WikiDer > Эллиптический оператор

Elliptic operator

Решение для Уравнение Лапласа определено на кольцо. В Оператор Лапласа - самый известный пример эллиптического оператора.

В теории уравнения в частных производных, эллиптические операторы находятся дифференциальные операторы которые обобщают Оператор Лапласа. Они определяются условием положительности коэффициентов при старших производных, что подразумевает ключевое свойство, заключающееся в том, что главный символ обратима, или, что то же самое, нет реальных характеристика направления.

Эллиптические операторы типичны для теория потенциала, и они часто появляются в электростатика и механика сплошной среды. Эллиптическая регулярность означает, что их решения имеют тенденцию гладкие функции (если коэффициенты в операторе гладкие). Устойчивые решения гиперболический и параболический уравнения обычно решают эллиптические уравнения.

Определения

Линейный дифференциальный оператор L порядка м на домене ${ displaystyle Omega}$ в р^п данный

{ displaystyle Lu = sum _ {| alpha | leq m} a _ { alpha} (x) partial ^ { alpha} u ,}

(куда ${ Displaystyle альфа = ( альфа _ {1}, ..., альфа _ {п})}$ это мультииндекс, и ${ Displaystyle partial ^ { alpha} и = partial ^ { alpha _ {1}} cdots partial ^ { alpha _ {n}} u}$ ) называется эллиптический если для каждого Икс в ${ displaystyle Omega}$ и каждый ненулевой ${ Displaystyle xi}$ в р^п,

{ Displaystyle сумма _ {| альфа | = м} а _ { альфа} (х) хи ^ { альфа} neq 0, ,}

куда ${ displaystyle xi ^ { alpha} = xi _ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots xi _ {n} ^ { alpha _ {n}}}$ .

Во многих приложениях это условие недостаточно сильное, и вместо этого условие равномерной эллиптичности может быть наложено на операторов порядка m = 2k:

{ displaystyle (-1) ^ {k} sum _ {| alpha | = 2k} a _ { alpha} (x) xi ^ { alpha}> C | xi | ^ {2k}, , }

куда C положительная константа. Обратите внимание, что эллиптичность зависит только от членов высшего порядка.^[1]

Нелинейный оператор

{ Displaystyle L (и) = F (Икс, и, ( partial ^ { alpha} u) _ {| альфа | Leq m}) ,}

является эллиптическим, если его разложение Тейлора первого порядка по ты а его производные относительно любой точки - линейный эллиптический оператор.

Пример 1

Негатив Лапласиан в р^d данный

{ displaystyle - Delta u = - sum _ {i = 1} ^ {d} partial _ {i} ^ {2} u ,}

- равномерно эллиптический оператор. Оператор Лапласа часто встречается в электростатике. Если ρ - плотность заряда в некоторой области Ω, потенциал Φ должен удовлетворять уравнению

{ displaystyle - Delta Phi = 4 pi rho. ,}

Пример 2

Для матричнозначной функции А (х) которая симметрична и положительно определена для каждого Икс, имеющий компоненты а^ij, Оператор

{ displaystyle Lu = - partial _ {i} left (a ^ {ij} (x) partial _ {j} u right) + b ^ {j} (x) partial _ {j} u + cu ,}

эллиптический. Это наиболее общая форма линейного эллиптического дифференциального оператора второго порядка с дивергентной формой. Оператор Лапласа получается, если взять А = Я. Эти операторы также встречаются в электростатике в поляризованных средах.

Пример 3

За п неотрицательное число, p-лапласиан - нелинейный эллиптический оператор, определяемый формулой

{ displaystyle L (u) = - sum _ {i = 1} ^ {d} partial _ {i} left (| nabla u | ^ {p-2} partial _ {i} u right ). ,}

Аналогичный нелинейный оператор встречается в механика ледника. В Тензор напряжений Коши льда, согласно закону течения Глена, имеет вид

{ displaystyle tau _ {ij} = B left ( sum _ {k, l = 1} ^ {3} left ( partial _ {l} u_ {k} right) ^ {2} right ) ^ {- { frac {1} {3}}} cdot { frac {1} {2}} left ( partial _ {j} u_ {i} + partial _ {i} u_ {j }верно),}

для некоторой постоянной B. Тогда скорость ледяного покрова в установившемся состоянии будет решать нелинейную эллиптическую систему

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {3} partial _ {j} tau _ {ij} + rho g_ {i} - partial _ {i} p = Q, ,}

где ρ - плотность льда, грамм - вектор ускорения свободного падения, п это давление и Q это принудительный термин.

