WikiDer > Взаимный полином

Reciprocal polynomial

В алгебра, то обратный многочлен, или же отраженный полином[1][2] п или же пр,[2][1] из многочлен п степени п с коэффициентами из произвольной поле, Такие как

это многочлен[3]

По сути, коэффициенты записываются в обратном порядке. Они возникают естественным образом в линейная алгебра как характеристический многочлен из инверсия матрицы.

В частном случае, когда многочлен п имеет сложный коэффициенты, то есть

в сопряженный обратный многочлен, п данный,

куда обозначает комплексно сопряженный из , также называется обратным многочленом, когда не может возникнуть путаницы.

Полином п называется самовзаимный или же палиндромный если п(Икс) = п(Икс)Коэффициенты самовзаимного полинома удовлетворяют ая = апя. В сопряженном обратном случае коэффициенты должны быть настоящий для выполнения условия.

Характеристики

Взаимные многочлены имеют несколько связей со своими исходными многочленами, в том числе:

  1. п(Икс) = Икспп(Икс−1)[2]
  2. α является корнем многочлена п если и только если α−1 это корень п.[4]
  3. Если п(Икс) ≠ Икс тогда п является несводимый если и только если п неприводимо.[5]
  4. п является примитивный если и только если п примитивен.[4]

Могут быть получены другие свойства обратных многочленов, например:

  • Если многочлен самовзаимодействующий и неприводимый, то он должен иметь четную степень.[5]

Палиндромные и антипалиндромные многочлены

Самовзаимный многочлен также называется палиндромным, потому что его коэффициенты, когда многочлен записывается в порядке возрастания или убывания степеней, образуют палиндром. То есть, если

является полиномом от степень п, тогда п является палиндромный если ая = апя за я = 0, 1, ..., п. Некоторые авторы используют термины палиндромный и взаимный взаимозаменяемо.

По аналогии, п, многочлен степени п, называется антипалиндромный если ая = −апя за я = 0, 1, ... п. То есть полином п является антипалиндромный если п(Икс) = – п(Икс).

Примеры

Из свойств биномиальные коэффициенты, следует, что многочлены п(Икс) = (Икс + 1 )п палиндромны для всех натуральных чисел п, а многочлены Q(Икс) = (Икс – 1 )п палиндромны, когда п даже и антипалиндромно, когда п странно.

Другие примеры палиндромных многочленов включают: циклотомические многочлены и Полиномы Эйлера.

Характеристики

  • Если а является корнем полинома, который является палиндромным или антипалиндромным, то 1/а также является корнем и имеет такой же множественность.[6]
  • Верно и обратное: если многочлен такой, что если а это корень, тогда 1/а также является корнем той же кратности, тогда многочлен либо палиндромный, либо антипалиндромный.
  • Для любого полинома q, многочлен q + q палиндромно, а многочлен qq антипалиндромный.
  • Любой многочлен q может быть записан как сумма палиндромного и антипалиндромного полиномов.[7]
  • Произведение двух палиндромных или антипалиндромных многочленов является палиндромным.
  • Произведение палиндромного полинома и антипалиндромного полинома является антипалиндромным.
  • Палиндромный многочлен нечетной степени кратен Икс + 1 (он имеет –1 в качестве корня) и его частное по Икс + 1 также палиндромный.
  • Антипалиндромный многочлен кратен Икс – 1 (он имеет 1 в качестве корня) и его частное по Икс – 1 палиндромный.
  • Антипалиндромный многочлен четной степени кратен Икс2 – 1 (он имеет -1 и 1 в качестве корней) и его частное по Икс2 – 1 палиндромный.
  • Если п(Икс) является палиндромным многочленом четной степени 2d, то существует многочлен q степени d такой, что п(Икс) = Иксdq(Икс + 1/Икс) (Дюран, 1961).
  • Если п(Икс) - монический антипалиндромный многочлен четной степени 2d над полем k со странным характеристика, то его можно однозначно записать как п(Икс) = Иксd (Q(Икс) − Q(1/Икс)), куда Q - монический многочлен степени d без постоянного срока.[8]
  • Если антипалиндромный полином п имеет даже степень 2п, то его «средний» коэффициент (мощности п) равно 0, поскольку ап = −а2н - н.

