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Das Dreitürer-Problem

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Driedeurenprobleem

Es Problem mit drei Türen, manchmal auf Englisch Monty Hall-Problem erwähnt ist ein Problem von der Wahrscheinlichkeit und Spieltheorie was vermutlich auf dem früheren basiert Martin Gärtner veröffentlichte Ausgabe"Die drei Gefangenen". Das Problem kann als ein Paradox: es gibt kein logisch Widerspruch, aber für viele Menschen widerspricht das Ergebnis ihren Intuition.

Berühmtheit erlangte es durch die amerikanisch Spielshow Lass uns einen Deal machen mit Moderator Monty Hall; aus diesem Grund spricht man auf Englisch darüber Monty Hall-Problem.

Der Wortlaut des Problems, wie im September 1990 als Leserbrief für die Kolumne veröffentlicht Frag Marilyn von Marilyn Fox Savant im Magazin Parade lautet:

Angenommen, Sie nehmen an einem Spielprogramm teil und können zwischen drei Türen wählen: Hinter einer der Türen steht ein Auto, hinter den anderen zwei Ziegen. Sie wählen eine Tür, sagen Sie Nr. 1, und der Moderator, der weiß, was sich hinter den Türen befindet, öffnet eine andere Tür, sagen Sie Nr. 3, mit einer Ziege dahinter. Dann sagt er zu dir: "Möchten Sie Tür Nr. 2 wählen?" Ist es für Sie von Vorteil, die Tür zu wechseln?
— Whitaker 1990^[1]

Vos Savant stellte klar, dass in allen Fällen, egal ob der Teilnehmer die richtige oder die falsche Tür wählt, der Moderator eine andere Tür mit einer Ziege dahinter öffnet und dem Teilnehmer dann immer anbietet, die Tür zu wechseln. Wichtig ist, dass der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet.

Diese Veröffentlichung machte das Problem weltweit bekannt. Zuvor, 1975, hatte Steve Selvin das Problem in einem Brief an das Magazin formuliert formulated Der amerikanische Statistiker des Amerikanische Statistische Vereinigung im Anschluss an die Spielshow Lass uns einen Deal machen. In einem späteren Brief nannte es Selvin Monty Hall-Problem.

Das Dreitürer-Problem

In einem Quiz wird ein Teilnehmer mit drei verschlossenen Türen konfrontiert. Hinter einer der Türen befindet sich ein Auto (oder ein anderer wertvoller Gegenstand), hinter den beiden anderen eine Ziege (oder etwas anderes von "geringem" Wert). Der Teilnehmer kann eine Tür benennen und erhält als Preis das, was sich hinter dieser Tür befindet. Hat der Teilnehmer eine Tür bezeichnet, öffnet der Moderator eine der anderen Türen, hinter denen sich eine Ziege befindet. Der Moderator gibt dem Teilnehmer dann die Möglichkeit, die geschlossene Tür zu wechseln, d. h. anstelle der ersten gewählten Tür die andere noch geschlossene Tür zu wählen. Was soll der Teilnehmer tun? Ist es besser für ihn, die Tür zu wechseln, oder ist das egal? Ist die Chance, das Auto zu gewinnen, höher, wenn der Teilnehmer die Tür wechselt?

Die Analyse zeigt, dass es für den Teilnehmer interessant ist, die Tür zu wechseln, da sich die Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf 2/3 ändert. Viele finden diese Antwort auf den ersten Blick kontraintuitiv und glauben, dass die Quoten 1/2 bis 1/2 sein sollten, weil es zwei Möglichkeiten gibt. Es ist schwer zu erkennen, dass es zwar zwei Möglichkeiten gibt, diese aber nicht die gleichen Chancen haben (wegen des Wissens des Moderators). Deshalb folgt eine Analyse, in der verschiedene Szenarien untersucht werden.

Wird die Veranstaltung für den beteiligten Teilnehmer als einmalig angesehen, ist unklar, ob noch über Chancen gesprochen werden muss. Die Annahme ist, dass das Quiz wiederholt wird. Dann kann überprüft werden, wie oft eine bestimmte Situation auftritt, die in Chancen übersetzt wird.

Es handelt sich immer um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, das heißt, die Wahrscheinlichkeit muss im Rahmen der Möglichkeiten berechnet werden, nachdem der Teilnehmer eine Tür angezeigt hat und der Moderator eine Tür geöffnet hat, hinter der eine Ziege zu stehen scheint.

Es wird davon ausgegangen, dass der Teilnehmer Tür 1 gewählt hat und Tür 3 offen ist und eine Ziege zeigt. Die Möglichkeiten, die sich aufgrund der Ausgangssituation ergeben können, werden untersucht. Es wird auch davon ausgegangen, dass das Auto zufällig hinter einer der Türen platziert wurde und der Teilnehmer den Standort des Autos nicht kennt. Vergleichbare Ausgangssituationen, in denen der Teilnehmer eine andere Tür gewählt hat und der Moderator eine andere Tür geöffnet hat, führen zu einer vergleichbaren Analyse mit vertauschten Türen.

Die endgültige Lösung hängt stark von der Strategie des Präsentators ab. Es wird davon ausgegangen, dass der Moderator immer eine der Türen mit einer Ziege dahinter öffnet. Also: Befindet sich hinter Tür 2 und 3 eine Ziege, wählt der Moderator zufällig eine dieser beiden Türen aus.

Die Art und Weise, wie das Problem formuliert wird, wird von vielen als das Standard-„Dreitür-Problem“ angesehen. Die Lösung hierfür wird unter der Annahme formuliert, dass der Spieler zunächst auf Tür 1 zeigt. Wenn dem Spieler die Option zum Wechseln angeboten wird, ist eine neue Situation entstanden, in der Tür 3 offen ist. Um eine gute Entscheidung zu treffen, berechnet der Spieler die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto in dieser neuen Situation hinter Tür 2 befindet. Diese Gelegenheit ist ein bedingte Wahrscheinlichkeit (Morgan et al., 1991; Gillman 1992; Grinstead und Snell 2006:137). Wenn sich das Auto hinter Tür 2 befindet, öffnet der Moderator immer Tür 3; diese Situation tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 ein. Wenn sich das Auto hinter Tür 1 befindet, öffnet der Moderator Tür 3 nur in der Hälfte der Gefallenen; diese Situation tritt mit Wahrscheinlichkeit 1/6 ein. In der gegebenen Situation steht das Auto also doppelt so oft hinter Tür 2 wie hinter Tür 1. Durch das Wechseln der Auswahl gewinnt der Spieler in 2/3 der Fälle das Auto.

Der Ablauf ist unten schematisch dargestellt.

Kandidat wählt zunächst Tür 1
Auto hinter Tür 1		Auto hinter Tür 2	Auto hinter Tür 3

Moderator öffnet eine der Türen mit einer Ziege		Moderator muss Tür öffnen 3	Moderator muss Tür 2 öffnen

Chance 1/6	Chance 1/6	Chance 1/3	Chance 1/3
dieser Fall ist nicht aufgetreten	dieser Fall ist eine Möglichkeit	dieser Fall ist eine Möglichkeit	dieser Fall ist nicht aufgetreten
	Schalter liefert eine Ziege	Austausch liefert das Auto
	Austausch liefert das Auto in 2 von 3 Fällen

Daraus kann geschlossen werden, dass jemand in der gleichen Situation wie der Teilnehmer, d. h. in der ursprünglich Tür 1 gewählt wurde und der Moderator Tür 3 (hinter der eine Ziege saß) geöffnet hat, eine (bedingte) Gewinnchance von 2/3 hat.

Eine äquivalente Lösung vergleicht die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Situationen, nämlich: Tür 1 ausgewählt, Tür 3 geöffnet und das Auto hinter Tür 1 mit Tür 1 ausgewählt, Tür 3 geöffnet und das Auto hinter Tür 2. Unter den üblichen Annahmen ist die Wahrscheinlichkeit von die zweite Möglichkeit ist doppelt so groß wie die erste, da der Moderator im ersten Fall noch die Wahl hatte, Tür 2 oder Tür 3 zu öffnen, und im zweiten Fall nur Tür 3 öffnen konnte.

Die oben skizzierte Lösung wird formal wie folgt beschrieben, unter der Annahme, dass der Kandidat Tür 1 gewählt hat. Eine analoge Analyse gilt für andere Türoptionen. Folgende Ereignisse können auftreten:

{Displaystil A_{1},A_{2},A_{3}}

('Auto') bedeutet: das Auto befindet sich hinter Tür 1, 2 bzw. 3 .

{Displaystil Q_{1},Q_{2},Q_{3}}

('Quizmaster') bedeutet: der Moderator öffnet Tür 1, 2 bzw. 3,

und mit Chancen:

{displaystyle P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})={ frac {1}{3}}}

Die offensichtliche Strategie, bei der der Kandidat Tür 1 gewählt hat, dann öffnet der Moderator eine Tür mit Ziege und wählt zufällig aus, wenn die Wahl gegeben wurde, wird bestimmt durch:

{displaystyle P(Q_{2}|A_{1})={ frac {1}{2}},P(Q_{3}|A_{1})={ frac {1}{2}}}

{Anzeigestil P(Q_{2}|A_{2})=0,P(Q_{3}|A_{2})=1}

{Anzeigestil P(Q_{2}|A_{3})=1,P(Q_{3}|A_{3})=0}

Wenn der Kandidat seine Wahl ändert, nachdem Tür 3 geöffnet wurde, gewinnt er das Auto, wenn es sich hinter Tür 2 befindet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewinnen, wenn Tür 3 geöffnet ist, ist gemäß Bayes' Formel:

{displaystyle P(A_{2}|Q_{3})={frac {P(Q_{3}|A_{2})P(A_{2})}{P(Q_{3}|A_{1} )P(A_{1}) P(Q_{3}|A_{2})P(A_{2}) P(Q_{3}|A_{3})P(A_{3})}}=}

{displaystyle quad quad ={frac {1imes {frac {1}{3}}}{{frac {1}{2}}imes {frac {1}{3}} 1imes {frac {1}{3} } 0 imes { frac {1}{3}}}}={ frac {2}{3}}}

Bei der Wahl der Tür 1 beträgt die Wahrscheinlichkeit des Autos zunächst 1/3. Aufgrund der Strategie des Präsentators beeinflusst das Öffnen von Tür 3 diese Chance nicht, da nachgewiesen werden kann, dass in der neuen Situation die (bedingte) Chance des Autos ebenfalls 1/3 beträgt. Folglich beträgt in der neuen Situation die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Autos hinter Tür 2 2/3.

