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Die Fläche von so ist das Integral von ${Anzeigestil f(x)}$ zwischen der Kurve ${Anzeigestil y=f(x)}$ und der ${Anzeigestil x}$-Achse im Intervall ${Anzeigestil [a,b].}$

Das Integralrechnung ist ein Teilbereich der Mathematik, insbesondere der Analyse. Es wird dabei verwendet Integrale zum Berechnen von Summen, wie der Gesamtfläche unter einem Diagramm, der Gesamtänderung einer bestimmten Größe, wenn die Änderung pro Zeiteinheit für jeden Moment angegeben ist, oder zum Berechnen der Masse eines Objekts, wenn die Dichte an jedem Punkt angegeben ist.

Im einfachsten intuitiven Fall rechnet man mit einem bestimmten Integral von a Funktion die durch den Funktionsgraphen und die Horizontale begrenzte Fläche Koordinatenachse, zwischen zwei vertikalen Linien. Das Integral einer Funktion ${displaystyle f}$ über einen Intervall${Anzeigestil [a,b]}$ wird notiert als

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),{m {d}}x}$

Das Ergebnis ist die Oberfläche ${Anzeigestil S}$ unterhalb des Diagramms.

Die Integralrechnung hängt mit der Differentialrechnung nach den Konzepten der Derivat und der primitive Funktion einer Funktion. Eine primitive Funktion einer Funktion ${displaystyle f}$ ist eine Funktion ${Anzeigestil F}$ von was ${displaystyle f}$ die Ableitung lautet: ${displaystyle F'=f}$. Außer einer additiven Konstante ist ein Primitiv eindeutig bestimmt. Das Finden eines Primitiven nennt man Primitive, eine Form der Integration. Laut der Fundamentalsatz der Integralrechnung sind differenzierend (Differenzierung) und integrierend (Integration) invers bearbeitet.

Das Konzept der Integration kann auf komplexere Intervalle erweitert werden, auf Integration über mehr Variablen, usw. Abhängig von den gegebenen Funktionen kann die Berechnung von Integralen ein kompliziertes Problem sein. Es gibt verschiedene Berechnungstechniken, analytische und numerisch, um eine Funktion zu integrieren.

Vorwort

Integrale treten in vielen praktischen Situationen auf. Denken Sie zum Beispiel an a Schwimmbad. Bei einem rechteckigen Pool lassen sich Länge, Breite und Tiefe relativ leicht einstellen Umfang, Oberfläche und Volumen, die Summe Wasser im Pool, bestimmt werden. Aber wenn es ein Oval Schwimmbad hat einen abgerundeten Boden, die Berechnung dieser Größen erfordert Integrale. In vielen praktischen Situationen mögen einfache Ansätze ausreichen, aber in den Feinmechanik hohe Genauigkeit erforderlich.

Annäherungen an das Integral von ${displaystyle {sqrt {x}}}$ von 0 bis 1, mit ■ 5 Beispiele für die rechte Hand (oben) und ■ 12 linke Beispiele (unten)

Betrachten Sie die Kurve ${displaystyle y={sqrt {x}}}$ zwischen ${Anzeigestil x=0}$ und ${Anzeigestil x=1}$. Wie groß ist die Fläche unter dieser Kurve im Intervall von 0 bis 1? Dieser Bereich ist der Integral- der Funktion ${displaystyle f(x)={sqrt {x}}}$ über das genannte Intervall und wird notiert als:

${displaystyle int _{0}^{1}{sqrt {x}},{m {d}}x}$

Dieser Bereich kann mit Rechtecken angenähert werden. In erster Näherung kann es sein Einheitsquadrat dienen, das von der . gegeben wird Seiten${Anzeigestil x=0}$ bis um ${Anzeigestil x=1}$ und ${Anzeigestil y=f(0)=0}$ bis um ${Anzeigestil y=f(1)=1}$. Seine Fläche ist gleich 1. Der reelle Wert des Integrals muss also etwas kleiner als 1 sein. Eine bessere Näherung ergibt sich durch Rechtecke mit kleinerer Breite, zum Beispiel mit Breite 1/5 über den Intervallen [0.1/5], [1/5.2/5] usw. bis 1. Die Rechtecke sind so hoch wie die Höhe von die Kurve rechts vom Intervall, also nacheinander ${displaystyle {sqrt {1/5}}, {sqrt {2/5}}}$, und so weiter bis √1=1. Die Summe der Flächen dieser Rechtecke ist eine Näherung für das Integral:

${displaystyle { frac {1}{5}}{sqrt { frac {1}{5}}} { frac {1}{5}}{sqrt { frac {2}{5}}} { frac {1}{ 5}}{Quadrat { frac {3}{5}}} { frac {1}{5}}{Quadrat { frac {4}{5}}} { frac {1}{5}}{Quadrat {1} }ungefähr 0{,}7497}$

Auch dieser Ansatz ist noch zu groß. Die Verwendung von mehr Zwischenschritten ergibt eine bessere Näherung: 12 Teilintervalle der Breite 1/12 ergeben einen Näherungswert für die Fläche von 0.7036. Da die Kurve ansteigend ist, wird auch diese Näherung zu groß. Wenn, wie gezeigt, die Höhe der Rechtecke gleich dem Funktionswert im Startpunkt des Teilintervalls angenommen wird, ist der Näherungswert 0,6203, kleiner als die gesuchte Fläche.

Durch immer schmalere Rechtecke wird die Approximation immer besser. Die Grenze in gewissem Sinne dieses Prozesses ist das Integral.

Die Notation

${displaystyle int f(x)operatorname {d} x}$

symbolisiert diesen begrenzenden Prozess und suggeriert das Integral als Summe, gekennzeichnet durch das verlängerte ${Anzeigestil S}$, von unendlich vielen Rechtecken, deren Höhe den Funktionswerten entspricht ${Anzeigestil f(x)}$ und unendlich klein (unendlich kleine) Breiten ${displaystyle {m {d}}x}$.

Was die eigentliche Berechnung von Integralen betrifft, so Fundamentalsatz der Integralrechnung, dem wir zu verdanken sind Newton und Leibniz, die grundlegende Verbindung zwischen den Operationen unterscheiden und integrieren. Auf die Quadratwurzelkurve angewendet, ${Anzeigestil f(x)=x^{1/2}}$, besagt der Fundamentalsatz, dass das geforderte Integral einfach gleich ist ${Anzeigestil F(1)-F(0)}$, in welchem ${displaystyle F(x)={ frac {2}{3}}x^{3/2}}$ das primitive Funktion des Integranden ${displaystyle f}$ ist, und 0 und 1 sind die Grenzen des Integrationsintervalls. Der genaue Wert der Fläche unter der Kurve berechnet sich also wie folgt

${displaystyle int _{0}^{1}{sqrt {x}},operatorname {d} x=int _{0}^{1}x^{1/2}operatorname {d} x={ frac {2 }{3}}cdot 1^{3/2}-{ frac {2}{3}}cdot 0^{3/2}={ frac {2}{3}}}$

Historisch gesehen definierte Riemann nach dem Scheitern früherer Versuche, infinitesimale Zahlen streng zu interpretieren, Integrale als a Grenze der gewichteten Summen, in denen ${displaystyle {m {d}}x}$ schlug die Grenzen einer Differenz vor (nämlich die Breite des Intervalls). Die Unzulänglichkeiten von Riemanns Vertrauen auf Intervalle und Kontinuität motivierten neuere Definitionen, insbesondere die Lebesgue-Integral. Das Lebesgue-Integral basiert auf seiner Fähigkeit, die Idee von "messen" viel flexibler. Die Notation

${displaystyle int _{A}fOperatorname {d}mu}$ oder ${displaystyle int _{A}f(x)mu (Operatorname {d} x)}$

bezieht sich also auf eine gewichtete Summe, in die die Funktionswerte unterteilt sind, wobei ${Anzeigestil mu}$ misst das jedem Wert zuzuordnende Gewicht. Hier bezeichnet ${Anzeigestil A}$ der Integrationsregion.

