WikiDer > Лемма о неподвижной точке для нормальных функций

Fixed-point lemma for normal functions

В лемма о неподвижной точке для нормальных функций это основной результат в аксиоматическая теория множеств заявляя, что любой нормальная функция имеет произвольно большой фиксированные точки (Леви 1979: с. 117). Впервые это было доказано Освальд Веблен в 1908 г.

Предпосылки и официальное заявление

А нормальная функция это класс функция из класса Ord of порядковые номера себе такое, что:

  • является строго возрастающий: всякий раз, когда .
  • является непрерывный: для каждого предельного порядкового номера (т.е. не является ни нулем, ни преемником), .

Можно показать, что если тогда нормально ездит с супрема; для любого непустого множества ординалов,

.

Действительно, если порядковый номер преемника, то является элементом а равенство следует из возрастающего свойства . Если является предельным ординалом, то равенство следует из непрерывного свойства .

А фиксированная точка нормальной функции - порядковый номер такой, что .

Лемма о неподвижной точке утверждает, что класс неподвижных точек любой нормальной функции непуст и фактически неограничен: для любого ординала , существует порядковый такой, что и .

Непрерывность нормальной функции означает, что класс неподвижных точек замкнут (верхняя грань любого подмножества класса неподвижных точек снова является неподвижной точкой). Таким образом, лемма о неподвижной точке эквивалентна утверждению, что неподвижные точки нормальной функции образуют закрытый и неограниченный учебный класс.

Доказательство

Первым шагом доказательства является проверка того, что ж(γ) ≥ γ для всех ординалов γ и что ж коммутирует с suprema. Учитывая эти результаты, индуктивно определим возрастающую последовательность <αп> (п <ω), положив α0 = α и αп+1 = жп) за п ∈ ω. Пусть β = sup {αп : п ∈ ω}, поэтому β ≥ α. Более того, поскольку ж ездит с супремой,

ж(β) = ж(sup {αп : п <ω})
= sup {жп) : п <ω}
= sup {αп+1 : п <ω}
= β.

Последнее равенство следует из того, что последовательность <αп> увеличивается.

Кроме того, можно продемонстрировать, что найденное таким образом β является наименьшей фиксированной точкой, большей или равной α.

Пример приложения

Функция ж : Ord → Ord, ж(α) = ωα нормально (см. начальный порядковый номер). Таким образом, существует ординал θ такой, что θ = ωθ. Фактически, лемма показывает, что существует замкнутый неограниченный класс таких θ.

Рекомендации

  • Леви, А. (1979). Основная теория множеств. Springer. ISBN 978-0-387-08417-6. Переиздано, Дувр, 2002.
  • Веблен, О. (1908). «Непрерывно возрастающие функции конечных и трансфинитных ординалов». Пер. Амер. Математика. Soc. 9 (3): 280–292. Дои:10.2307/1988605. ISSN 0002-9947. JSTOR 1988605. Доступно через JSTOR.