WikiDer > Функция Эйлера

Euler function
Модуль ϕ на комплексная плоскость, раскрашены так, что черный = 0, красный = 4

В математика, то Функция Эйлера дан кем-то

Названный в честь Леонард Эйлер, это модельный пример q-серии, а модульная форма, и представляет собой типичный пример связи между комбинаторика и комплексный анализ.

Свойства

В коэффициент в формальный степенной ряд расширение для дает количество перегородки из k. Это,

где это функция распределения.

В Тождество Эйлера, также известный как Теорема о пятиугольном числе, является

Обратите внимание, что это пятиугольное число.

Функция Эйлера связана с Функция Дедекинда эта через Рамануджан личность так как

где это квадрат ном. Обратите внимание, что обе функции обладают симметрией модульная группа.

Функция Эйлера может быть выражена как q-Почхаммер символ:

В логарифм функции Эйлера представляет собой сумму логарифмов в выражении произведения, каждый из которых может быть расширен до q = 0, что дает

который является Серия Ламберта с коэффициентами -1 /п. Следовательно, логарифм функции Эйлера может быть выражен как

где - [1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (см. OEIS A000203)

Из-за личности это также можно записать как

Особые ценности

Следующие идентичности исходят от Потерянный блокнот Рамануджана, Часть V, стр. 326.

С использованием Теорема о пятиугольном числе, обменивая сумму и интеграл, а затем, применяя комплексно-аналитические методы, получаем

использованная литература

  • Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Г-Н 0434929, Zbl 0335.10001