WikiDer > Слабое решение

В математика, а слабое решение (также называемый обобщенное решение) для обычный или же уравнение в частных производных это функция для которого не все производные могут существовать, но который, тем не менее, считается удовлетворяющим уравнению в некотором точно определенном смысле. Существует множество различных определений слабого решения, подходящих для разных классов уравнений. Один из наиболее важных основан на понятии распределения.

Избегая языка распределений, мы начинаем с дифференциального уравнения и переписываем его таким образом, чтобы не отображались производные от решения уравнения (новая форма называется слабая формулировка, и ее решения называются слабые решения). Как ни странно, дифференциальное уравнение может иметь решения, не являющиеся дифференцируемый; а слабая формулировка позволяет находить такие решения.

Слабые решения важны, потому что очень многие дифференциальные уравнения, встречающиеся при моделировании реальных явлений, не допускают достаточно гладких решений, и единственный способ решения таких уравнений - использовать слабую формулировку. Даже в ситуациях, когда уравнение действительно имеет дифференцируемые решения, часто бывает удобно сначала доказать существование слабых решений, а только потом показать, что эти решения на самом деле достаточно гладкие.

Конкретный пример

В качестве иллюстрации концепции рассмотрим первый порядок волновое уравнение:

${displaystyle {frac {partial u} {partial t}} + {frac {partial u} {partial x}} = 0quad quad (1)}$

куда ты = ты(т, Икс) является функцией двух настоящий переменные. Косвенно исследовать свойства возможного решения ты, интегрируется с произвольным гладкая функция ${displaystyle varphi,!}$ из компактная опора, известный как тестовая функция, принимая ${displaystyle extstyle int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} u (x, y), varphi (x, t), dx, dt}$. Например, если φ - гладкое распределение вероятностей, сосредоточенное около точки ${displaystyle (x, t) = (x_ {circ}, y_ {circ})}$, интеграл приблизительно равен ${displaystyle u (x_ {circ}, t_ {circ})}$. Обратите внимание, что, хотя интегралы идут от −∞ к ∞, они по существу лежат над конечным ящиком, где ${displaystyle varphi,!}$ не равно нулю.

Итак, предположим решение ты является непрерывно дифференцируемый на Евклидово пространство р², умножим уравнение (1) на тестовую функцию φ (гладкая или компактная опора) и интегрировать:

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {partial u (t, x)} {partial t}} varphi (t, x), mathrm {d} t , mathrm {d} x + int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {partial u (t, x)} {partial x}} varphi (t, x), mathrm {d} t, mathrm {d} x = 0.}$

С помощью Теорема Фубини что позволяет менять порядок интеграции, а также интеграция по частям (в т на первый срок и в Икс для второго члена) это уравнение принимает вид:

${displaystyle -int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} u (t, x) {frac {partial varphi (t, x)} {partial t}}, mathrm {d} t, mathrm {d} x-int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} u (t, x) {frac {partial varphi (t, x)} {partial x}} , mathrm {d} t, mathrm {d} x = 0.quad quad (2)}$

(Граничные условия исчезают, поскольку φ равен нулю вне конечного ящика.) Мы показали, что уравнение (1) влечет уравнение (2) до тех пор, пока ты непрерывно дифференцируемо.

Ключ к концепции слабого решения состоит в том, что существуют функции ты которые удовлетворяют уравнению (2) для любых φ, но такие ты могут быть не дифференцируемыми и поэтому не могут удовлетворять уравнению (1). Примером является ты(т, Икс) = |т − Икс|, что можно проверить, разбив интегралы по областям Икс ≥ т и Икс ≤ т куда ты гладкий, и обращение вышеуказанного вычисления с использованием интегрирования по частям. А слабое решение уравнения (1) означает любой решение ты уравнения (2) по всем тестовым функциям φ.

Общий случай

Общая идея, которая следует из этого примера, заключается в том, что при решении дифференциального уравнения в ты, его можно переписать, используя функция тестирования ${displaystyle varphi,!}$, так что любые производные в ты появляются в уравнении, они "передаются" интегрированием по частям в ${displaystyle varphi,!}$, что приводит к уравнению без производных от ты. Это новое уравнение обобщает исходное уравнение, чтобы включать решения, которые не обязательно дифференцируемы.

Проиллюстрированный выше подход работает в большинстве случаев. Действительно, рассмотрим линейный дифференциальный оператор в открытый набор W в р^n:

${displaystyle P (x, частичное) u (x) = сумма a_ {альфа _ {1}, альфа _ {2}, точки, альфа _ {n}} (x), частичное ^ {альфа _ {1}} частичное ^ {alpha _ {2}} cdots частично ^ {alpha _ {n}} u (x),}$

где мультииндекс (α₁, α₂, ..., α_п) меняется на некотором конечном множестве в N^п а коэффициенты ${displaystyle a_ {alpha _ {1}, alpha _ {2}, dots, alpha _ {n}}}$ являются достаточно гладкими функциями Икс в р^п.

Дифференциальное уравнение п(Икс, ∂)ты(Икс) = 0 после умножения на гладкую тестовую функцию ${displaystyle varphi,!}$ с компактной опорой в W и объединенные по частям, можно записать как

${displaystyle int _ {W} u (x) Q (x, частичное) varphi (x), mathrm {d} x = 0}$

где дифференциальный оператор Q(Икс, ∂) задается формулой

${displaystyle Q (x, частично) varphi (x) = sum (-1) ^ {| alpha |} partial ^ {alpha _ {1}} partial ^ {alpha _ {2}} cdots partial ^ {alpha _ {n }} left [a_ {alpha _ {1}, alpha _ {2}, dots, alpha _ {n}} (x) varphi (x) ight].}$

Номер

${displaystyle (-1) ^ {| alpha |} = (- 1) ^ {alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n}}}$

появляется потому что нужно α₁ + α₂ + ... + α_п интегрирования по частям для переноса всех частных производных от ты к ${displaystyle varphi,!}$ в каждом члене дифференциального уравнения, и каждое интегрирование по частям влечет за собой умножение на -1.

Дифференциальный оператор Q(Икс, ∂) - формальный присоединенный из п(Икс, ∂) (ср. помощник оператора).

Таким образом, если исходной (сильной) проблемой было найти |α| -кратно дифференцируемая функция ты определено на открытом множестве W такой, что

${displaystyle P (x, partial) u (x) = 0 {ext {для всех}} xin W}$

(так называемый сильное решение), то интегрируемая функция ты можно было бы сказать, что это слабое решение если

${displaystyle int _ {W} u (x), Q (x, partial) varphi (x), mathrm {d} x = 0}$

для каждой гладкой функции ${displaystyle varphi,!}$ с компактной опорой в W.

Другие виды слабых решений

Понятие слабого решения, основанного на распределениях, иногда неадекватно. В случае гиперболические системы, понятие слабого решения, основанного на распределениях, не гарантирует единственности, и его необходимо дополнить энтропийные условия или какой-то другой критерий выбора. В полностью нелинейных УЧП, таких как Уравнение Гамильтона – Якоби, существует совсем другое определение слабого решения, которое называется вязкость раствора.

Рекомендации

• Эванс, Л. С. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.