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In einem echten Masse-Feder-System hat die Feder eine nicht zu vernachlässigende Masse${displaystyle m}$. Denn nicht jeder Teil der Feder bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die unterhängende Masse ${Anzeigestil M}$, ist der kinetische Energie Nicht gleichzusetzen mit${displaystyle { frac {1}{2}}mv^{2}}$. Deshalb, ${displaystyle m}$ nicht nur hinzugefügt ${Anzeigestil M}$ um die Frequenz um die Schwingung zu berechnen. Die wirksame Masse der Feder ist definiert als die zu addierende Masse ${Anzeigestil M}$ für das Verhalten der Vibrationssystem gut vorhersehbar. Diese effektive Masse ist also nicht gleich ${displaystyle m}$, die tatsächliche Masse der Feder.

Ideale homogene Feder

Die wirksame Masse der Feder in einem Masse-Feder-System unter Verwendung einer idealen Feder mit homogener Massendichte ist 1/3 der Federmasse und ist unabhängig von der Schwingungsrichtung (horizontal, vertikal oder schräg). Diese Richtungsunabhängigkeit ist darauf zurückzuführen, dass konstante äußere Kräfte keinen Einfluss auf die Bewegung um die Gleichgewichtslage haben. Im Beispiel einer vertikal schwingenden Feder sorgt die Schwerkraft dafür, dass die Gleichgewichtslage niedriger ist als bei einer horizontalen Schwingung, jedoch bleibt die Schwingungsdauer dann gleich.

vertikales Masse-Feder-System.

Die effektive Masse der Feder kann durch Berechnung der kinetischen Energie ermittelt werden. Das bedeutet, dass die kinetische Energie aller Masseteile (der Ringe der Feder) aufsummiert werden muss. Bei der idealen homogenen Feder nehmen wir unendlich viele kleine Massenteile (also unendlich viele unendlich dünne Ringe) an. Dadurch entsteht folgendes Integral-, bei welchem ${Anzeigestil u}$ ist gleich der Geschwindigkeit des Massenelements dm. Die kinetische Energie der Feder gilt nun:

${displaystyle E_{k}=int _{m}{ frac {1}{2}}u^{2},dm}$

Weil die Feder homogen ist: ${displaystyle dm=left({frac {dy}{L}}ight)m}$, bei welchem ${Anzeigestil L}$ gleich der Länge der Feder, also:

${displaystyle E_{k}=int _{0}^{L}{ frac {1}{2}}u^{2}left({frac {dy}{L}}ight)m!}$

${displaystyle ={ frac {1}{2}}{frac {m}{L}}int _{0}^{L}u^{2},dy}$

Die Geschwindigkeit jedes Teils der Feder ist proportional zur Größe des Abstands vom Aufhängungspunkt der Feder. Je größer dieser Abstand ist, desto größer ist die Geschwindigkeit des Massenelements, also: ${displaystyle u={frac {vy}{L}}}$, woraus folgt:

${displaystyle E_{k}={ frac {1}{2}}{frac {m}{L}}int _{0}^{L}left({frac {vy}{L}}ight)^{2 },dy}$

${displaystyle ={ frac {1}{2}}{frac {m}{L^{3}}}v^{2}int _{0}^{L}y^{2},dy}$

${displaystyle ={ frac {1}{2}}{frac {m}{L^{3}}}v^{2}links[{frac {y^{3}}{3}}ight]_{0 }^{L}}$

${displaystyle ={ frac {1}{2}}{frac {m}{3}}v^{2}}$

Im Vergleich zur ursprünglichen Formel für die kinetische Energie${displaystyle { frac {1}{2}}mv^{2},}$ die effektive Masse ist also gleich ${displaystyle {frac {m}{3}}}$. Wir können dieses Ergebnis verwenden, um die Gesamtenergie des Systems in Bezug auf die Verschiebung zu schreiben ${Anzeigestil x}$ aus der ungedehnten Position gemessen. Hier nehmen wir die Aufwärtsrichtung als positiv.

${Anzeigestil E}$${displaystyle ={ frac {1}{2}}({frac {m}{3}}) v^{2} { frac {1}{2}}Mv^{2} { frac {1}{2} }Cx^{2}-{ frac {1}{2}}mgx-Mgx}$

Die Begriffe haben folgende Bedeutung:

${displaystyle { frac {1}{2}}({frac {m}{3}}) v^{2}}$ ist die kinetische Energie der Feder.

${displaystyle { frac {1}{2}}Mv^{2}}$ ist die kinetische Energie der Masse an der Feder.

