WikiDer > Reiher . Formel

Ein Dreieck mit Seiten ein, b, und c.

Mit dem Formel von Reiher kann das Oberfläche, oh, von a Dreieck berechnet aus den Längen a, b und c der Seiten des Dreiecks:

${displaystyle O={sqrt {sleft(s-aight)left(s-bight)left(s-cight)}},}$

wobei der/die Halbumfang(e), der halbe Umfang:

${displaystyle s={frac {a b c}{2}}}$.

Ein weiteres Formular, ausgefüllt mit s, ist:

${displaystyle O={frac {1}{4}}{sqrt {(a b c)(a b-c)(-a b c)(a-b c)}},}$

Die Formel ist auch als bekannt s-Formel.

Geschichte

Die Formel wird zugeschrieben Reiher von Alexandria und Beweise finden sich in seinem Buch von etwa 60 n. Chr., Metrisch. Es wird auch vorgeschlagen, dass Archimedes, der mehr als 200 Jahre zuvor lebte, kannte die Formel bereits.

Eine Formel, die der Formel von Heron entspricht:

${displaystyle O={frac {1}{2}}{sqrt {a^{2}c^{2}-left({frac {a^{2} c^{2}-b^{2}}{ 2}}Nacht)^{2}}}}$

wurde von den Chinesen unabhängig von den Griechen entdeckt. Dieses chinesische Äquivalent wurde in ANZEIGE. 1247 herausgegeben vom Mathematiker Qin Jiushao in seinem Shushu Jiuzhang (數書九章, 'Mathematische Abhandlung in neun Abschnitten').

Beweise

Die Formel kann mit der Kosinusregel kann aus einer anderen Formel für die Fläche abgeleitet werden:

${displaystyle mathrm {area} ={frac {1}{2}}absin gamma ,}$.

Nach der Kosinusregel:

${displaystyle c^{2}=a^{2} b^{2}-2abcos gamma ,}$,

so dass:

${displaystyle cos gamma ={frac {a^{2} b^{2}-c^{2}}{2ab}},}$.

Die Fläche eines Dreiecks wird also:

${displaystyle mathrm {area} ,}$	${displaystyle ={frac {1}{2}}absin gamma ,}$
	${displaystyle ={frac {1}{2}}ab{sqrt {1-cos ^{2}gamma }},}$
	${displaystyle ={frac {1}{2}}ab{sqrt {(1-cos gamma )(1 cos gamma )}},}$
	${displaystyle ={frac {1}{2}}ab{sqrt {left(1-{frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}ight)left(1 {frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}ight)}}}$
	${displaystyle ={frac {1}{4}}{sqrt {(a b c) (a b-c) (-a b c) (a-b c)}},}$

Die angeforderte Formel folgt nach dem Auswechslung:

${Anzeigestil a=2s-b-c,}$