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Supremum

Eine Menge A von reellen Zahlen (blaue Punkte) und einige ihrer oberen Grenzen (in Rot); die kleinste dieser oberen Grenzen, die rote Raute, ist das Supremum von A.

In dem Ordnungstheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist der höchste (Plural höchste), abgekürzt zu sup, von a Teilmenge von a teilweise bestellt Sammlung das kleinste (nicht unbedingt in der Teilmenge) aller oberen Schranken dieser Teilmenge. Eine obere Schranke ist ein solches Element, dass no Element in der Teilmenge ist größer als diese obere Grenze. Jedes Element in der Teilmenge ist kleiner oder möglicherweise gleich einer oberen Grenze. Folglich wird das Supremum auch zum kleinste obere Grenze (abgekürzt als kbg oder KBG) erwähnt. Vorherrschaft der Sätze von reale Nummern sind ein häufiger Sonderfall, die vor allem in der Analyse.

Das Supremum hat das duale Konzept von infimum.

Definition

spät ${Anzeigestil V}$ sei eine teilweise geordnete Menge mit Ordnungsrelation ${displaystyle leq }$ , und ${Anzeigestil D}$ eine Teilmenge von ${Anzeigestil V}$ .

Ein Element ${Anzeigestil Bin V}$ ist ein Obergrenze von ${Anzeigestil D}$ wie für alle ${Anzeigestil xin D}$ gilt: ${displaystyle xleq b}$ .

Eine Obergrenze ${displaystyle s}$ von ${Anzeigestil D}$ heiß höchste von ${Anzeigestil D}$ , notiert als ${displaystyle sup(D)}$ , wie für jede obere Schranke ${displaystyle b}$ von ${Anzeigestil D}$ gilt: ${displaystyle sleq b}$ .

Ein Supremum ist also a minimales Element (nicht zu verwechseln mit kleinstes Element) der Menge der oberen Schranken und wird etwas verwirrend als „least Upperbound“ bezeichnet. Ein Supremum existiert nicht immer, zum Beispiel nicht, wenn ${Anzeigestil D}$ hat keine Obergrenze. Andererseits kann eine Menge mehrere Suprema haben.

Suprem einer Menge reeller Zahlen

In dem Analyse wird die höchste oder kleinste obere Schranke einer Teilmenge ${Anzeigestil S}$ des reale Nummern bezeichnet durch ${displaystyle sup(S)}$ und definiert als die kleinste aller oberen Schranken von ${Anzeigestil S}$ . Eine obere Schranke ist eine Zahl, für die jede Zahl in ${Anzeigestil S}$ kleiner oder gleich der Obergrenze ist. Wenn keine solche Nummer existiert (weil ${Anzeigestil S}$ ist nicht von oben begrenzt), definiert man ${displaystyle sup(S)=infty}$ . Für die leere Sammlung ist das Supremum definiert als ${displaystyle sup(varnothing)=-infty}$ .

Eine wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen ist, dass jede Menge reeller Zahlen ein Supremum besitzt (jede nichtleere beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen hat ein Supremum in den nicht erweiterten reellen Zahlen).

Beispiele sind: