WikiDer > Теорема о пятиугольном числе

Pentagonal number theorem

В математика, то теорема о пятиугольных числах, первоначально из-за Эйлер, связывает товарные и серийные представления Функция Эйлера. В нем говорится, что

Другими словами,

Показатели 1, 2, 5, 7, 12, ... в правой части задаются формулой граммk = k(3k − 1)/2 за k = 1, −1, 2, −2, 3, ... и называются (обобщенными) пятиугольные числа (последовательность A001318 в OEIS). Это имеет место как тождество сходящихся степенной ряд за , а также как личность формальный степенной ряд.

Яркой особенностью этой формулы является количество отмены при расширении продукта.

Связь с перегородками

Из тождества следует повторение для расчета , количество перегородки из п:

или более формально,

где суммирование ведется по всем ненулевым целым числам k (положительный и отрицательный) и это kth обобщенное пятиугольное число. С для всех , ряды в конечном итоге станут нулями, что даст возможность дискретного расчета.

Биективное доказательство

Теорема может быть интерпретирована комбинаторно с точки зрения перегородки. В частности, левая часть - это производящая функция для количества разделов п на четное количество отдельных частей за вычетом количества разделов п на нечетное количество отдельных частей. Каждый раздел п на четное количество отдельных частей дает +1 к коэффициенту Иксп; каждое разбиение на нечетное количество отдельных частей дает -1. (Статья о неограниченные функции раздела обсуждает этот тип производящей функции.)

Например, коэффициент Икс5 равно +1, потому что есть два способа разбить 5 на четное число отдельных частей (4 + 1 и 3 + 2), но только один способ сделать это для нечетного числа отдельных частей (односоставное разделение 5) . Однако коэффициент Икс12 равно -1, потому что существует семь способов разделить 12 на четное число отдельных частей, но есть восемь способов разделить 12 на нечетное количество отдельных частей.

Эта интерпретация приводит к доказательству идентичности через инволюция (т.е. биекция, которая сама себе обратна). Рассмотрим Диаграмма Феррерса любого раздела п на отдельные части. Например, на диаграмме ниже показано п = 20 и перегородка 20 = 7 + 6 + 4 + 3.

******о
*****о
****
***

Позволять м - количество элементов в самой маленькой строке диаграммы (м = 3 в приведенном выше примере). Позволять s - количество элементов в самой правой линии под углом 45 градусов диаграммы (s = 2 точки красного цвета выше, так как 7−1 = 6, но 6−1> 4). Если м > s, возьмите крайнюю правую линию под углом 45 градусов и переместите ее, чтобы сформировать новый ряд, как на схеме ниже.

******
*****
****
***
оо

Если m ≤ s (как на нашей вновь сформированной диаграмме, где м = 2, s = 5) мы можем обратить процесс, переместив нижнюю строку, чтобы сформировать новую линию под углом 45 градусов (добавив по 1 элементу к каждому из первых м rows), возвращая нас к первой диаграмме.

Немного подумав, показывает, что этот процесс всегда изменяет четность количества строк, а повторное применение процесса возвращает нас к исходной диаграмме. Это позволяет нам объединить диаграммы Феррерса, дающие вклад 1 и -1 в Иксп член ряда, в результате чего чистый коэффициент равен 0. Это верно для каждого члена Кроме когда процесс не может быть выполнен на каждой диаграмме Феррерса с n точками. Таких случаев два:

1) м = s и крайняя правая диагональ и нижний ряд пересекаются. Например,

*****
****
***

Попытка выполнить операцию приведет нас к:

******
*****
*

который не может изменить четность количества строк и необратим в том смысле, что повторное выполнение операции приводит к нет верните нас к исходной диаграмме. Если есть м элементы в последней строке исходной диаграммы, затем

где новый индекс k принимается равным м. Обратите внимание, что знак, связанный с этим разделом, (−1)s, что по построению равно (−1)м и (−1)k.

2) м = s+1, крайняя правая диагональ и нижний ряд пересекаются. Например,

******
*****
****

Наша операция требует, чтобы мы переместили правую диагональ в нижнюю строку, но это привело бы к двум строкам по три элемента, что запрещено, поскольку мы считаем разделы на отдельные части. Это предыдущий случай, но с одной строкой меньше, поэтому

где мы берем k = 1−м (отрицательное целое число). Здесь соответствующий знак (−1)s с s = м−1 = −k, поэтому знак снова (−1)k.

Таким образом, было показано, что разбиения на четное количество отдельных частей и нечетное количество отдельных частей в точности компенсируют друг друга, кроме случаев, когда п обобщенное пятиугольное число , и в этом случае остается ровно одна диаграмма Феррерса. Но это именно то, что говорит правая сторона идентичности, так что мы закончили.

Повторение раздела

Мы можем перефразировать приведенное выше доказательство, используя перегородки, который мы обозначим как:, куда .Количество разделов п статистическая сумма п(п) с производящей функцией:

Обратите внимание, что это обратная величина продукта в левой части нашей идентичности:

Обозначим расширение нашего продукта через, так что

.

Умножая левую часть и приравнивая коэффициенты в двух частях, получаем а0 п(0) = 1 и для всех . Это дает рекуррентное соотношение, определяющее п(п) с точки зрения ап, и наоборот, повторение ап с точки зрения п(п). Итак, наш желаемый результат:

за эквивалентно тождеству куда и я пробегает все такие целые числа, что (этот диапазон включает как положительные, так и отрицательные i, чтобы использовать оба вида обобщенных пятиугольных чисел). Это, в свою очередь, означает:

.

В терминах наборов разбиений это эквивалентно утверждению, что следующие наборы имеют одинаковую мощность:

и ,

куда обозначает множество всех разбиений Все, что остается, - это дать взаимно однозначное соответствие от одного набора другому, что осуществляется функцией φ из Икс к Y который отображает раздел к разделу определяется:

Это инволюция (самообратное отображение) и, в частности, биекция, которая доказывает наше утверждение и тождество.

Смотрите также

Теорема о пятиугольном числе возникает как частный случай Тройное произведение Якоби.

Q-серия обобщить функцию Эйлера, которая тесно связана с Функция Дедекинда эта, и происходит при изучении модульные формы. Модуль упругости Функция Эйлера (см. картинку) показывает фрактал модульная группа симметрии и возникает при исследовании интерьера Набор Мандельброта.

Рекомендации

  • Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МИСТЕР 0434929, Zbl 0335.10001
  • Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Введение в теорию чисел. Отредактировано Д. Р. Хит-Браун и Дж. Х. Сильверман. Предисловие Эндрю Уайлс. (6-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. МИСТЕР 2445243. Zbl 1159.11001.

внешняя ссылка