Es muss nachgewiesen werden, dass durch das Öffnen von Tür 3 die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich der Wagen hinter Tür 1 befindet, ebenfalls 1/3 beträgt. Dies kann auf elegante Weise kurzzeitig geschehen, indem die vorhandene Symmetrie ausgenutzt wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tür 1 befindet, beträgt 1/3. Dies ist der (gewichtete) Durchschnitt der bedingten Wahrscheinlichkeiten, dass sich das Auto hinter Tür 1 befindet, für jede der möglichen Türen, die der Moderator öffnet. Das kann Tür 2 oder Tür 3 sein. Da davon ausgegangen wird, dass der Gleichstellungsmoderator eine Tür zum Öffnen auswählt, wenn er die Wahl hat, ändert eine Neunummerierung der Türen nichts am Problem. Daraus folgt, dass beide bedingten Wahrscheinlichkeiten einander gleich sind und damit gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit 1/3.

Eine einfache Argumentation ist wie folgt. Bleibt der Quiz-Kandidat bei seiner Wahl, bekommt er das Auto, wenn er zu Beginn die Tür mit dem Auto gewählt hat, und die Wahrscheinlichkeit liegt bei 1/3. Wenn er die Wahl ändert, bekommt er das Auto, wenn er am Anfang eine Tür mit einer Ziege gewählt hat, und die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 2/3. Diese Chancen ergeben sich aus dem zufälligen Verstecken von 2 Ziegen und 1 Auto hinter den drei Türen.

Laut einigen Quellen (einschließlich Morgan et al., 1991 und Gillmann, Leonard (1992)) ist diese Argumentation nicht richtig. Der Kandidat erhält die Chance zu wechseln, nachdem er eine Tür gewählt hat (in der gegebenen Situation ist dies Tür 1) und der Quizmaster eine Tür mit einer Ziege geöffnet hat (in der gegebenen Situation Tür 3). Zwar liegt die Wahrscheinlichkeit anfangs bei 1/3 auf dem Auto hinter Tür 1, aber nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat und der Quizmaster eine Tür geöffnet hat, gelten die ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten nicht mehr. Dies ist sofort aus der neuen Wahrscheinlichkeit des Autos hinter Tür 3 ersichtlich. Diese neue Wahrscheinlichkeit beträgt 0, während die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit 1/3 betrug. Es gilt nun die neuen Wahrscheinlichkeiten für Tür 1 und 2 zu bestimmen. Zusammen sind sie 1, also reicht es, eine der beiden zu bestimmen. Dann stellt sich heraus, dass die neue Wahrscheinlichkeit für Tür 2 gleich 2/3 ist, oder alternativ, dass die neue Wahrscheinlichkeit für Tür 1 gleich 1/3 ist, ansonsten der gleiche Wert wie die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit. Es sollte jedoch nicht davon ausgegangen werden, dass die neue Wahrscheinlichkeit für Tür 1 den gleichen Wert wie die alte Wahrscheinlichkeit hat. Darin liegt der von den Quellen signalisierte Fehler.

Viele können die Lösung kaum glauben und glauben, dass nach dem Öffnen der Tür mit der Ziege die verbleibenden Türen die gleiche Chance haben. Es ist jedoch zu beachten, dass die Türen nicht austauschbar sind. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass Tür 1 zunächst vom Teilnehmer bezeichnet wurde und Tür 2 vom Moderator geschlossen gelassen wurde.

Anders sieht es bei jemandem aus, der nach dem Öffnen von Tür 3 den Raum betritt und sich der Geschichte nicht bewusst ist (bei Vos Savant ein grüner Mann aus einem plötzlich auftauchenden Raumschiff). Für diese Person spielt es keine Rolle, ob sie ihre Wahl ändert oder nicht. Man sollte natürlich bedenken, dass eine solche Person beim Wiederholen, denn darum geht es ja, auch auf Situationen stößt, in denen der Teilnehmer Tür 2 bezeichnet hat.

Einige Autoren betrachten nicht die oben diskutierte Version, in der dem Teilnehmer die Wahl zum Wechsel angeboten wird, nachdem er eine Tür gewählt hat und der Moderator eine Tür mit Ziege geöffnet hat, sondern die Version, in der wir als Publikum vor dem Teilnehmer seine erste Wahl getroffen hat, wird gefragt, ob es für ihn besser wäre, die Tür zu wechseln. In dieser Situation sind die Nummern der anfangs ausgewählten Tür und der geöffneten Tür nicht bekannt, und es genügt zu argumentieren, dass unter vernünftigen Annahmen die Wahrscheinlichkeit des Autos hinter der ausgewählten Tür 1/3 beträgt, und somit die Autos wechseln mit Wahrscheinlichkeit 2/3 ergibt.

Andere Autoren halten den Zeitpunkt der Fragestellung für die Bestimmung der optimalen Strategie für irrelevant. Einerseits ist klar, dass die „Immer wechseln“-Strategie eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 garantiert (vorausgesetzt, das Auto kann mit Wahrscheinlichkeit 1/3 zunächst hinter jeder Tür stehen). Diese Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit ist natürlich der Durchschnitt der Gewinnchancen, die mit jeder möglichen Situation des Spielers zum Zeitpunkt seiner Wahl verbunden sind. Nehmen wir nun an, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit in einer dieser Situationen weniger als 1/2 beträgt. Dann könnte die Gewinnchance in dieser Situation und damit auch die durchschnittliche Gesamtgewinnchance verbessert werden, indem in dieser speziellen Situation nicht gewechselt wird. Aber es ist leicht zu erkennen, dass es immer eine Tür gibt, egal welche Strategie man verfolgt, so dass man sie nicht bekommen würde, wenn das Auto hinter dieser Tür stünde. Und das bedeutet, dass eine durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 nicht verbessert werden kann. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der anderen Tür befindet, unabhängig von der Situation mindestens 1/2 beträgt. (Wir wissen bereits, dass der Durchschnitt über alle möglichen Situationen genau 2/3 beträgt).