${displaystyle { frac {1}{2}}Cx^{2}}$ ist die Federenergie, wobei C gleich ist Federrate. Dies basiert auf der Theorie der harmonischer Oszillator.

${displaystyle { frac {1}{2}}mgx}$ ist die potentielle Energie aufgrund der Schwerkraft auf die Feder. Die Feder bewegt bei einer bestimmten Dehnung immer nur die Hälfte ihrer Masse. Hier ist G die Beschleunigung des Sturzes.

${displaystyle Mgx}$ ist die potentielle Energie aufgrund der Gravitationskraft auf die Masse an der Feder.

Nehmen wir die Ableitung nach der Zeit, so folgt aus obiger Gleichung für die Gesamtenergie:

${displaystyle left({frac {m}{3}} Might) a=Cx-{frac {1}{2}}mg-Mg}$

Um dieses Ergebnis zu erhalten, muss die Kettenregel verwendet werden und die Tatsache, dass v gleich der Ableitung von x nach der Zeit ist. Erscheint auch links ein, die Beschleunigung (die Ableitung von v zur Zeit).

Der Gleichgewichtspunkt ${displaystyle x_{mathrm {ev} }}$ kann gefunden werden von ein gleich 0.

${displaystyle x_{mathrm {ev} }={frac {1}{C}}left({ frac {1}{2}}mg Mgight)}$

Wenn wir wollen, dass die Schwingung um x = 0 herum stattfindet, definieren wir ${displaystyle { ar {x}}=x-x_{mathrm {ev} }}$, dann lautet die Bewegungsgleichung:

${displaystyle left({frac {m}{3}} Might){ ar {x}}=-C{ ar {x}}}$

Dies ist die Gleichung für den einfachen harmonischen Oszillator mit Periode:

${displaystyle T=2pi left({frac {M m/3}{C}}ight)^{1/2}}$

Die effektive Masse der Feder addiert zur Masse des aufgehängten Gewichts ergibt also die gesamte effektive Masse des Systems, die in der Standardformel zu verwenden ist ${displaystyle 2pi links({frac {m}{C}}ight)^{1/2}}$ um die Schwingungsdauer zu berechnen.

Im Allgemeinen

Wie oben beschrieben, hängt die effektive Masse nicht von "externen" Faktoren wie der Schwerkraft ab. Tatsächlich hängt die effektive Masse bei einer inhomogenen Feder vollständig vom Titer ab ${Anzeigestil ho(x)}$ entlang der Federlänge:

${displaystyle E_{k}=int _{m}{ frac {1}{2}}u^{2},dm}$

${displaystyle =int _{0}^{L}{ frac {1}{2}}u^{2}ho(x),dx}$

${displaystyle =int _{0}^{L}{ frac {1}{2}}left({frac {vx}{L}}ight)^{2}ho(x),dx}$

${displaystyle ={ frac {1}{2}}links[int _{0}^{L}{frac {x^{2}}{L^{2}}}ho (x),dxight]v^{ 2}}$

Die effektive Masse der Feder ist also:

${displaystyle m_{mathrm {eff} }=int _{0}^{L}{frac {x^{2}}{L^{2}}}ho (x),dx}$

Dieses Ergebnis zeigt auch, dass ${displaystyle m_{mathrm {eff} }leq m}$, wobei der Extremfall ${displaystyle m_{mathrm {eff} }=m}$ tritt nur auf, wenn sich die gesamte Masse der Feder am Ende befindet, wo sich auch das schwingende Gewicht befindet. Dies ist erwartungsgemäß, denn in diesem Fall ist die Feder masselos und die Masse des Schwinggewichts hat sich erhöht ${displaystyle m}$.

Die echte Feder

Die obigen Berechnungen gehen davon aus, dass die Steifigkeit der Feder nicht von ihrer Länge abhängt. Bei echten Federn ist dies nicht der Fall. Bei kleinen Werten von ${Displaystil M/m}$, ist die Dehnung nicht so groß, dass eine elastische Verformung stattfindet. Show von Jun-ichi Ueda und Yoshiro Sadamoto^[1] das wann ${Displaystil M/m}$ über 7 hinaus ansteigt, werden die effektiven Massen der Feder in einem Federsystem mit vertikaler Masse kleiner als ${Anzeigestil m/3}$ und wird schließlich negativ. Dieses Verhalten der wirksamen Masse lässt sich durch eine elastische Nachwirkung erklären, bei der die Feder beim Entfernen des unterhängenden Gewichts nicht vollständig auf ihre ursprüngliche Länge zurückkehrt.

Verweise