Эллиптическая теорема регулярности

Позволять L - эллиптический оператор порядка 2k с коэффициентами, имеющими 2k непрерывные производные. Задача Дирихле для L найти функцию ты, учитывая функцию ж и некоторые подходящие граничные значения, такие что Lu = f и такой, что ты имеет соответствующие граничные значения и нормальные производные. Теория существования эллиптических операторов с использованием Неравенство Гординга и Лемма Лакса – Милграма., только гарантирует, что слабое решение ты существует в Соболевское пространство ЧАС^k.

Эта ситуация в конечном итоге неудовлетворительна, поскольку слабое решение ты может не иметь достаточно производных для выражения Лу даже иметь смысл.

В эллиптическая теорема регулярности гарантирует, что при условии ж интегрируем с квадратом, ты на самом деле будет 2k интегрируемые с квадратом слабые производные. В частности, если ж бесконечно-часто дифференцируема, то ты.

Любой дифференциальный оператор, проявляющий это свойство, называется гипоэллиптический оператор; таким образом, любой эллиптический оператор гипоэллиптичен. Свойство также означает, что каждый фундаментальное решение эллиптического оператора бесконечно дифференцируема в любой окрестности, не содержащей 0.

В качестве приложения предположим функцию ${ displaystyle f}$ удовлетворяет Уравнения Коши – Римана. Поскольку уравнения Коши-Римана образуют эллиптический оператор, отсюда следует, что ${ displaystyle f}$ гладко.

Общее определение

Позволять ${ displaystyle D}$ - (возможно, нелинейный) дифференциальный оператор между векторными расслоениями любого ранга. Возьми его главный символ ${ Displaystyle sigma _ { xi} (D)}$ относительно одноформной ${ Displaystyle xi}$ . (По сути, то, что мы делаем, заменяет наивысший порядок ковариантные производные ${ displaystyle nabla}$ по векторным полям ${ Displaystyle xi}$ .)

Мы говорим ${ displaystyle D}$ является слабоэллиптический если ${ Displaystyle sigma _ { xi} (D)}$ линейный изоморфизм для каждого ненулевого ${ Displaystyle xi}$ .

Мы говорим ${ displaystyle D}$ есть (равномерно) сильно эллиптический если для некоторой постоянной ${ displaystyle c> 0}$ ,

{ displaystyle left ([ sigma _ { xi} (D)] (v), v right) geq c | v | ^ {2}}

для всех ${ Displaystyle | хи | = 1}$ и все ${ displaystyle v}$ . Важно отметить, что определение эллиптичности в предыдущей части статьи является сильная эллиптичность. Здесь ${ Displaystyle ( cdot, cdot)}$ это внутренний продукт. Обратите внимание, что ${ Displaystyle xi}$ ковекторные поля или одноформные, но ${ displaystyle v}$ - элементы векторного расслоения, на которых ${ displaystyle D}$ действует.

Типичным примером (сильно) эллиптического оператора является оператор Лапласиан (или его отрицательный, в зависимости от соглашения). Нетрудно увидеть, что ${ displaystyle D}$ должен быть ровного порядка, чтобы сильная эллиптичность даже могла быть вариантом. В противном случае просто рассмотрите возможность подключения обоих ${ Displaystyle xi}$ и его негатив. С другой стороны, слабоэллиптический оператор первого порядка, такой как Оператор Дирака может возводиться в квадрат, чтобы стать сильно эллиптическим оператором, таким как лапласиан. Композиция слабоэллиптических операторов слабоэллиптическая.

Тем не менее слабая эллиптичность достаточно сильна для Альтернатива Фредгольма, Оценки Шаудера, а Теорема Атьи – Зингера об индексе. С другой стороны, нам нужна сильная эллиптичность для принцип максимума, и гарантировать, что собственные значения дискретны, а их единственная предельная точка - бесконечность.

Смотрите также

Примечания

^ Обратите внимание, что это иногда называют строгая эллиптичность, с равномерная эллиптичность используется для обозначения наличия верхней границы и для символа оператора. Важно проверить определения, которые использует автор, так как условные обозначения могут отличаться. См., Например, Evans, глава 6, для использования первого определения, и Gilbarg and Trudinger, Chapter 3, для использования второго.

внешняя ссылка

Линейные эллиптические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
Нелинейные эллиптические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.

[1] Обратите внимание, что это иногда называют строгая эллиптичность, с равномерная эллиптичность используется для обозначения наличия верхней границы и для символа оператора. Важно проверить определения, которые использует автор, так как условные обозначения могут отличаться. См., Например, Evans, глава 6, для использования первого определения, и Gilbarg and Trudinger, Chapter 3, для использования второго.

[1]

Navigation