WikiDer > Diskrete Fourier-Transformation

In dem Mathematik ist der diskrete Fourier-Transformation oder DFT ein Fourier-Transformation die in der weit verbreitet ist digitale Signalverarbeitung und verwandte Techniken zum Analysieren der in einem abgetasteten Signal vorhandenen Frequenzen und zum Durchführen von Operationen wie z Windungen. Die DFT kann effizient berechnet werden, indem die FFT-Algorithmus.

Die diskrete Fourier-Transformation, bezeichnet mit ${displaystyle {mathcal {F}}}$, ist ein lineare Transformation und eine diskrete Form des Fourier-Transformation. Sie verwandelt sich Periodisch (Zeitspanne ${displaystyle Zinn mathbb {Z} }$) und diskret Reihe von ${Displaystil N}$Zahlen in einer ebenso periodischen diskreten Folge.

Die Reihe von ${Displaystil N}$komplexe Zahlen${Anzeigestil x=(x(0),ldots x(N-1))}$ wird durch die DFT in die Folge von ${Displaystil N}$ komplexe Zahlen ${displaystyle f=(f_{0},ldots ,f_{N-1})}$ nach der Formel:

${displaystyle f_{k}=Summe _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-iomega nk}quad quad n=0,dots,N-1}$ und ${displaystyle omega ={frac {2pi }{N}}}$

Darin ist ${displaystyle e}$ das Basis des natürlichen Logarithmus, ${Anzeigestil i}$ das imaginäre Einheit, und ${Anzeigestil pi}$ die Nummer Pi. Die Transformation wird auch als ${displaystyle {mathcal {F}}}$, wie in

${displaystyle f={mathcal {F}}(x)}$.

Die inverse diskrete Fourier-Transformation (IDFT) ist gegeben durch

${displaystyle x(n)={frac {1}{N}}Summe _{k=0}^{N-1}f_{k}e^{iomega nk}quad quad n=0,dots,N-1 }$

Beachten Sie, dass der in der DFT und IDFT verwendete Normalisierungsfaktor (hier 1 und 1/nein) und die Vorzeichen der Exponenten sind nur Konventionen, von denen oft abgewichen wird. Die einzigen harten Anforderungen für diese Konventionen sind, dass DFT und IDFT Exponenten mit entgegengesetztem Vorzeichen haben müssen und dass das Produkt der beiden Normierungsfaktoren 1/ ist.nein muss sein. Ein Normierungsfaktor von ${displaystyle 1/{sqrt {n}}}$ Sowohl DFT als auch IDFT macht die Transformationen einheitlich, was einige theoretische Vorteile bietet, aber oft ist es praktischer, sich an die Skalierung der obigen Definitionen zu halten.

Einheitliche Transformation

In der unitären Variante der diskreten Fourier-Transformation mit Matrixkonto die Koeffizienten werden einfach wie folgt ermittelt (wobei ${displaystyle xi _{N}=e^{-iomega }=e^{-2pi i/N}}$):

${displaystyle {mathcal {F}}(x)={ egin{bmatrix}f_{0}/f_{1}/vdots /f_{N-1}/end{bmatrix}}={frac {1}{sqrt { N}}}{ egin{bmatrix}xi _{N}^{0cdot 0}&xi _{N}^{0cdot 1}&ldots &xi _{N}^{0cdot (N-1)}/xi _{N} ^{1cdot 0}&xi _{N}^{1cdot 1}&ldots &xi _{N}^{1cdot (N-1)}/vdots &vdots &ddots &vdots /xi _{N}^{(N-1)cdot 0 }&xi _{N}^{(N-1)cdot 1}&ldots &xi _{N}^{(N-1)cdot (N-1)}/end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}x(0 )/x(1)/vdots /x(N-1)/end{bmatrix}}}$