Differentialgeometrie, mit seinem "Kalkül auf" Sorten", gibt die bekannte Notation noch eine andere Interpretation. Jetzt form ${Anzeigestil f(x)}$ und ${displaystyle {m {d}}x}$ ein Differentialform, ${Anzeigestil Omega =f(x){m {d}}x}$, eine neue Differentialoperator${displaystyle mathbf {m {d}} }$, die als die bekannt ist externe Ableitung wird angezeigt, und der Hauptsatz ändert sich in den allgemeineren Satz von Stokes,

${displaystyle int _{A}mathbf {operatorname {d} } omega =int _{partial A}omega }$

Folgen Sie aus dem Satz von Stokes dem Satz von Green Green, das Divergenzsatz und der fundamentale Satz der Integralrechnung.

In jüngerer Zeit sind Infinitesimals in strenger Form wieder aufgetaucht, zum Beispiel in modernen Innovationen wie der Nicht-Standard-Analyse. Diese Methoden rechtfertigen nicht nur die Ideen der Pioniere; sie führen auch zu neuer Mathematik.

Obwohl es Unterschiede zwischen diesen Konzepten eines Integrals gibt, gibt es auch erhebliche Überschneidungen. Zum Beispiel kann die Größe der Fläche des ovalen Beckens als geometrische Ellipse, als Summe von Infinitesimalen, als Riemann-Integral, als Lebesgue-Integral oder als Mannigfaltigkeit mit Differentialform modelliert werden. Das berechnete Ergebnis ist immer gleich.

Geschichte

Integralrechnung in präanalytischen Zeiten

Die Vorläufer der Integralrechnung lassen sich bis in die antikes Ägypten um 1800 v. Chr., mit dem Moskauer Papyrus, die die Kenntnis einer Formel für die Volumen von a Pyramidenstumpf berechnen. Die erste dokumentierte systematische Methode, mit der Integrale bestimmt werden können, ist die Eudoxus-Erschöpfungsmethode (ca. 370 v. Chr.). Eudoxus versuchten, Oberflächen und Volumen zu finden, indem sie sie in unendlich viele Formen zerlegten, deren Oberfläche oder Volumen bereits bekannt war. Diese Methode wurde weiterentwickelt und angewendet von Archimedes, auch zum Abdecken von Oberflächen von Parabeln und für eine Annäherung an die Fläche eines Kreises. Ähnliche Methoden wurden in China um das 3. Jahrhundert n. Chr. unabhängig von Liu Huic die diese Methoden auch verwendet haben, um die Fläche des Kreises zu bestimmen. Diese Methode wurde später vom chinesischen Vater und Sohn, den Mathematikern im 5. Jahrhundert, übernommen adopted Zu Chongzhi und Zu Geng, verwendet, um das Volumen einer Kugel zu bestimmen.^[1] Im selben Jahrhundert wurde die Indischer Mathematikeraryabhata mit einer ähnlichen Methode zur Bestimmung des Volumens von a Würfel.^[2]

Der nächste große Schritt in der Integralrechnung erfolgte im 11. Jahrhundert in Bagdad Kalifat der Abbasiden, wo der islamische Mathematiker Ibn al-Haytham, besser bekannt in Europa als alhazen, das Problem, das heute als "Alhazen-Problem" bekannt ist, in seiner Buch der Optik formuliert. Die Lösung führt zu a quadratische Gleichung. Bei der Lösung dieses Problems nutzte Alhazen die Integration, um das Volumen von a . zu reduzieren Paraboloid finden. Unter Verwendung von volle Einweisung er konnte sein Ergebnis für die Integrale von erhalten Polynome auf den vierten Grad zu verallgemeinern. Damit war er nahe daran, eine allgemeine Formel für die Integrale von Polynomen zu finden, beschäftigte sich aber nicht mit Polynomen oberhalb des vierten Grades.^[2] Einige Ideen aus der Integralrechnung finden sich auch in der Siddhanta Shiromani, ein 12. Jahrhundert Astronomie Text von der Hand des indischen Mathematikers Bhāskara II.