Beispiel: Betrachten Sie die Strategie: "Wählen Sie zuerst Tür 1. Wenn Tür 2 öffnet, schalten Sie nicht. Wenn Tür 3 öffnet, schalten Sie." Mit dieser Strategie bekommst du das Auto nicht, wenn es sich hinter Tür 3 befindet. Es besteht also eine Chance von mindestens 1/3, das Auto nicht zu bekommen.

Zusammenfassend haben wir die folgenden zwei Tatsachen: (1) "Immer wechseln" garantiert eine durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit von 2/3; (2) Keine Strategie kann eine bessere durchschnittliche Erfolgsaussicht bieten. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der anderen geschlossenen Tür befindet, bei gegebener Nummer der zuerst gewählten Tür und der Nummer der vom Spielleiter geöffneten Tür mindestens gleich 1/2 ist, für jede mögliche Situation. Ein Wechsel ist also nie ungünstig. Die Strategie "Immer wechseln" kann einfach nicht verbessert werden.

Wir sehen das Dreitürer-Problem hier als ein Entscheidungsproblem. Was ist die klügste Wahl für den Spieler? Was braucht er machen. Diese Frage kann ohne Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten vollständig beantwortet werden. Einige Autoren stellen das Drei-Türen-Problem jedoch rein als Wahrscheinlichkeitsproblem dar und argumentieren, dass die einzig relevanten Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeiten in der Situation sind, in der die Wahl getroffen werden muss.

Die ursprüngliche Problemstellung von Vos Savant lässt sich daher auf verschiedene Weise in ein vollständig spezifiziertes mathematisches Problem mit eindeutiger Lösung übersetzen. Die richtige Lösung hängt vom Hintergrund des Autors und vom Kontext ab, in dem das Problem dargestellt wird, zum Beispiel: in einem Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie oder in einem Lehrbuch der Entscheidungstheorie?

Eine falsche Erklärung ist, dass die erste Wahl des Spielers für Tür 1 eine 1/3-Chance auf das Auto und den Schalter ist, nachdem der Moderator Tür 3 geöffnet hat, wodurch das Auto mit einer 2/3-Chance erhalten wird. Äquivalent zu dieser Fehlinterpretation ist das Argument, dass der Wagen mit Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter der ursprünglich gewählten Tür 1 ist und die geöffnete Tür 3 die Wahrscheinlichkeit 0 auf dem Wagen hat, so dass die verbleibende Tür 2 eine 2/3-Wahrscheinlichkeit auf dem Wagen hat haben müssen. Oder eine andere Argumentation: dass Türen 2 und 3 zusammen eine 2/3-Chance auf das Auto haben, und nach dem Öffnen von Tür 3 diese 2/3-Chance an Tür 2 "vergeht". Die letzten beiden Argumente sind am einfachsten zu widerlegen. , da Tür 2 und auch die geöffnete Tür 3 haben jeweils eine (Anfangs-)Chance 1/3 auf das Auto. Es ist klar, dass nach der Wahl und dem Öffnen durch den Moderator die Tür 3 eine neue (bedingte) Chance 0 auf den Wagen hat. Allerdings müssen zunächst die neuen Wahrscheinlichkeiten für die anderen Türen berechnet werden, sowohl für Tür 2 als auch für Tür 1. Der Fehler in der ersten Argumentation liegt in der unüberlegten Annahme, dass die gewählte Tür 1 mit einer anfänglichen Wahrscheinlichkeit von 1 / 3 auf das Auto hat auch nach dem Öffnen von Tür 3 eine (bedingte) Chance von 1/3 auf das Auto wieder. Das ist nicht selbstverständlich und muss argumentiert werden.

Es gibt Autoren, die der Annahme widersprechen, dass das Auto hinter jeder Tür 1/3 der gleichen Chance hat und dass der Moderator eine Tür rein zufällig öffnet, wenn er die Wahl hat. Obwohl dies in der Problemstellung nicht ausdrücklich erwähnt wird, ist es bei elementaren Wahrscheinlichkeitsproblemen durchaus üblich zu sagen, dass die Wahl von drei Dingen die stillschweigende Annahme impliziert, dass diese Wahl gleichberechtigt ist. Gleiches gilt für die Moderatorin: Da über eine mögliche Präferenz nichts gesagt wird, wird stillschweigend von einer Auswahl „zufällig“ ausgegangen. Deshalb machen manche Wahrscheinlichkeitsrechner diese Annahmen ohne weitere Motivation. Diese Zutaten sind jedoch in dem von Marilyn vos Savant erwähnten Problem nicht explizit vorhanden, aber das Problem wurde nicht formal gestellt. Das Problem stellte ein nicht berufstätiger Mathematiker in einer populären Wochenzeitung. Darüber hinaus gehört zu einem solchen Rätsel eben auch, begründete Annahmen zu treffen, mit denen eine endgültige Lösung gefunden werden kann.

