WikiDer > Хирургия Дена

В топология, раздел математики, Хирургия Дена, названный в честь Макс Ден, это конструкция, используемая для изменения 3-х коллектор. В качестве входных данных для процесса используется 3-коллектор вместе с связь. Это часто концептуализируется как два шага: бурение тогда начинка.

Определения

• Учитывая 3-х коллекторный ${ displaystyle M}$ и связь ${ Displaystyle L подмножество M}$, многообразие ${ displaystyle M}$ пробурено ${ displaystyle L}$ получается путем удаления открытого трубчатый район из ${ displaystyle L}$ из ${ displaystyle M}$. Коллектор ${ displaystyle M}$ пробурено ${ displaystyle L}$ также известен как дополнение ссылки, поскольку если удалить соответствующую замкнутую трубчатую окрестность из ${ displaystyle M}$, получаем многообразие, диффеоморфное ${ Displaystyle M setminus L}$.
• Для трехмерного многообразия с граничными компонентами тора мы можем склеить полноторие по гомеоморфизм (соотв. диффеоморфизм) его границы к граничной компоненте тора ${ displaystyle T}$ исходного 3-многообразия. В общем, есть много неэквивалентных способов сделать это. Этот процесс называется Ден заливка.
• Хирургия Дена на 3-м коллекторе, содержащем звено, состоит из высверливания трубчатой ​​окрестности звена вместе с Ден заливка на всех компонентах границы, соответствующих звену.

Мы можем выбрать два ориентированных простых замкнутых кривые м и ℓ на граничном торе трехмерного многообразия, порождающие фундаментальная группа тора. Это дает любую простую замкнутую кривую ${ displaystyle gamma}$ на этом торе две координаты п и q, каждая координата, соответствующая алгебраическому пересечению кривой с м и ℓ соответственно. Эти координаты зависят только от гомотопический класс из ${ displaystyle gamma}$.

Мы можем указать гомеоморфизм границы полнотория к Т имея меридиональную кривую полнотория, отображаемую в кривую, гомотопную кривой ${ displaystyle gamma}$. Пока меридиан соответствует наклон операции ${ displaystyle [ gamma]}$, результирующая операция Дена даст 3-многообразие, которое не будет зависеть от конкретной склейки (с точностью до гомеоморфизма). Соотношение п/q называется коэффициент хирургии.

В случае связей в 3-сфере или, в более общем смысле, в ориентированной гомологической сфере, существует канонический выбор меридианов и долгот Т. Долгота выбирается так, чтобы она была гомологична нулю в дополнительном узле - эквивалентно, если она является границей Поверхность Зейферта. Меридиан - это кривая, ограничивающая диск в трубчатой ​​окрестности звена. Когда соотношения п/q все целые числа, операция называется интегральная хирургия. Такие операции тесно связаны с рули, кобордизм и Функции Морса.

Полученные результаты

Каждый закрыто, ориентируемый, связаны 3-х коллекторный получается путем выполнения операции Дена по ссылке в 3-сфера. Этот результат, Теорема Ликориша – Уоллеса, впервые было доказано Эндрю Х. Уоллес в 1960 г. и независимо В. Б. Р. Ликориш в более сильной форме в 1962 году. Через хорошо известную связь между настоящая операция и кобордизм, этот результат эквивалентен теореме о том, что группа ориентированных кобордизмов 3-многообразий тривиальна, теорема, первоначально доказанная Владимир Абрамович Рохлин в 1951 г.

Поскольку все ориентируемые трехмерные многообразия могут быть порождены соответствующим образом оформленными связями, можно спросить, как могут быть связаны различные хирургические представления данного трехмерного многообразия. Ответ называется Исчисление Кирби.

Смотрите также

• Гиперболическая хирургия Дена
• Трубчатый район
• Хирургия на многообразиях, в общем смысле, также называется сферической модификацией.

Рекомендации

• Ден, Макс (1938), "Die Gruppe der Abbildungsklassen", Acta Mathematica, 69 (1): 135–206, Дои:10.1007 / BF02547712.
• Том, Рене (1954), "Quelques propriétés globales des varétés différentiables", Комментарии Mathematici Helvetici, 28: 17–86, Дои:10.1007 / BF02566923, МИСТЕР 0061823^{[постоянная мертвая ссылка]}
• Кирби, Роб (1978), "Исчисление оснащенных ссылок в S³", Inventiones Mathematicae, 45 (1): 35–56, Дои:10.1007 / BF01406222, МИСТЕР 0467753.
• Фенн, Роджер; Рурк, Колин (1979), "Об исчислении связей Кирби", Топология, 18 (1): 1–15, Дои:10.1016/0040-9383(79)90010-7, МИСТЕР 0528232.
• Гомпф, Роберт; Стипсич, Андраш (1999), 4-многообразия и исчисление Кирби, Аспирантура по математике, 20, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 020, ISBN 0-8218-0994-6, МИСТЕР 1707327.