Der nächste große Durchbruch in der Integralrechnung musste bis Anfang des 16. Jahrhunderts warten. Von diesem Moment an in den Werken von Bonaventura Cavalieri mit dem nach ihm benannten Prinzip, das der Methode der Unteilbarkeit von Kontinua zugrunde liegt, und von Pierre de Fermat, machte einen ersten Anfang, um die Grundlagen der modernen Analysis zu legen. Weitere Schritte wurden zu Beginn des 17. Jahrhundert durch Karren und Torricelli , wobei letzteres die ersten Hinweise auf einen Zusammenhang zwischen Infinitesimalrechnung und Unterscheidung bemerkte.

Etwa zur gleichen Zeit wurde auch von japanischen Mathematikern viel Arbeit geleistet, insbesondere von Seki Kowa.^[3] Er hat eine Reihe von Beiträgen vor allem auf dem Gebiet der Methoden zur Bestimmung von Zahlenbereichen mit Integralen geleistet. Dabei erweiterte er die Erschöpfungsmethode.

Newton und Leibniz

Die wichtigsten Fortschritte in der Integralrechnung wurden im 17. Differentialrechnung erfunden von Isaac Newton und Gottfried Leibniz. Beide entdeckten unabhängig voneinander die Fundamentalsatz der Integralrechnung. Dieser Satz stellt einen Zusammenhang zwischen Integralrechnung und Differentiation her. Dieser Zusammenhang kann ausgenutzt werden, indem man eine zu integrierende Funktion als Derivat des zu bestimmenden 'primitiven' Integrals. Somit kann eine viel breitere Klasse von Problemen durch Integration gelöst werden als zuvor. Die von ihnen verwendete Infinitesimalrechnung ermöglichte eine genaue Analyse von Funktionen innerhalb stetiger Domänen. Dieser Rahmen wuchs schließlich in die Moderne Analyse. Die moderne Notation für Integrale stammt direkt aus der Arbeit von Leibniz.

Integrale formalisieren

Obwohl Newton und Leibniz einen systematischen Integrationsansatz entwickelten, fehlte ihrer Arbeit eine gewisse Strenge. Dies gab dem irischen Philosophen Bischof Berkeley die Chance das Konzept unendlich klein als "Geister der abgeschiedenen Mengen" anzugreifen. Mit der Konzeptentwicklung wurde die Analyse auf ein festes Fundament gestellt Grenze. In der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts Cauchy die erste Grundlage für die Analyse. Mitte des 19. Jahrhunderts, Riemann die erste streng formulierte Theorie der Integralrechnung. Obwohl alle stückweise beschränkten stetigen Funktionen über ein beschränktes Intervall Riemann-integrierbar sind, wurden später andere Arten von Funktionen untersucht, auf die Riemanns Definition nicht zutraf. Um 1900 formuliert Lebesgue eine andere Definition eines Integrals, die auf dem Begriff basierte messen von dem Maßtheorie, ein Teilgebiet der Realanalyse. Später wurden auch andere Definitionen eines Integrals vorgeschlagen, alle Erweiterungen der Riemann- und Lebesgue-Approximationen.

Die ersten Anwendungen der Integralrechnung fanden sich im Bereich der Mechanik. Das Konzept des Integrals wurde im Laufe der Zeit auf alle Arten von Situationen angewendet. Es gibt in der Physik machten ausgiebig Gebrauch von der Integralrechnung.

Notation

Die Notation mit dem "lange swurde von Leibniz eingeführt ${displaystyle int _{a}^{b}f(x),mathrm {d} x}$ wird darin als Grenze von gesehen ${Anzeigestil Summe f(x)Delta x}$. Das ∫-Zeichen ist die Grenzform des Summenzeichens und repräsentiert die Integration, ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ sind die Endpunkte des Intervalls, ${Anzeigestil f(x)}$ ist der Funktion das wird integriert, und ${displaystyle {m {d}}x}$ ist die Grenze von ${Anzeigestil Delta x}$ und setzt ein unendlich kleines Stück des ${Anzeigestil x}$Achse für. Historisch vorgeschlagen ${displaystyle {m {d}}x}$ ein infinitesimal für, und ∫ bedeutete "Summe" (Latein: umma, summa). Moderne Theorien basieren jedoch nicht mehr darauf und die traditionellen Symbole sind nur noch eine mathematische Notation

Isaac Newton verwendet einen kleinen vertikalen Balken über einer Variablen, um ein Integral anzuzeigen. Er platzierte die fragliche Variable auch in einem Viereck. Der vertikale Balken ist leicht zu verwechseln mit ${Displaystil {Punkt {x}}}$ oder ${displaystyle x'}$, die Newton verwendet, um Differenzierung anzuzeigen. Die Newton-Notation wird kaum noch verwendet.

Beispiel

Der Bereich zwischen den ${Anzeigestil x}$-Achse und der Graph der Sinusfunktion auf dem Intervall ${displaystyle [0,pi ]}$ als integral.

Da die Sinusfunktion stetig ist, folgt aus dem Fundamentalsatz der Analysis, dass es ausreicht, a Funktion um das als Derivat zu finden ${displaystyle sin(x)}$ hast. Die Funktion ${displaystyle -cos(x)}$ entspricht diesem: ${displaystyle -cos '(x)=sünde(x)}$. Es folgt

${displaystyle int _{0}^{pi}sin(x),{m {d}}x=[-cos(x)]_{0}^{pi}=-cos(pi)-(-cos( 0))=1 1=2.}$

Fundamentalsatz der Integralrechnung

sehen Fundamentalsatz der Integralrechnung für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Der Fundamentalsatz (oder Fundamentalformel) der Integralrechnung stellt eine Beziehung zwischen a primitive Funktion und das Integral.

Paar ${displaystyle f:[a,b] oder mathbb {R} }$ ist stetig und ${displaystyle f}$ ist die Ableitung von ${Anzeigestil F,}$ dann ist:

${displaystyle int _{a}^{b}{f(x){m {d}}x=F(b)-F(a)}}$

Integrationstechniken

Es gibt eine Reihe von Methoden, um die primitiven Funktionen zu erhalten ${Anzeigestil F}$ einer gegebenen Funktion ${displaystyle f}$ zu entscheiden. Die wichtigsten sind unten aufgeführt. Sie zielen darauf ab, das Integral anders zu schreiben und es möglicherweise zu vereinfachen, damit eine primitive Funktion leichter gefunden werden kann. Mit diesen Techniken werden unbestimmte Integrale gefunden, also unabhängig vom Integrationsintervall.

Drei häufig verwendete Methoden zum Integrieren einer Funktion sind:

• Integration durch Substitution
• Teilintegration
• Bruchspaltung

Es ist manchmal möglich, ein Integral zu berechnen, dessen zwei Integrationsgrenzen gegeben sind, obwohl mit den genannten Verfahren keine primitive Funktion der zu integrierenden Funktion bestimmt werden kann. Die Integrationsgrenzen können zu –∞ und ∞ gehen. Ein bekanntes Beispiel ist das Gauß-Integral, das Integral der of Gaußsche Funktion. Zwei Methoden, die nur für das Gauß-Integral nicht verwendet werden, um solche Integrale ohnehin zu berechnen, sind

• das Komplexe Funktionentheorie mit Hilfe von Rückstände und
• Feynman-Integrationsmethode.^[4][5]

Somit wird bei der Berechnung des Gauß-Integrals und unter Verwendung dieser beiden Verfahren kein Grundelement der zu integrierenden Funktion selbst bestimmt.

Über die parseval-Gleichheit Einige Integrale können in eine endliche Summe umgewandelt werden. Dies gilt insbesondere bei Berechnungen mit Fourier-Transformationen benutzt.

• Liste der Integrale

Erweiterungen

Der Integralbegriff und die dazugehörige Integrationstheorie ist nicht auf den einfachen Fall der Integration reeller eindimensionaler Funktionen beschränkt. Verschiedene Erweiterungen sind möglich, wie die Integration komplexer Funktionen, die Integration über andere Intervalle und die Integration in weitere Variablen.