Vos Savant wehrte sich gegen die Kritik einiger professioneller Wahrscheinlichkeitsrechner damit, dass sie mit den Türnummern "1" und "3" erwähnte, dass sie nicht einmal zwei bestimmte Türen meinte, sondern der Einfachheit halber die vom Spieler gewählte Tür jeweils die Tür öffnete . von der Moderatorin im Nachhinein so genannt (ihr ursprünglicher englischer Satz ist ebenfalls völlig zweideutig und unabhängig von seiner eigentlichen Absicht ist jede Erklärung gut vertretbar). Vos Savant setzt (aufgrund der Symmetrien des Problems) voraus, dass die konkreten Zahlen irrelevant sind. Außerdem war ihre Frage keine Frage des Zufalls, sondern eine Strategiefrage: Würden Sie wechseln? Andere Autoren wenden ein, dass der Spieler weiß, welche der drei Türen er gewählt hat und welche der Moderator geöffnet hat.

Wie dem auch sei, jeder Autor stimmt zu, dass Sie wechseln sollten; umstritten ist, warum. Dafür muss nach Ansicht einiger Autoren eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet werden. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit hängt jedoch von der Strategie des Moderators ab, und wenn sie dem Spieler nicht bekannt ist, kann die bedingte Wahrscheinlichkeit nicht berechnet werden, obwohl sie zwischen 1/2 und 1 geschätzt werden kann. Wechseln ist also auf jeden Fall keine schlechte Sache. Wie bereits erwähnt, ist "immer ändern" optimal, was ohne Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten gezeigt werden kann

Welche Annahmen man über die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten im Problem macht, hat auch viel mit der Interpretation von Wahrscheinlichkeiten zu tun, die man bevorzugt. Für einige Autoren sind Wahrscheinlichkeiten subjektiv: Sie quantifizieren die Informationen, die wir über eine bestimmte Situation haben. Für einen solchen Subjektivisten (auch Bayesianer genannt, siehe Bayessche Statistik) zählt das für ihn die Chancen, dass der Spielleiter Tür 2 oder Tür 3 öffnet, in der Situation, dass der Spieler Tür 1 gewählt hatte und das Auto dahinter war, sind genau gleich groß weil er hat keine Informationen darüber. Für den Objektivisten (auch Frequentisten genannt) hingegen sind diese Wahrscheinlichkeiten Eigenschaften der Methodik des Spielleiters. Das heisst:

dass die Wahrscheinlichkeiten unbekannt und zufällig sind

oder

dass der Problemstellung zusätzliche Informationen hinzugefügt werden müssen, damit wir eindeutige Wahrscheinlichkeiten berechnen können.

Ein Großteil der Meinungsverschiedenheiten unter den Autoren über die Problemstellung rührt von der Präferenz der Autoren für eine Bayessche oder frequentistische Interpretation von Wahrscheinlichkeiten her. Für den Subjektivisten ist die Symmetrie des Problems unter der Umnummerierung der Türen so selbstverständlich, dass vorab bestimmte Türnummern weggelassen werden. Alles, was zählt, ist die Rolle jeder Tür und die Beziehung zwischen den sichtbaren und versteckten Rollen. Sichtbar sind: vom Spieler gewählte Tür; Tür vom Spielleiter geöffnet; Tür, die bleibt. Versteckt sein: Befindet sich hinter der ersten gewählten Tür ein Auto oder hinter der Tür, die geschlossen bleibt?

Aus dieser Sicht werden die spezifischen Türnummern ignoriert, unabhängig davon, dass sie dem Spieler bekannt sind. Die einfache Lösung ist richtig, ohne "Türnummern" zu erwähnen: das Auto befindet sich mit Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter der ersten gewählten Tür, befindet sich nicht hinter der vom Spielleiter geöffneten Tür und befindet sich daher mit Wahrscheinlichkeit 2/3 hinter der verbleibenden geschlossenen Tür.

Die Problemstellung, abgeleitet aus dem, was während des Quiz passiert ist, lässt Raum für andere Interpretationen. Alternative Optionen wurden in der wissenschaftlichen Literatur untersucht (siehe u. a. Granberg, 1996; Granberg & Brown, 1995; Morgan, 1991; Gill, 2010). Einige dieser alternativen Interpretationen sind unten aufgeführt.

In den ersten Fällen ist die Situation wie beim Standardproblem, also wird Tür 1 vom Teilnehmer gewählt und der Moderator hat Tür 3 geöffnet und es steckt eine Ziege dahinter, aber wir betrachten unterschiedliche Strategien, der Moderator verfolgt eine andere Strategie.

Fall 1

Der Kandidat wählte zunächst Tür 1 und der Moderator öffnet zufällig eine der anderen Türen, möglicherweise zeigt er das Auto. Diese Spielvariante hat zwei Untervarianten: Der Teilnehmer kann nur aus den beiden noch nicht geöffneten Türen wählen, also wenn das Auto hinter der offenen Tür steht, bekommt er es nicht oder er bekommt es. Jetzt, wo der Moderator mit einer Ziege eine Tür geöffnet hat, spielt das keine Rolle mehr.

Es gibt sechs gleich wahrscheinliche Möglichkeiten:

Eine der beiden Möglichkeiten mit einem * ist eingetreten: Tür 3 ist tatsächlich offen und zeigt eine Ziege. Der Gewinn beim Umschalten ist hier also mit der Möglichkeit x eins von zwei gleich wahrscheinlich. Die bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechsel beträgt also 1/2.

Die Gesamtgewinnchance in der ersten Untervariante des Spiels beträgt 1/3 (die Chance war 2/3, dass eine Ziege hinter der offenen Tür steht, dann war die Gewinnchance 1/2) und in der zweiten 2 /3 (die Chance, dass das Auto hinter der offenen Tür steht, war 1/3, dies ist die zusätzliche Gewinnchance in dieser Untervariante des Spiels).

Fall 2

Der Moderator öffnet Tür 3, wenn sich dahinter eine Ziege befindet, ansonsten Tür 2. Es gibt drei gleich wahrscheinliche Möglichkeiten:

Auto hinter der Tür	1	2	3
Tür zum öffnen	3	3	2
Moderator öffnet Tür 3	*	*
Gewinn beim Tausch		X

Einer der beiden mit einem * ist aufgetreten. Der Gewinn beim Umschalten ist hier also mit der Möglichkeit x eins von zwei gleich wahrscheinlich. Die bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechsel beträgt also 1/2.

Fall 3

Der Moderator öffnet wenn möglich Tür 2, dh wenn sich eine Ziege dahinter befindet, Tür 2, sonst Tür 3. Es gibt 3 gleich wahrscheinliche Möglichkeiten:

Auto hinter der Tür	1	2	3
Tür zum öffnen	2	3	2
Moderator öffnet Tür 3		*
Gewinn beim Tausch		X

* ist vorgefallen. Gewinn beim Umschalten liegt also bei der Möglichkeit x und liefert das Auto mit Sicherheit aus.

In der Ausgangssituation ist es wichtig, dass man weiß, welche Tür offen steht. Einige "Erklärungen" des Problems berücksichtigen dies nicht (bewusst oder nicht). Eine solche Situation kann optional wie folgt beschrieben werden. Nachdem der Teilnehmer auf eine Tür (z. B. Tür 1) zeigt, erklärt der Moderator, dass er beabsichtigt, eine der beiden anderen Türen zu öffnen. Bevor er das tatsächlich tut, bittet er den Teilnehmer, jetzt zu entscheiden, ob er seine Wahl später ändern möchte, wenn die Tür offen ist und eine Ziege dahinter steht.

Fall 4

Der Moderator öffnet immer eine der Türen mit einer Ziege dahinter. Da hinter einer der anderen Türen immer eine Ziege steht, schränkt diese Strategie die Möglichkeiten nicht ein. (In der Abbildung sollte eigentlich eine der Türen offen sein, wir wissen aber nicht welche.) Schließlich gibt es folgende Möglichkeiten:

Auto hinter der Tür	1	1	2	3
Tür zum öffnen	2	3	3	2
Chancen	*	*	*	*
Gewinn beim Tausch			X	X

Alle diese vier Möglichkeiten können in der Ausgangssituation auftreten. Die geforderte bedingte Wahrscheinlichkeit ist also gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit. Da der Teilnehmer 1/3 Chance hat, das Auto zu gewinnen, wenn er bei seiner Wahl bleibt, erhöht er seine Chance auf 2/3, indem er wechselt und die andere, ungeöffnete Tür wählt. Beachten Sie, dass die beiden Möglichkeiten, dass sich das Auto hinter Tür 1 befindet, zusammen eine Chance von 1/3 haben.

Fall 5

Der Moderator öffnet zufällig eine der anderen Türen und zeigt möglicherweise das Auto. Es gibt sechs gleich wahrscheinliche Möglichkeiten:

Auto hinter der Tür	1	1	2	2	3	3
Tür zu öffnen möglich	2	3	2	3	2	3
Chancen	*	*		*	*
Gewinn beim Tausch				X	X

von denen einer der vier mit einem *, mit einer hinter der offenen Tür stehenden Ziege, vorgekommen ist. Die bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechsel ist also die Gewinnwahrscheinlichkeit des Autos innerhalb der Möglichkeiten mit einem *. Das passiert bei den Möglichkeiten mit einem x, also bei 2 der 4 gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten, also mit Wahrscheinlichkeit 1/2.

Fall 6

Der Moderator öffnet nur dann eine Tür (mit einer Ziege), wenn das Auto hinter Tür 1 steht (nach Wahl des Teilnehmers). Da er im betrachteten Fall eine Tür mit einer Ziege geöffnet hat, weiß der Teilnehmer, dass sich hinter der anderen Tür auch eine Ziege befindet. Er bleibt bei seiner Wahl und gewinnt das Auto.

Fall 7

Der Moderator öffnet Tür 3, wenn sich dahinter eine Ziege befindet, ansonsten Tür 2. Es gibt 3 gleich wahrscheinliche Möglichkeiten.

Auto hinter der Tür	1	2	3
Tür zum öffnen	3	3	2
Moderator öffnet Tür 3	*	*
Gewinn beim Tausch		X

einer der beiden mit einem * ist aufgetreten. Der Gewinn beim Tauschen ist hier also auf Möglichkeit x, eine von zwei gleich wahrscheinlich, also ist die bedingte Wahrscheinlichkeit 1/2.

Fall 8

Der Moderator öffnet Tür 2, wenn sich dahinter eine Ziege befindet, ansonsten Tür 3. Dieser Fall entspricht Fall 7.

