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Das zeitdiskrete Fourier-Transformation (oder DTFT) gehört zur Familie der Fourier-Transformationen. Er verwandelt sich a Funktion${Anzeigestil f(n)}$ einer diskreten Zeitvariablen ${displaystyle n}$, mit ${displaystyle nin mathbb {Z} }$, zu einem kontinuierlichen, periodischen Spektrum ${Displaystil F(e^{iomega })}$.

Definition

Das DTFT von ${Anzeigestil f(n)}$ wird gegeben von:

${displaystyle F(e^{iomega })=sum _{n=-infty}^{infty}f(n),e^{-inomega }}$

Mit dem inversen DTFT können Sie ${Anzeigestil f(n)}$ aus dem transformierten gewonnen werden.

${displaystyle f(n)={frac {1}{2pi}}int _{-pi}^{pi}F(e^{iomega }),e^{inomega },{m {d}}omega }$

Periodizität des DTFT

Der DTFT ist periodisch mit Periode ${Displaystil 2pi }$, weil es gibt

${Anzeigestil F(e^{iomega}),!=F(e^{i(omega 2pi)})}$

Dies wird wie folgt bewiesen.

${displaystyle F(e^{i(omega 2pi)})=sum _{n=-infty}^{infty}f(n),e^{-in(omega 2pi)}=sum _{n=-infty }^{infty}f(n),e^{-inomega }e^{-in2pi}}$

weil ${displaystyle e^{i2pi }=,!1}$ (sehen komplexe Zahl), das obige ist gleich

${displaystyle sum _{n=-infty}^{infty}f(n),e^{-inomega }1^{-n}=sum _{n=-infty}^{infty}f(n),e ^{-inomega }=F(e^{iomega })}$

Periodizität zeigen. Diskretion in einer Domäne führt somit zu Periodizität in der konjugierten Domäne.

Unterschied zwischen DTFT und DFT

Der DTFT unterscheidet sich von dem diskrete Fourier-Transformation (DFT) dadurch, dass letztere eine periodische zeitdiskrete Funktion ist ${Anzeigestil f(n)}$ verwandelt. Für ein zeitlich begrenztes Signal mit Dauer ${Displaystil N}$ gegeben von ${displaystyle f(n):nin {0,1,ldots,N-1}}$, tatsächlich tastet die DFT in gleichmäßigen Intervallen die DTFT an den Punkten ab ${displaystyle kin {0,1,ldots,N-1}}$ in dem Frequenzbereich.

${displaystyle F(k)=left.F(e^{iomega }),ight|_{omega =2pi {frac {k}{N}}}=left.sum _{n=0}^{N-1 }f(n),e^{-iomega n},ight|_{omega =2pi {frac {k}{N}}}=Summe _{n=0}^{N-1}f(n), e^{-i2pi {frac {kn}{N}}}}$

Beziehung zur z-Transformation

Der DTFT ist ein Sonderfall der z-Transformation. Die Z-Transformation ist wie folgt definiert:

${displaystyle F(z)=sum _{n=-infty}^{infty}f(n),z^{-n}}$

Man berechnet die z-transformierte für ${displaystyle z=e^{iomega }}$, dann erscheint das DTFT. (Daher ist für den DTFT die Notation ${Displaystil F(e^{iomega })}$ der Notation vorgezogen ${Anzeigestil F(omega)}$.)

${displaystyle left.F(z)ight|_{z=e^{iomega }}=sum _{n=-infty}^{infty}f(n),e^{-inomega }=F(e^{ iomega })}$

Beachten Sie, dass die Berechnung der DTFT für ${displaystyle z=e^{iomega }}$ entspricht der Berechnung der z-Transformation auf dem Einheitskreis in dem komplexe Ebene.