Unechte Integrale

Siehe Hauptartikel Unechtes Integral Für mehr Informationen

Grundsätzlich ist das Riemann-Integral nur für endliche Intervalle definiert. In einigen Fällen möchten wir jedoch möglicherweise über ein unendliches Intervall integrieren. Ein weiteres Problem kann auftreten, wenn die zu integrierende Funktion im betrachteten Intervall eine Unstetigkeit aufweist und eine vertikale Asymptote. Eine Möglichkeit, diese Probleme zu lösen, besteht darin, einen Grenzwert des Integrals zu betrachten. Ein einfaches Beispiel für ein solches Integral ist:

${displaystyle int _{0}^{ infty } {f(x)},{m {d}}x}$

Linienintegrale

Siehe Hauptartikel Linienintegral Für mehr Informationen

Der Bereich, über den integriert wird, muss nicht auf eine eindimensionale Menge beschränkt sein. Integriert man entlang einer Kurve in a mehrdimensional Domäne, dann sprechen wir von a Linienintegral. Ist die Kurve geschlossen, spricht man von einem Konturintegral oder Schaltungsintegral.

In der komplexen Ebene werden unter anderem Linienintegrale definiert. Annehmen ${displaystyle c:[a,b]o mathbb {C} }$ ein Parametrierung gehört zu a glattKurve${Anzeigestil C}$, und ${displaystyle f:D o mathbb {C}}$ eine komplexe Funktion, bei der ${displaystyle Csubset D}$, dann definiert man das komplexe Integral der Funktion ${Anzeigestil f(z)}$ entlang der Kurve ${Anzeigestil C}$ wenn:

${displaystyle int _{C}f(z){m {d}}z=int _{a}^{b}f(c(t))c'(t){m {d}}t}$

Auch Linienintegrale werden in der Vektorrechnung berechnet. Angenommen a Skalarfeld${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} }$, und eine Kurve ${Anzeigestil C}$, repräsentiert durch die Parametrierung ${Anzeigestil r(t)}$ mit ${Displaystil-Dose [a,b]}$. Dann ist das Linienintegral definiert als

${displaystyle int _{C}f,{m {d}}s=int _{a}^{b}f(r(t))|r'(t)|,{m {d}}t}$.

Eine einfache Anwendung dieser Formel erhält man, wenn ${displaystyle f=1}$, schließlich integriert man dann über die gesamte Länge der Kurve mit dem Wert 1: so berechnet man schließlich die Länge der Kurve.

In analoger Weise wird dies zu Vektorfeld${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{n}}$ auf der gleichen Kurve:

${displaystyle int _{C}F(x),{m {d}}x=int _{a}^{b}F(r(t))cdot r'(t),{m {d}}t }$

Mehrere Integrale

sehen Vielfaches Integral für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Integrationsintervall muss keine Kurve mit einem variablen Parameter sein. Man kann auch über mehrere Variablen integrieren, beispielsweise integriert man über eine Fläche oder ein Volumen. Man spricht dann von a Flächenintegral und ein Volumenintegral. Im einfachen Fall eines Integrals einer Funktion ${displaystyle f}$ über einen Teil ${Anzeigestil A}$ von dem ${Anzeigestil xy}$-flat bekommen wir:

${displaystyle iint _{A}f(x,y),{m {d}}x,{m {d}}y}$

Dieses Integral kann in manchen Fällen als Wiederholung zweier eindimensionaler Integrale berechnet werden. Zum Beispiel, wenn ${Anzeigestil A}$ ein Rechteck hat Seiten parallel zu den Achsen:

${displaystyle iint _{A}f(x,y),{m {d}}x,{m {d}}y=int _{a}^{b}left(int _{c}^{d} f(x,y),{m {d}}xight){m {d}}y}$

Bei drei Variablen spricht man von einem Volumenintegral:

${displaystyle iiint f(x,y,z),{m {d}}x,{m {d}}y,{m {d}}z}$

In dem Vektoranalyse Theoreme wie der Satz von Green und der Divergenzsatz beziehen sich auf verschiedene Typen dieser Integrale.