Ein einfacher Weg, um zu sehen, dass das Wechseln von Türen die Gewinnchancen erhöht, besteht darin, das Problem auf mehr Türen auszudehnen. Als Beispiel kann man 10 statt 3 Türen nehmen. Außerdem gibt es noch ein Auto, also neun Ziegen. Nachdem der Kandidat eine zufällige Tür genommen hat, öffnet der Moderator acht weitere Türen, wobei nur Ziegen erscheinen. Dann bleiben zwei geschlossene Türen übrig: die Tür, die der Teilnehmer gewählt hat, sagen wir der Bequemlichkeit halber, und eine andere Tür, zum Beispiel Tür 2. Die Türen 3 bis 10 sind offen und zeigen eine Ziege.

Da es zehn Türen gibt, hat der Teilnehmer zehn Möglichkeiten, eine Tür auszuwählen. Außerdem ist er nur in 1 dieser Möglichkeiten ein Gewinner, in den anderen 9 Fällen verliert er.

Bei der ersten Gelegenheit - der Teilnehmer wählt die richtige Tür - verliert der Teilnehmer, wenn er die Tür wechselt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/10 vorausgesehen. Wenn das Öffnen der anderen Türen durch den Moderator die Wahrscheinlichkeit auch nach dem Öffnen der 8 Türen nicht geändert hat, beträgt diese Wahrscheinlichkeit immer noch 1/10.

Bei den anderen neun Optionen, bei denen der Kandidat die falsche Tür wählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen außer derjenigen, hinter der sich das Auto befindet. In diesen neun Fällen ist es daher für den Teilnehmer angemessen, die Türen zu wechseln, da diese Wahl immer zum Auto führt. In neun von zehn Fällen täte der Teilnehmer also gut daran, die Tür zu wechseln. Aber die Frage ist, ob er in der gegebenen Situation, in der er Tür 1 als erste Wahl gewählt hat und die Türen 3 bis 8 offen sind, gut daran tun würde, die Türen zu wechseln.

Wenn nachgewiesen werden kann, dass in dieser Situation die Wahrscheinlichkeit des Autos hinter Tür 1 ebenfalls 1/10 beträgt, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit des Autos von 1/10 auf 9/10, wenn der Teilnehmer die Tür wechselt. Dies natürlich nur, wenn der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet. Dies ist aber in der Problemstellung implizit enthalten, da die Möglichkeit, dass der Moderator eine Tür öffnet, hinter der sich das Auto befindet, nicht besteht.

Es bleibt also nur noch zu beweisen, dass in der gegebenen Situation die Wahrscheinlichkeit des Autos hinter Tür 1 ebenfalls 1/10 beträgt.

Die Reduzierung dieses Problems auf drei Türen bedeutet, dass der Türwechsel die Gewinnchance von 1/3 auf 2/3 erhöht.

Die Behauptung, Veränderung sei die richtige Strategie, wenn man eine größere Anzahl von Türen betrachtet, ist zwar leicht zu erkennen, kann aber auch formal nachgewiesen werden.

Dies kann durch eine Verallgemeinerung zu erfolgen ${displaystyle n}$ Türen (mit ${displaystyle n}$ eine natürliche Zahl größer oder gleich 3) und unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit Für Ereignisse gelten folgende Definitionen:

${Displaystil A_{i}}$ („Auto“) bedeutet: das Auto steht hinter der Tür ${Anzeigestil i}$ (mit ${displaystyle 1leq ileq n}$ )
${displaystyle X_{k}}$ : der Kandidat wählt die Tür ${displaystyle k}$ (mit ${displaystyle 1leq kleq n}$ )
${displaystyle C_{ij}}$ ('geschlossen') bedeutet: der Moderator öffnet alle Türen außer der Tür ${Anzeigestil i}$ und Tür ${Anzeigestil j}$ (mit ${displaystyle 1leq i,jleq n}$ )

Es wird angenommen dass ${Displaystil A_{i}}$ und ${displaystyle X_{k}}$ für jedes ${Anzeigestil i}$ und ${Anzeigestil j}$ sind voneinander unabhängig.

Durch die zufällige Platzierung des Autos und die oben erwähnte Unabhängigkeit ist jeder ${Anzeigestil i}$ :

{displaystyle P(A_{i}|X_{k})=P(A_{i})={ frac {1}{n}}}

Basierend auf den Annahmen:

der Kandidat wählt die Tür ${displaystyle k}$ mit ${displaystyle 1leq kleq n}$ ,
der Moderator öffnet alle anderen Türen außer der vom Kandidaten gewählten Tür und einer anderen Tür, wobei nur Ziegen sichtbar sind,

man kann die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:

${displaystyle P(C_{jk}|A_{k},X_{k})={ frac {1}{(n-1)}}}$ vor dem ${displaystyle jeq k}$ . Mit anderen Worten, wenn der Kandidat die richtige Tür gewählt hat, kann der Moderator immer noch ${Anzeigestil n-1}$ offene Türen, von denen er eine schließt. Es spielt keine Rolle, welche Tür er geschlossen lässt, denn hinter allem steht eine Ziege. In dat geval is de kans dat hij een bepaalde deur dicht laat dus ${displaystyle { frac {1}{n-1}}}$ .
${displaystyle P(C_{ik}|A_{i},X_{k})=1}$ voor ${displaystyle ieq k}$ . Immers, als de kandidaat deur ${displaystyle k}$ kiest waar een geit achter staat, zal de presentator die deur en de deur met de auto dichtlaten.
${displaystyle P(C_{jk}|A_{i},X_{k})=0}$ voor de gevallen met zowel ${displaystyle ieq k}$ als ${displaystyle ieq j}$ . Immers, als de kandidaat deur ${displaystyle k}$ kiest en de auto staat achter deur ${displaystyle ieq k}$ , dan opent de presentator alle andere deuren met uitzondering van de deur met de auto.

