WikiDer > Die drei Gefangenen
Das Problem von Die drei Gefangenen ist schon ein altes Problem, dessen Lösung wir paradox scheint oder scheint zumindest unserer Intuition zu widersprechen. Das Problem wurde erstmals 1959 in der Kolumne Mathematische Spiele von Martin Gärtner im Wissenschaftlicher Amerikaner. Es basiert vermutlich auf der Bertrands Box-Paradoxon, ein viel älteres, bekanntes Problem der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird im Folgenden in umfangreicherer Form als ursprünglich dargestellt. Es ist im Wesentlichen das gleiche Problem wie eine bestimmte Formulierung des Problem mit drei Türen (die sogenannte bedingte Variante), für die sie als Vorbild gedient haben mag.
Drei Gefangene A, B und C warten in ihrem Zellen auf der Todesstrafe. Anlässlich eines Urlaubs wird einer von ihnen Anmut bekommen: von einem ehrlichen zeichnen entscheiden, welche der drei. Wenn bekannt ist, wer begnadigt wurde, Gefängniswärter gebeten, die Neuigkeit für sich zu behalten. A hat jedoch durch Gerüchte erfahren, dass bekannt ist, wer begnadigt wurde und fragt den Gefängniswärter danach. Er sagt, er kann nichts loslassen. "Dann sagen Sie mir, wer von B und C keine Begnadigung bekommt", sagt A, "wenn B eine Begnadigung hat, rufe C und wenn C der Glückliche ist, rufe B an; wenn ich es bin, wirfst du a Münze zwischen B und C zu wählen.“ „Wenn Sie sehen, wie ich eine Münze werfe, wissen Sie, dass Sie begnadigt sind“, sagt der Gefängniswärter. „Dann werfen Sie die Münze trotzdem“, sagt A Information und nachdem er die (saubere) Münze geworfen hat, sagt er A, dass B nicht begnadigt wird. A lacht in seiner Hand und teilt C über das Gefängnistelefon (Klopfen an Heizungsrohren) die Neuigkeit mit. A argumentiert, dass jeder jetzt eine Chance von 50% auf Begnadigung hat, aber C behauptet, dass A immer noch eine Chance von 1/3 auf Begnadigung hat und seine eigene Chance jetzt 2/3 beträgt. Wer hat Recht?
C hat recht. Wir berechnen die bedingte Wahrscheinlichkeit dass A begnadigt wird angesichts der Antwort des Gefängniswärters, dass B nicht begnadigt wird.
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Wenn A begnadigt wird, wird der Gefängniswärter B in der Hälfte der Fälle und C in der anderen Hälfte als denjenigen bezeichnen, der nicht begnadigt wird.
Mit Bayes' Regel
Die Lösung kann auch mit Hilfe der Bayes' Regel. Der Einfachheit halber geben wir mit einem Großbuchstaben an, dass der betreffende Gefangene begnadigt wird und mit einem Kleinbuchstaben die Antwort des Gefängniswärters, welcher der anderen der Kopf abgeschnitten wird. Wir berechnen, wenn man bedenkt, dass die Wache bei A in der Zelle ist:
