WikiDer > Теорема Дюпена - Википедия

Dupins theorem - Wikipedia

Ортогональные поверхности через точку

Две плоскости (фиолетовая, синяя) как элементы трехмерной ортогональной системы пересекают цилиндр по линиям кривизны (синий круг, фиолетовая линия)

В дифференциальная геометрия Теорема Дюпена, названный в честь французского математика Шарль Дюпен, это утверждение:^[1]

В кривая пересечения любой пары поверхностей разных пучков трехмерной ортогональной системы является линия кривизны.

А тройная ортогональная система из поверхностей состоит из трех пучков поверхностей, таких, что любая пара поверхностей из разных пучков пересекается ортогонально.

Самый простой пример трехмерной ортогональной системы состоит из координатных плоскостей и их параллелей. Но этот пример не представляет интереса, потому что на плоскости нет линий кривизны.

Простой пример с хотя бы одним пучком изогнутых поверхностей: 1) все правильные круговые цилиндры с осью z в качестве оси, 2) все плоскости, которые содержат ось z, 3) все горизонтальные плоскости (см. Диаграмму).

А линия кривизны кривая на поверхности, имеющая в любой точке направление главная кривизна (максимальная или минимальная кривизна). Набор линий кривизны правого кругового цилиндра состоит из набора окружностей (максимальная кривизна) и линий (минимальная кривизна). На плоскости нет линий кривизны, потому что любая нормальная кривизна равна нулю. Следовательно, интерес представляют только линии кривизны цилиндра: горизонтальная плоскость пересекает цилиндр по окружности, а вертикальная плоскость имеет линии, общие с цилиндром.

Идею трехмерных ортогональных систем можно рассматривать как обобщение ортогональные траектории. Частными примерами являются системы конфокальные конические секции.

Заявление

Теорема Дюпена - это инструмент для определения линий кривизны поверхности путем пересечения с подходящими поверхностями (см. Примеры) без трудоемкого вычисления производных и главных кривизны. Следующий пример показывает, что вложение поверхности в трехмерную ортогональную систему не единственно.

Примеры

Правый круговой конус

Данный: Правый круговой конус, зеленый на схеме.
В розыске: Линии кривизны.

ортогональная система (фиолетовый, зеленый, синий) поверхностей конуса (зеленый), линии кривизны: зеленый, красный

1. карандаш: Сдвиг данного конуса C с вершиной S вдоль его оси образует пучок конусов (зеленый).
2. карандаш: Конусы с вершинами на оси данного конуса, линии которых ортогональны линиям данного конуса (синий).
3. карандаш: Самолет проходит через ось конуса (фиолетовый).

Эти три пучка поверхностей представляют собой ортогональную систему поверхностей. Синие конусы пересекают данный конус C по окружности (красной). Фиолетовые плоскости пересекаются по линиям конуса C (зеленый).

Альтернатива сферам

Точки пространства можно описать сферические координаты ${ Displaystyle (г, varphi, theta)}$ . Установлено S = M = origin.

1. карандаш: Конусы с точкой S в качестве вершины и их оси являются осью данного конуса C (зеленый): ${ displaystyle (г, varphi, theta _ {0})}$ .
2. карандаш: Сферы с центром в точке M = S (синие): ${ displaystyle (r_ {0}, varphi, theta)}$
3. карандаш: Плоскости, проходящие через ось конуса C (фиолетовый): ${ displaystyle (г, varphi _ {0}, theta)}$ .

Тор

Ортогональная система (фиолетовый, зеленый, синий) поверхностей тора (зеленый)
Линии кривизны: зеленый, красный

1. карандаш: Тори с такой же директрисой (зеленый).
2. карандаш: Конусы, содержащие направляющую окружность тора с вершинами на оси тора (синий).
3. карандаш: Плоскости, содержащие ось данного тора (фиолетовый).

Синие конусы пересекают тор в точке горизонтальные круги (красный) .Пурпурные плоскости пересекаются в вертикальные круги (зеленый).

Линии кривизны тора образуют сеть ортогональных окружностей.

Тор содержит больше окружностей: Вильярсо круги, которые не являются линиями кривизны.

Поверхность революции

Ортогональная система для поверхности вращения (зеленый)

Обычно поверхность вращения определяется образующей плоской кривой (меридианом) ${ displaystyle m_ {0}}$ . Вращающийся ${ displaystyle m_ {0}}$ вокруг оси образует поверхность вращения. Метод, используемый для конуса и тора, может быть распространен на поверхность вращения:

1. карандаш: Поверхности, параллельные данной поверхности вращения.
2. карандаш: Конусы с вершинами на оси вращения с образующими, ортогональными данной поверхности (синий).
3. карандаш: Самолеты, содержащие ось вращения (фиолетовый).

Конусы пересекают поверхность вращения кружками (красные). Фиолетовые плоскости пересекаются по меридианам (зеленые). Следовательно:

В линии кривизны поверхности вращения горизонтальные круги и меридианы.

Конфокальные квадрики

Эллипсоид с линиями кривизны

Гиперболоид с линиями кривизны

Статья конфокальные конические секции занимается конфокальным квадрики, тоже. Они являются ярким примером нетривиальной ортогональной системы поверхностей. Теорема Дюпена показывает, что

линии кривизны любой из квадрик можно рассматривать как кривые пересечения с квадриками из других пучков (см. диаграммы).

