda _ {k}} (x, y, z) = dotsb}$

${ displaystyle = ( lambda _ {i} - lambda _ {k}) left ({ frac {x ^ {2}} {(a ^ {2} - lambda _ {i}) (a ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {y ^ {2}} {(b ^ {2} - lambda _ {i}) (b ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {z ^ {2}} {(c ^ {2} - lambda _ {i}) (c ^ {2} - lambda _ {k})}} right ) .}$

Из этого уравнения для скалярного произведения градиентов в общей точке получаем

${ displaystyle operatorname {grad} F _ { lambda _ {i}} cdot operatorname {grad} F _ { lambda _ {k}} = 4 ; left ({ frac {x ^ {2}} {(a ^ {2} - lambda _ {i}) (a ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {y ^ {2}} {(b ^ {2} - lambda _ {i}) (b ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {z ^ {2}} {(c ^ {2} - lambda _ {i}) ( c ^ {2} - lambda _ {k})}} right) = 0 ,}$

что доказывает ортогональность.

Эллипсоид с линиями кривизны как кривые пересечения с конфокальными гиперболоидами
${ displaystyle a = 1, ; b = 0,8, ; c = 0,6}$

Приложения:
Из-за Теорема Дюпена на трехмерных ортогональных системах поверхностей верно следующее утверждение:

• Кривая пересечения любых двух софокусных квадрик - это линия кривизны.
• Аналогично планарному эллиптические координаты существуют эллипсоидальные координаты.

В физика конфокальные эллипсоиды выглядят как эквипотенциальные поверхности:

• В эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида - это его конфокальные эллипсоиды.^[6]

Теорема айвори

Теорема слоновой кости

Теорема айвори, названный в честь шотландского математика и астронома Джеймс Айвори (1765–1842), это заявление о диагонали из чистый прямоугольник, четырехугольник, образованный ортогональными кривыми:

• Для любого сетчатого прямоугольника, который образован двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с одинаковыми фокусами, диагонали имеют одинаковую длину (см. диаграмму).

Точки пересечения эллипса и конфокальной гиперболы:
Позволять ${ Displaystyle E (а)}$ быть эллипсом с фокусами ${ Displaystyle F_ {1} = (c, 0), ; F_ {2} = (- c, 0)}$ и уравнение

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} = 1 , quad a> c> 0 }$

и ${ Displaystyle Н (и)}$ конфокальная гипербола с уравнением

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {u ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {u ^ {2} -c ^ {2}}} = 1 , quad c> u .}$

Вычисление точки пересечения из ${ Displaystyle E (а)}$ и ${ Displaystyle Н (и)}$ получает четыре балла:

• ${ displaystyle left ( pm { frac {au} {c}}, ; pm { frac { sqrt {(a ^ {2} -c ^ {2}) (c ^ {2} - u ^ {2})}} {c}} right)}$

Диагонали сетчатого прямоугольника:
Для простоты расчета предполагается, что

1. ${ displaystyle c = 1}$, что не является существенным ограничением, потому что любая другая конфокальная сеть может быть получена путем равномерного масштабирования.
2. Из возможных альтернатив ${ displaystyle pm}$ (см. Точки пересечения выше)) только ${ displaystyle +}$ используется. В конце концов, легко считать, что любая другая комбинация знаков дает тот же результат.

Пусть ${ Displaystyle E (а_ {1}), E (а_ {2})}$ два софокусных эллипса и ${ Displaystyle Н (и_ {1}), Н (и_ {2})}$ две конфокальные гиперболы с одинаковыми очагами. Диагонали четырех точек сетчатого прямоугольника, состоящего из точек

${ Displaystyle P_ {11} = left (a_ {1} u_ {1}, ; { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1) (1-u_ {1} ^ {2}) }} right) , quad P_ {22} = left (a_ {2} u_ {2}, ; { sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {2 } ^ {2})}} right) ,}$

${ displaystyle P_ {12} = left (a_ {1} u_ {2}, ; { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1) (1-u_ {2} ^ {2}) }} right) , quad P_ {21} = left (a_ {2} u_ {1}, ; { sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {1 } ^ {2})}} right)}$

находятся:

${ displaystyle { begin {align} | P_ {11} P_ {22} | ^ {2} & = (a_ {2} u_ {2} -a_ {1} u_ {1}) ^ {2} + left ({ sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {2} ^ {2})}} - { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1) ( 1-u_ {1} ^ {2})}} right) ^ {2} = dotsb & = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} -2 , left (1 + a_ {1} a_ {2} u_ {1} u_ {2} + { sqrt {(a_ {1} ^ {2 } -1) (a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {1} ^ {2}) (1-u_ {2} ^ {2})}} right) end {выровнено} }}$

Очевидно, что последнее выражение инвариантно, если произвести обмен${ displaystyle u_ {1} leftrightarrow u_ {2}}$. Именно этот обмен приводит к ${ Displaystyle | P_ {1 цвет {красный} 2} P_ {2 цвет {красный} 1} | ^ {2}}$. Отсюда получаем:

• ${ displaystyle | P_ {11} P_ {22} | = | P_ {12} P_ {21} |}$

Доказательство утверждения для конфокальной параболы это простой расчет.

Айвори даже доказал трехмерную версию своей теоремы (s. Blaschke, p. 111):

• Для трехмерного прямоугольного кубовид образованные софокусными квадриками диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют одинаковую длину.

Смотрите также

• Фокалоид

Рекомендации

1. ^ Феликс Кляйн: Vorlesungen über Höhere Geometrie, Sringer-Verlag, Берлин, 1926, S.32.
2. ^ Д. М. Ю. Соммервиль:Аналитическая геометрия трех измерений, Cambridge University Press, 2016 г.,ISBN 1316601900, 9781316601907, стр. 235
3. ^ Штауде, О. Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides. Математика. Анна. 20, 147–184 (1882)
4. ^ Штауде, О. Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Оценки. Математика. Анна. 27, 253–271 (1886).
5. ^ Штауде, О. Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Математика. Анна. 50, 398 - 428 (1898)
6. ^ Д. Фукс, С. Табачников: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг 2011, ISBN 978-3-642-12959-9, п. 480.

• В. Блашке: Analytische Geometrie. Спрингер, Базель 1954 г.,ISBN 978-3-0348-6813-6, п. 111.
• Г. Глезер, Х. Стачел, Б. Одегнал: Вселенная коников: от древних греков до развития 21 века, Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7, п. 457.
• Дэвид Гильберт; Стефан Кон-Фоссен (1999), Геометрия и воображение, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1998-4
• Эрнесто Паскаль: Repertorium der höheren Mathematik. Тойбнер, Лейпциг / Берлин, 1910, стр. 257.
• А. Робсон: Введение в аналитическую геометрию Во. I, Кембридж, University Press, 1940, стр. 157.
• D.M.Y. Соммервиль: Аналитическая геометрия трех измерений, Cambridge, University Press, 1959, стр. 235.

внешняя ссылка

• Т. Хофманн: Минискрипт Дифференциальная геометрия I, стр. 48
• Б. Спрингборн: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (С. 22 ф.).
• Х. Вальзер: Konforme Abbildungen. п. 8.