Реальные коэффициенты

Многочлен с настоящий коэффициенты, все из которых сложный корни лежат на единичной окружности в комплексная плоскость (все корни унимодулярные) либо палиндромный, либо антипалиндромный.[9]

Сопряженные обратные многочлены

Многочлен сопряженный реципрокный если и самоинверсивный если для коэффициента масштабирования ω на единичный круг.[10]

Если п(z) это минимальный многочлен из z0 с |z0| = 1, z0 ≠ 1, и п(z) имеет настоящий коэффициенты, то п(z) самовзаимный. Это следует потому, что

Так z0 является корнем многочлена имеющий степень п. Но минимальный многочлен единственен, поэтому

для некоторой постоянной c, т.е. . Сумма от я = 0 к п и обратите внимание, что 1 не является корнем п. Мы делаем вывод, что c = 1.

Следствием этого является то, что циклотомические многочлены Φп взаимны для п > 1. Это используется в сито со специальным номером разрешить числа в форме Икс11 ± 1, Икс13 ± 1, Икс15 ± 1 и Икс21 ± 1 быть факторизованным с использованием алгебраических факторов с использованием многочленов степени 5, 6, 4 и 6 соответственно - обратите внимание, что φ (Функция Эйлера) показателей равны 10, 12, 8 и 12.

Применение в теории кодирования

Обратный многочлен находит применение в теории коды с исправлением циклических ошибок. Предполагать Иксп − 1 можно разложить на произведение двух многочленов, скажем Иксп − 1 = грамм(Икс)п(Икс). Когда грамм(Икс) генерирует циклический код C, то обратный многочлен п генерирует C, то ортогональное дополнение из C.[11]Также, C является самоортогональный (то есть, CC), если и только если п разделяет грамм(Икс).[12]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б *Грэм, Рональд; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика: основа информатики (Второе изд.). Чтение, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 340. ISBN 978-0201558029.
  2. ^ а б c Айгнер, Мартин (2007). Курс по перечислению. Берлин Нью-Йорк: Спрингер. п. 94. ISBN 978-3540390329.
  3. ^ Роман 1995, стр.37
  4. ^ а б Плесс 1990, стр. 57
  5. ^ а б Роман 1995, стр. 37
  6. ^ Плесс 1990, стр. 57 только для палиндромного случая
  7. ^ Штейн, Джонатан Ю. (2000), Цифровая обработка сигналов: перспективы компьютерных наук, Wiley Interscience, стр. 384, г. ISBN 9780471295464
  8. ^ Кац, Николас М. (2012), Свертка и равнораспределение: теоремы Сато-Тейта для конечнополевых преобразований Меллина, Princeton University Press, стр. 146, ISBN 9780691153315
  9. ^ Марковский, Иван; Рао, Шодхан (2008), «Палиндромные многочлены, системы с обратным временем и сохраняющиеся величины» (PDF), Управление и автоматизация: 125–130, Дои:10.1109 / MED.2008.4602018, ISBN 978-1-4244-2504-4
  10. ^ Синклер, Кристофер Д.; Ваалер, Джеффри Д. (2008). «Самообратимые многочлены со всеми нулями на единичной окружности». В Макки, Джеймс; Смит, К. Дж. (Ред.). Теория чисел и многочлены. Материалы семинара, Бристоль, Великобритания, 3–7 апреля 2006 г.. Серия лекций Лондонского математического общества. 352. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 312–321. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl 1334.11017.
  11. ^ Плесс 1990, стр. 75, теорема 48
  12. ^ Плесс 1990, стр. 77, теорема 51

Рекомендации

внешняя ссылка