Formale Definition

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Integral einer Funktion zu definieren. Am häufigsten sind die Riemann- und das Lebesgue-Integral.

Riemann-Integration

Siehe Hauptartikel Riemann-Integration für eine genauere Definition.

Riemann-Integration, entwickelt von Bernhard Riemann ist am einfachsten zu verstehen. Bei Riemann-Integration einer Funktion wird das Intervall [a,b] in enge Teilintervalle unterteilt. Man teilt sozusagen die Fläche unter dem Graphen in schmale Rechtecke. Je schmaler diese Rechtecke gemacht werden, desto besser nähert sich die Gesamtfläche all dieser Rechtecke zusammen der tatsächlichen Fläche an. Diese Definition passt auch intuitiv zu den historischen Notationen von Integralen. Die Fläche eines Rechtecks ​​an einem beliebigen Punkt wird durch Multiplizieren der Höhe berechnet f(x) mit der Breite dX und dies wird über das gesamte Intervall summiert.

Lebesgue-Integration

Siehe Hauptartikel Lebesgue-Integral für eine genauere Definition.

Die Lebesgue-Integration wurde durchgeführt von Henri Lebesgue definiert. Die Lebesgue-Integration wird durch Konvergenz von Funktionen definiert und kann auf Funktionen angewendet werden, für die das Riemann-Integral nicht definiert ist. Wenn das Riemann-Integral einer Funktion existiert, existiert auch das Lebesgue-Integral und ist gleich dem Riemann-Integral.

Andere Definitionen

Neben den Riemann- und Lebesgue-Integralen gibt es eine Reihe weiterer Integrale, darunter:

• Das Daniell-Integral.
• Das Darboux-Integral, eine Variation des Riemann-Integrals.
• Das Denjoy-Integral von Henstock-Kurzweil Integral, eine Erweiterung der Riemann- und Lebesgue-Integrale und des Perron-Integrals.
• Das Haarintegral ist das Lebesgue-Integral bezüglich der Haargröße von a Lügengruppe.
• Das Henstock-Kurzweil-Stieltjes-Integral oder HK-Stieltjes-Integral.
• Das Lebesgue-Stieltjes Integral oder Lebesgue-Radon-Integral.
• Das Riemann-Stieltjes Integral, eine Erweiterung des Riemann-Integrals.
• Das Raes-Integral, weitere Verallgemeinerung der Integralrechnung.
• Das Stochastische Analyse untersucht stochastische integrale Konzepte in Bezug auf das (Differential eines) Semimartingals wie de braunes Uhrwerk. Historisch gesehen ist das wichtigste Beispiel die Itô-Integral; außerdem unterscheidet man die Stratonowitsch-Integral.

Notation

In einem Ausdruck wie

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),{m {d}}x}$

oder

${displaystyle int _{a}^{b}{sqrt {ax}},{m {d}}x}$

ist ${Anzeigestil x}$ eine interne Variable. Das Ergebnis hängt nicht von ${Anzeigestil x}$ af und ist gleich, wenn eine andere Variable verwendet wird, die nicht im Integrand verwendet wird.

Die Notation

${displaystyle int f(x),{m {d}}x}$

gilt als ${Anzeigestil x}$ abzuhängen.

Die Notation

${displaystyle int _{a}^{x}f(x),{m {d}}x}$

Sie können, aber aus Gründen der Übersichtlichkeit wird diese doppelte Verwendung eines Variablennamens oft vermieden:

${displaystyle int _{a}^{x}f(y),{m {d}}y}$

Die Start- und Endwerte beziehen sich auf die Variable nach dem d. Falls nicht, oder aus Gründen der Übersichtlichkeit, wird die Variable mit ihrem Anfangswert angegeben:

${displaystyle int _{y=a}^{x}xy,{m {d}}y}$

Dies gilt auch für den Endwert.

wenn ${Anzeigestil a>b}$ dann ist

${displaystyle -int _{b}^{a}f(x),{m {d}}x}$

die Bedeutung von

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),{m {d}}x}$

Fußnoten

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