WikiDer > Конический пучок
Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)
|
В алгебраическая геометрия, а пучок коников является алгебраическое многообразие который появляется как решение Декартово уравнение формы
Теоретически его можно рассматривать как Поверхность Севери – Брауэра, а точнее как Поверхность Шатле. Это может быть двойное покрытие линейчатая поверхность. Через изоморфизм, его можно связать с символом во-вторых Когомологии Галуа поля .
Фактически, это поверхность с хорошо понятным группа классов дивизоров и простейшие случаи делятся с Поверхности Дель Пеццо свойство быть рациональная поверхность. Но многие проблемы современной математики остаются открытыми, особенно (для тех примеров, которые не являются рациональными) вопрос о унирациональность.
Наивная точка зрения
Чтобы правильно написать расслоение на коники, нужно сначала уменьшить квадратичная форма левой стороны. Таким образом, после безобидного изменения оно имеет простое выражение вроде
На втором этапе его следует поместить в проективное пространство чтобы завершить поверхность «на бесконечности».
Для этого запишем уравнение в однородные координаты и выражает первую видимую часть волокна
Этого недостаточно, чтобы заполнить слой как неособое (гладкое и собственное), а затем склеить его до бесконечности заменой классических отображений:
Если смотреть с бесконечности (то есть через изменение ), то же волокно (за исключением волокон и ), записанный как множество решений где появляется естественно как обратный многочлен из . Подробная информация об изменении карты находится ниже .
Волокно c
Пойдя немного дальше, упростив задачу, ограничимся случаями, когда поле имеет характеристика ноль и обозначим через любое целое число, кроме нуля. Обозначим через п(Т) многочлен с коэффициентами в поле , степени 2м или 2м - 1, без множественного корня. Рассмотрим скаляра.
Один определяет обратный многочлен как , а расслоение на коники Fа,п следующим образом :
Определение
поверхность, полученная в результате "склейки" двух поверхностей и уравнений
и
вдоль открытых множеств изоморфизмами
- и .
Один показывает следующий результат:
Фундаментальная собственность
Поверхность Fа,п это k гладкой и собственной поверхности отображение, определяемое
от
и то же самое на дает Fа,п структура расслоения на коники над п1,k.
Смотрите также
- Алгебраическая поверхность
- Число пересечений (алгебраическая геометрия)
- Список комплексных и алгебраических поверхностей
использованная литература
- Робин Хартшорн (1977). Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
- Дэвид Кокс; Джон Литтл; Дон О'Ши (1997). Идеалы, разновидности и алгоритмы (второе изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
- Дэвид Эйзенбуд (1999). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.