Конфокальные квадрики никогда не являются квадриками вращения, поэтому результат на поверхностях вращения (выше) не может быть применен. Линии кривизны, например, кривые степени 4. (Линии кривизны вращательных квадрик всегда конические сечения!)

Эллипсоид (см. Диаграмму)

Полуоси: ${ Displaystyle ; a = 1, ; b = 0,8, ; c = 0,6 ;}$ .
Линии кривизны представляют собой участки с одной (синий) и двумя (фиолетовый) листами. гиперболоиды. Красные точки пупочные точки.

Гиперболоид одного листа (см. Схему)

Полуоси: ${ Displaystyle ; a = 0,67, ; b = 0,3, ; c = 0,44 ;}$ .
Линии кривизны - это пересечения с эллипсоидами (синий цвет) и гиперболоидами двух листов (фиолетовый).

Циклиды Дюпена

Кольцевой циклид с фокусными конусами (темно-красный: эллипс, темно-синий: гипербола). Фиолетовый: нормаль к поверхности и общая линия двух конусов в точке P

А Циклид Дюпена а его параллели определяются парой фокальных конических участков. На схеме показан кольцевой циклид вместе с его фокальными коническими сечениями (эллипс: темно-красный, гипербола: темно-синий). Циклид можно рассматривать как член ортогональной системы поверхностей:

1. карандаш: параллельные поверхности циклида.
2. карандаш: правильные круговые конусы через эллипс (их вершины находятся на гиперболе)
3. карандаш: правые круговые конусы через гиперболу (их вершины находятся на эллипсе)

Особенностью циклида является свойство:

Линии кривизны циклида Дюпена: круги.

Доказательство теоремы Дюпена.

Любая точка рассмотрения содержится ровно в одной поверхности любого пучка ортогональной системы. Три параметра ${ displaystyle u, v, w}$ описание этих трех поверхностей можно рассматривать как новые координаты. Следовательно, любую точку можно представить следующим образом:

{ Displaystyle х = х (и, v, ш)}

{ Displaystyle у = у (и, v, ш)}

{ Displaystyle Z = Z (и, v, ш) quad}

или коротко:

{ displaystyle quad { vec {x}} = { vec {x}} (u, v, w) ;}

Для примера (цилиндра) в отведении новые координаты - это радиус ${ displaystyle r}$ фактического цилиндра, угол ${ displaystyle varphi}$ между вертикальной плоскостью и осью x и ${ displaystyle zeta}$ высота горизонтальной плоскости. Следовательно, ${ displaystyle r, varphi, zeta}$ можно рассматривать как координаты цилиндра точки рассмотрения.

Условие «поверхности пересекаются ортогонально» в точке ${ displaystyle { vec {x}} (и, v, w)}$ означает, что нормали поверхности ${ displaystyle ; { vec {x}} _ {u} times { vec {x}} _ {v}, ; { vec {x}} _ {v} times { vec {x }} _ {w}, ; { vec {x}} _ {w} times { vec {x}} _ {u}}$ попарно ортогональны. Это правда, если

{ displaystyle { vec {x}} _ {u}, ; { vec {x}} _ {v}, ; { vec {x}} _ {w} quad}

попарно ортогональны. Это свойство можно проверить с помощью Личность Лагранжа.

Следовательно

(1)

{ displaystyle quad { vec {x}} _ {u} cdot { vec {x}} _ {v} = 0, quad { vec {x}} _ {v} cdot { vec {x}} _ {w} = 0, quad { vec {x}} _ {w} cdot { vec {x}} _ {u} = 0 ;.}

Выводя эти уравнения для переменной, которая не содержится в уравнении, получаем

{ displaystyle { vec {x}} _ {uw} cdot { vec {x}} _ {v} + { vec {x}} _ {u} cdot { vec {x}} _ { vw} = 0 ;,}

{ displaystyle { vec {x}} _ {uv} cdot { vec {x}} _ {w} + { vec {x}} _ {v} cdot { vec {x}} _ { uw} = 0 ;,}

{ displaystyle { vec {x}} _ {vw} cdot { vec {x}} _ {u} + { vec {x}} _ {w} cdot { vec {x}} _ { vw} = 0 ;.}

Решение этой линейной системы для трех появляющихся скалярных произведений дает:

(2)

{ displaystyle quad { vec {x}} _ {uv} cdot { vec {x}} _ {w} = 0, quad { vec {x}} _ {vw} cdot { vec {x}} _ {u} = 0, quad { vec {x}} _ {uw} cdot { vec {x}} _ {v} = 0 ;.}

Из (1) и (2): Три вектора ${ displaystyle { vec {x}} _ {u}, { vec {x}} _ {v}, { vec {x}} _ {uv}}$ ортогональны вектору ${ displaystyle { vec {x}} _ {w}}$ и, следовательно, линейно зависимый (содержатся в общей плоскости), что может быть выражено:

(3)

{ displaystyle quad det ({ vec {x}} _ {uv}, { vec {x}} _ {u}, { vec {x}} _ {v}) = 0 ;.}

Из уравнения (1) один получает ${ displaystyle F = 0}$ (коэффициент первая фундаментальная форма) и
из уравнения (3): ${ displaystyle M = 0}$ (коэффициент вторая основная форма) поверхности ${ displaystyle { vec {x}} = { vec {x}} (и, v, w_ {0})}$ .

Следствие: кривые параметров представляют собой линии кривизны.

Аналогичный результат для двух других поверхностей через точку ${ displaystyle { vec {x}} (и_ {0}, v_ {0}, w_ {0})}$ тоже правда.

Navigation