WikiDer > Комплексификация

Complexification

В математика, то комплексирование из векторное пространство V над полем действительных чисел ("реальное векторное пространство") дает векторное пространство V над комплексное число поле, полученные путем формального расширения масштабирования векторов действительными числами, чтобы включить их масштабирование («умножение») на комплексные числа. Любой основа за V (пробел над действительными числами) также может служить основанием для V над комплексными числами.

Формальное определение

Позволять V быть реальным векторным пространством. В комплексирование из V определяется взятием тензорное произведение из V с комплексными числами (рассматриваемыми как 2dim (V) -мерное векторное пространство над вещественными числами):

Нижний индекс, , на тензорном произведении означает, что тензорное произведение берется по действительным числам (поскольку V является реальным векторным пространством, в любом случае это единственный разумный вариант, поэтому нижний индекс можно безопасно опустить). В его нынешнем виде V это только реальное векторное пространство. Однако мы можем сделать V в комплексное векторное пространство, задав комплексное умножение следующим образом:

В более общем смысле комплексификация является примером расширение скаляров - здесь расширение скаляров от действительных чисел до комплексных чисел - что может быть сделано для любых расширение поля, да и вообще для любого морфизма колец.

Формально комплексификация - это функтор Vect → Vect, из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств. Это присоединенный функтор - особенно левый смежный - в забывчивый функтор Vect → Vect забывая о сложной структуре.

Это забвение сложной структуры сложного векторного пространства называется декомплексирование (или иногда «осознание»). Декомплексификация комплексного векторного пространства с основанием устраняет возможность комплексного умножения скаляров, что дает реальное векторное пространство вдвое большего размера с основанием .[1]

Основные свойства

По характеру тензорного произведения каждый вектор v в V можно записать однозначно в виде

куда v1 и v2 векторы в V. Обычной практикой является опустить символ произведения тензора и просто написать

Умножение на комплексное число а + я б тогда дается обычным правилом

Тогда мы можем рассматривать V как прямая сумма двух экземпляров V:

с приведенным выше правилом умножения на комплексные числа.

Есть естественное вложение V в V данный

Векторное пространство V может тогда рассматриваться как настоящий подпространство из V. Если V имеет основа ея } (над полем ), то соответствующий базис для V дан кем-то { ея ⊗ 1 } над полем . Комплекс измерение из V поэтому равен реальному размеру V:

В качестве альтернативы, вместо использования тензорных произведений, можно использовать эту прямую сумму в качестве определение комплексификации:

куда дается линейная сложная структура оператором J определяется как куда J кодирует операцию «умножение на я». В матричной форме J дан кем-то:

Это дает идентичное пространство - реальное векторное пространство с линейной сложной структурой - это данные, идентичные данным сложного векторного пространства, - хотя оно строит пространство по-разному. Соответственно, можно записать как или же идентификация V с первым прямым слагаемым. Этот подход более конкретен и имеет то преимущество, что позволяет избежать использования технически сложного тензорного произведения, но является специальным.

Примеры

Удвоение Диксона

Процесс усложнения при переходе от к был извлечен математиками двадцатого века, в том числе Леонард Диксон. Каждый начинается с использования отображение идентичности Икс* = Икс как тривиальный инволюция на . Следующие две копии используются для формирования z = (а, б) с комплексное сопряжение введена как инволюция z* = (а, −б). Два элемента ш и z в удвоенном наборе умножить на

Наконец, удвоенный набор получает норма N(z) = z * z. При запуске с с тождественной инволюцией удвоенное множество с нормой а2 + б2.Если один удваивается , и использует спряжение (а, б)* = (а*, –б) конструкция дает кватернионы. Удвоение снова дает октонионы, также называемые числами Кэли. Именно в этот момент Диксон в 1919 году внес свой вклад в раскрытие алгебраической структуры.

Процесс также можно запустить с помощью и тривиальная инволюция z* = z. Производимая норма просто z2, в отличие от поколения удваивая . Когда это вдвое производит бикомплексные числа, и удвоение, которое производит бикватернионы, и снова удвоение приводит к биоктонионы. Когда базовая алгебра ассоциативна, алгебра, полученная с помощью этой конструкции Кэли-Диксона, называется композиционная алгебра поскольку можно показать, что он обладает свойством

Комплексное сопряжение

Комплексифицированное векторное пространство V имеет больше структуры, чем обычное комплексное векторное пространство.[пример необходим] Он поставляется с канонический комплексное сопряжение карта:

определяется

Карта χ может рассматриваться как сопряженно-линейное отображение из V к себе или как сложный линейный изоморфизм из V к его комплексно сопряженный .

И наоборот, учитывая комплексное векторное пространство W с комплексным сопряжением χ, W изоморфна как комплексное векторное пространство комплексификации V реального подпространства

Другими словами, все комплексные векторные пространства с комплексным сопряжением являются комплексификацией реального векторного пространства.

Например, когда W = ℂп со стандартным комплексным сопряжением

инвариантное подпространство V это просто реальное подпространство п.

Линейные преобразования

Учитывая реальный линейное преобразование ж : VW между двумя действительными векторными пространствами существует естественное комплексное линейное преобразование

данный

Карта называется комплексирование из ж. Комплексификация линейных преобразований удовлетворяет следующим свойствам

На языке теория категорий говорят, что комплексификация определяет (добавка) функтор от категория вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств.

Карта ж коммутирует со сопряжением и тем самым отображает действительное подпространство V в реальное подпространство W (через карту ж). Более того, сложное линейное отображение грамм : VW является комплексификацией реального линейного отображения тогда и только тогда, когда оно коммутирует со сопряжением.

В качестве примера рассмотрим линейное преобразование из п к м думали как м×п матрица. Комплексификация этого преобразования представляет собой точно такую ​​же матрицу, но теперь рассматривается как линейная карта из п к м.

Двойственные пространства и тензорные произведения

В двойной реального векторного пространства V это пространство V* всех реальных линейных карт из V к . Усложнение V* естественно рассматривать как пространство всех реальных линейных отображений из V к (обозначено Hom(V, ℂ)). То есть,

Изоморфизм задается формулой

куда φ1 и φ2 являются элементами V*. Комплексное сопряжение тогда дается обычной операцией

Учитывая реальную линейную карту φ: V → ℂ мы можем продолжить по линейности, чтобы получить комплексное линейное отображение φ: V → ℂ. То есть,

Это расширение дает изоморфизм от Hom(V, ℂ) к Hom(V, ℂ). Последний как раз сложный двойное пространство для V, так что у нас есть естественный изоморфизм:

В более общем смысле, учитывая реальные векторные пространства V и W есть естественный изоморфизм

Комплексификация также переключает с операциями взятия тензорные произведения, внешние силы и симметричные степени. Например, если V и W являются вещественными векторными пространствами, существует естественный изоморфизм

Обратите внимание, что левое тензорное произведение берется по действительным числам, а правое - по комплексам. То же самое и в целом. Например, есть

Во всех случаях изоморфизмы являются «очевидными».

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Кострикин, Алексей И .; Манин Ю. И. (14 июля 1989 г.). Линейная алгебра и геометрия. CRC Press. п. 75. ISBN 978-2881246838.
  • Халмос, Пол (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства. Springer. стр. 41 и §77 Комплексификация, стр. 150–153. ISBN 0-387-90093-4.
  • Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 135 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-24766-1.