WikiDer > Формула подписи Эйзенбуда – Левина – Химшиашвили

Eisenbud–Levine–Khimshiashvili signature formula

В математике и особенно дифференциальная топология и теория сингулярности, то Формула подписи Эйзенбуда – Левина – Химшиашвили дает способ вычисления Пуанкаре – Хопфа показатель из настоящий, аналитический векторное поле на алгебраически изолированной особенности.[1][2] Он назван в честь Дэвид Эйзенбуд, Гарольд И. Левин, и Георгий Химшиашвили. Интуитивно понятно, что индекс векторного поля около нуля - это количество раз, когда векторное поле оборачивается вокруг сферы. Поскольку аналитические векторные поля имеют богатую алгебраическую структуру, методы коммутативная алгебра могут быть использованы для вычисления их индекса. Формула сигнатуры выражает индекс аналитического векторного поля через подпись определенного квадратичная форма.

Номенклатура

Рассмотрим п-мерное пространство рп. Предположим, что рп есть некоторые исправленные система координат, и написать Икс на точку в рп, где Икс = (Икс1, …, Иксп).

Позволять Икс быть векторное поле на рп. Для 1 ≤ kп существуют функции ƒk : рпр так что можно выразить Икс так как

Чтобы сказать это Икс является аналитическое векторное поле означает, что каждая из функций ƒk : рпр является аналитическая функция. Один говорит, что Икс является единственное число в какой-то момент п в рп (или это п это особая точка из Икс) если Икс(п) = 0, т.е. Икс исчезает в п. С точки зрения функций ƒk : рпр это означает, что ƒk(п) = 0 для всех 1 ≤ kп. Особая точка п из Икс называется изолированные (или это п является изолированная особенность из Икс) если Икс(п) = 0 и существует открытый район Uрп, содержащий п, так что Икс(q) ≠ 0 для всех q в U, отличный от п. Изолированная особенность Икс называется алгебраически изолированным, если при рассмотрении над сложный домен, он остается изолированным.[3][4]

Поскольку индекс Пуанкаре – Хопфа в какой-то момент является чисто локальным инвариантом (ср. Теорема Пуанкаре – Хопфа), можно ограничиться изучением микробы. Предположим, что каждое из ƒk сверху функция микробов, т.е. ƒk : (рп,0) → (р,0). В свою очередь, можно позвонить Икс а вектор поля росток.

строительство

Позволять Ап,0 обозначить кольцо ростков аналитических функций (рп,0) → (р,0). Предположим, что Икс является ростком векторного поля вида

с алгебраически изолированной особенностью в 0. Где, как упоминалось выше, каждая изk являются функциональными микробами (рп,0) → (р,0). Обозначим через яИкс то идеальный порожденныйk, т.е. яИкс = (ƒ1,…, Ƒп). Затем рассматривается локальная алгебра, BИкс, предоставленный частное

Формула подписи Эйзенбуда – Левина – Химшиашвили утверждает, что индекс векторного поля Икс в 0 задается подпись некоторого невырожденного билинейная форма (будет определено ниже) на локальной алгебре BИкс.[2][4][5]

Размер конечно тогда и только тогда, когда комплексирование из Икс имеет изолированную особенность в 0 в Cп; т.е. Икс имеет алгебраически изолированную особенность в 0 в рп.[2] В таком случае, BИкс будет конечномерным, действительная алгебра.

Определение билинейной формы

Используя аналитические компоненты Икс, один определяет другой аналитический росток F: (рп,0) → (рп,0) данный

для всех Иксрп. Позволять JFАп,0 обозначить детерминант из Матрица якобиана из F с уважением к основа {∂/∂Икс1, …, ∂/∂Иксп}. Наконец, пусть [JF] ∈ BИкс обозначить класс эквивалентности из JF, по модулю яИкс. Использование ∗ для обозначения умножения в BИкс можно определить невырожденную билинейную форму β следующим образом:[2][4]

где является Любые линейная функция такая, что

Как уже упоминалось: подпись β - это в точности индекс Икс при 0.

пример

Рассмотрим случай п = 2 векторного поля на плоскости. Рассмотрим случай, когда Икс дан кем-то

Ясно Икс имеет алгебраически изолированную особенность в 0, поскольку Икс = 0 если и только если Икс = у = 0. Идеал яИкс дан кем-то (Икс3 − 3ху2, 3Икс2уу3), и

Первым шагом для нахождения невырожденной билинейной формы β является вычисление таблицы умножения BИкс; уменьшение каждой записи по модулю яИкс. Откуда

1
Икс
у
Икс2
ху
у2
ху2
у3
у4
1
1
Икс
у
Икс2
ху
у2
ху2
у3
у4
Икс
Икс
Икс2
ху
3ху3
у3/3
ху2
у4/3
0
0
у
у
ху
у2
у3/3
ху2
у3
0
у4
0
Икс2
Икс2
3ху2
у3/3
у4
0
у4/3
0
0
0
ху
ху
у3/3
ху2
0
у4/3
0
0
0
0
у2
у2
ху2
у3
у4/3
0
у4
0
0
0
ху2
ху2
у4/3
0
0
0
0
0
0
0
у3
у3
0
у4
0
0
0
0
0
0
у4
у4
0
0
0
0
0
0
0
0

Прямой расчет показывает, что JF = 9(Икс4 + 2Икс2у2 + у4), и так [JF] = 24у4. Далее присваиваются значения для . Можно взять

Этот выбор был сделан так, что как и требовалось по гипотезе, и чтобы в вычислениях участвовали целые числа, а не дроби. Применение этого к таблице умножения дает матричное представление билинейной формы β относительно данного базиса:

В собственные значения этой матрицы −3, −3, −1, 1, 1, 2, 3, 3 и 4 Имеется 3 отрицательных собственных значения (#N = 3) и шесть положительных собственных значений (#п = 6); это означает, что сигнатура β является #п − #N = 6 − 3 = +3. Это следует из того Икс имеет индекс Пуанкаре – Хопфа +3 в начале координат.

Топологическая проверка

С этим конкретным выбором Икс можно проверить, что индекс Пуанкаре – Хопфа равен +3, прямым применением определения индекса Пуанкаре – Хопфа.[6] Это случается очень редко, и поэтому был выбран пример.. Если взять полярные координаты на самолете, т.е. Икс = р соз (θ) и у = р грех (θ) тогда Икс3 − 3ху2 = р3соз (3θ) и 3Икс2уу3 = р3грех (3θ). Ограничить Икс в круг, центр 0, радиус 0 <ε ≪ 1, обозначаемый C0, ε; и рассмотрим карту г : C0, εC0,1 данный

Индекс Пуанкаре – Хопфа Икс по определению топологическая степень карты г.[6] Ограничение Икс в круг C0, ε, при сколь угодно малом ε дает

это означает, что когда θ делает один оборот вокруг круга C0, ε против часовой стрелки; Изображение г(θ) совершает три полных оборота против часовой стрелки вокруг единичной окружности C0,1. Это означает, что топологическая степень г равен +3 и что индекс Пуанкаре – Хопфа Икс при 0 - +3.[6]

использованная литература

  1. ^ Арнольд, Владимир И.; Варченко Александр Николаевич; Гусейн-Заде, Сабир М. (2009). Особенности дифференцируемых отображений. Vol. I. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. Монографии по математике. 82. Перевод Яна Портеуса и Марка Рейнольдса. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. п. 84. Дои:10.1007/978-1-4612-5154-5. ISBN 0-8176-3187-9. Г-Н 0777682.
  2. ^ а б c d Брасселе, Жан-Поль; Сид, Хосе; Сува, Тацуо (2009), Векторные поля на особых многообразиях, Берлин: Springer, стр. 123–125, Дои:10.1007/978-3-642-05205-7, ISBN 978-3-642-05204-0, Г-Н 2574165
  3. ^ Арнольд, Владимир И. (1978). «Индекс особой точки векторного поля, неравенства Петровского-Олейника и смешанные структуры Ходжа». Функциональный анализ и его приложения. 12 (1): 1–12. Дои:10.1007 / BF01077558. Г-Н 0498592.
  4. ^ а б c Гомекс Монт, Ксавьер; Мардешич, Павао (1997). «Индекс касательного векторного поля к гиперповерхности и сигнатура относительного определителя Якоби». Annales de l'Institut Fourier. 5 (47): 1523–1539. Г-Н 1600363.
  5. ^ Эйзенбуд, Дэвид; Левин, Гарольд И. (1977). "Алгебраическая формула для степени C карта зародыша ". Анналы математики. 106 (1): 19–38. Дои:10.2307/1971156. JSTOR 1971156. Г-Н 0467800.
  6. ^ а б c Милнор, Джон В. (1997), Топология с отличительной точки зрения, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04833-8