De kans om de auto te winnen bij wisselen van deur kan, gebruik makend van de formule van Bayes, als volgt worden berekend:

Voor iedere ${displaystyle peq k}$ geldt:

{displaystyle P(A_{p}|C_{pk},X_{k})={frac {P(C_{pk}|A_{p},X_{k})P(A_{p}|X_{k})}{P(C_{pk}|A_{p},X_{k})P(A_{p}|X_{k}) P(C_{pk}|A_{k},X_{k})P(A_{k}|X_{k})}}={frac {1 imes { frac {1}{n}}}{1 imes { frac {1}{n}} { frac {1}{n-1}} imes { frac {1}{n}}}}={ frac {n-1}{n}}}

.

Bij ${displaystyle n=3}$ geeft deze formule inderdaad ${displaystyle { frac {2}{3}}}$ , en bij ${displaystyle n=9}$ geeft dit ${displaystyle { frac {8}{9}}}$ . Ook is hiermee duidelijk dat wisselen voor een willekeurige ${displaystyle n}$ , groter of gelijk aan 3, een kans geeft van meer dan 50%, en dus dat het altijd de aangewezen strategie is.

Er zijn verschillende opvattingen over wat eigenlijk met kans bedoeld is. Als de kandidaat aanvankelijk een van de drie deuren mag kiezen, bedoelen velen (maar niet iedereen: zie Bayesiaanse kans) met te zeggen dat de kans 1/3 is dat de auto achter de gekozen deur staat het volgende: in de verschillende uitzendingen van de quiz zal een van de drie keer achter deze deur de auto staan. Welke keren dat zijn weet men vooraf niet.

Als de kandidaat een deur heeft aangewezen en de presentator opent een deur met een geit, hoe liggen de (voorwaardelijke) kansen dan? Dat de (voorwaardelijke) kans 1/3 is dat de auto achter de aangewezen deur staat, betekent het volgende: van alle keren dat een kandidaat een bepaalde deur heeft aangewezen en de presentator - met de juiste strategie - een deur met een geit heeft geopend, staat een op de drie keer de auto inderdaad achter de oorspronkelijk door de kandidaat aangewezen deur. In de volgende tabel staan voor het geval dat de kandidaat deur 1 heeft aangewezen, alle mogelijkheden (die vallen binnen de door de presentator gevolgde strategie), met de kans van optreden.

Bekijk nu de twee met * aangeduide situaties: de kandidaat heeft deur 1 aangewezen en de presentator heeft deur 3 waar een geit achter staat geopend.

auto achter deur	1	1	2	3
kans	1/3		1/3	1/3
presentator opent	2	3	3	2
kans per deur	1/2	1/2	1	1
kans op auto	1/6	1/6	1/3	1/3
deur 3 is geopend		*	*
voorw. kans		1/3	2/3

Van de twee gevallen met * is de (voorwaardelijke) kans dat de auto achter deur 2 staat twee keer zo groot (1/3) als de kans dat hij achter deur 1 staat (1/6).

In de bovenstaande uitleg wordt ervan uitgegaan dat de presentator altijd een alternatieve deur aanbiedt, welke deur de kandidaat ook gekozen heeft. Als de presentator alleen de mogelijkheid aanbiedt een andere deur te kiezen als achter de eerstgekozen deur de auto staat, dan komt het erop neer dat de presentator aan het proberen is de kandidaat van een correcte keuze af te brengen, en kan de kandidaat dus beter niet zijn keuze wijzigen. Als het spel vaker gespeeld wordt, steeds op deze manier, dan zal dit ook blijken. Bij een eenmalig spel kan de kandidaat door naar de presentator te kijken proberen vast te stellen of die hem voor de gek houdt of helpt.

Het probleem was zo intrigerend dat Marilyn vos Savant deze Monty Hall-deal opnieuw in haar column van 9 september 1990 aan de orde stelde, met de opmerking dat de winstkans tweemaal zo groot werd als men van deur zou verwisselen. Dit ontlokte een storm van protest, waarbij zelfs de beroemde en productiefste wiskundige aller tijden Paul Erdős, na – via een bovenstaande analyse, in Ask Marilyn – het bewijs van dubbele winstkans na wisselen van deur vernomen te hebben, stellig verklaarde dat "het geen verschil zou moeten maken". Na uitleg met behulp van een beslissingsboom raakte hij zelfs nog geïrriteerder, en pas na een simulatie gaf hij toe dat hij fout zat.

Bij het spelen van het kaartspel bridge komen geregeld soortgelijke keuzes aan de orde. In de bridgeliteratuur wordt deze groep problemen aangeduid met de naam restricted choice.

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Bronnen, noten en/of referenties

↑Originele versie in het Engels:Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

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[1] Originele versie in het Engels:Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

[1]

Auto hinter der Tür

Tür öffnen möglich possible

Moderator öffnet Tür 3

Gewinn beim Tausch